01. Основные понятия, решение линейных неравенств

Основные понятия, решения

Неравенство с одной переменной имеет вид: , вместо может быть,, .

Для определенности будем записывать неравенство в виде.

x – переменная,

f – функция, выражение, зависящее от х

В зависимости от f различают разные типы неравенств. Если f – линейная функция, то это линейное неравенство. Если f – квадратичная функция, то это квадратное неравенство.

Итак, линейное неравенство имеет вид, предполагается, что.

Квадратное неравенство имеет вид

Значение, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, является частным решением неравенства. Решить неравенство – найти все решения неравенства. Множество всех решений неравенства называется общим решением неравенства, или просто решением неравенства.

Рассмотрим пример:

1) Решить неравенство.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

(перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее разделили все на 2 и получили x > 7. Изобразим множество решений на оси.

Это положительно направленный луч. Записывается множество решений либо в виде неравенства , либо в виде интервалаА что является частным решением этого неравенства? Например,– это частное решение этого неравенства,– это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша цель – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

Рассмотрим пример 2:

2) Решить неравенство

Решим его: а перенесем в одну сторону,перенесем в другую сторону, получим, и в результате после деления обеих частей наполучим.

.

Тоже изобразим множество, но уже на оси.

Ответ либо записывается в виде неравенства, либо,не включается.

При решении неравенства есть важное отличие его от уравнений, которое состоит в том, что любое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой возможности нет, здесь бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки - это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не искажают множества решений. О важности эквивалентных (равносильных) преобразований можно узнать, рассмотрев следующий пример.

3) Решить неравенство

Решение будем искать среди, потому чтостоит в знаменателе. Если, то обе части неравенства можно умножить на:

, основное свойство дроби позволяет сократить в левой части, и в результате получим

Однако неравенство решено неверно. Почему? Возьмем, которое не входит в найденный промежуток, подставив его в исходное неравенство, получим -1 ≤ 1, т.е. это еще одно частное решение исходного неравенства: -1.

Что же мы сделали? Мы обе части неравенстваумножили на, не зная знака этого выражения, ведьможет принимать как положительные значения, так и отрицательные.

Таким образом, мы подтвердили важность эквивалентных, равносильных преобразований. Вспомним, что это за равносильные, эквивалентные преобразования, и продемонстрируем их на конкретном примере.

Решить неравенство

1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.

Эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком.

2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный.

3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.

Теперь исходное неравенство имеет вид: Давайте обе части неравенства разделим на (-2):

Знак неравенства изменится, т.к. мы делим на (-2) и пользуемся соответствующим правилом.

Мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями и получили правильный ответ: 

Еще один пример, решить неравенство Делаем стандартные преобразования: раскрываем скобки, получаем равносильное неравенство, которое потом упрощаем, т.е. приводим подобные члены – a2 уничтожается, -3a переносим, меняя знак.

Итак,– исходное неравенство,– его решение. Мы пользовались только эквивалентными, равносильными преобразованиями и получили ответ, который не надо проверять.

Следующий пример, решить неравенство

Любые неравенства, в том числе и простейшие, которые мы сейчас рассматриваем, решаются только эквивалентными преобразованиями. Выполняем их:   скобки, приводим подобные члены:

Исходное неравенство, его ответ

Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, связные с неравенством, вспомнили, что значит «решить неравенство», что такое «общее решение неравенства», вспомнили, что неравенства можно решать только эквивалентными преобразованиями, и выяснили, что же это за эквивалентные преобразования.

Следующий пример. Решить неравенство:

Решаем только эквивалентными преобразованиями: перенесем все в одну сторону и приведем все к общему знаменателю, далее обе части можно умножить на знаменатель и получить только числитель. Далее нам приходится разделить на отрицательное число. Это сделать можно, если знак неравенства изменить на противоположный:

 Итак, мы продемонстрировали решение некоторого количества примеров эквивалентными преобразованиями, и только ими можно решать неравенства.

Линейные неравенства – это неравенства видаЛинейное неравенство тесно связано с линейной функцией. В левой части неравенства стоит линейная функцияМы знаем график линейной функции, мы знаем, где она положительная, где отрицательная, и поэтому с помощью графика линейной функции мы можем решить неравенство. Например, решить неравенство:Рассмотрим линейную функцию, составим таблицу:

Эта функция положительна при всех значениях x больше

Ответ:

Таким образом, выясняется, что линейная функция разбивает всю область определения на два больших луча. В одном луче она отрицательна, в другом луче она положительна, и, следовательно, решение неравенства очень просто.

Приведем еще один пример. Решить неравенство:Снова решаем с помощью линейной функции. Рассмотрим функциюи построим ее график с помощью таблицы:

Нулем этой функции является 2. Эта функция сохраняет свой знак при, и она положительна. И она также сохраняет свой знак при, и при всех этих значениях функция отрицательна. Нам нужны те x, при которых функция положительна. Получим ответ, запишем его в виде промежутка

Итак, мы рассмотрели основные положения, которые нужны для решения неравенств, вспомнили, что такое неравенство, что такое частное решение, что такое общее решение, что такое эквивалентные преобразования, и рассмотрели решение линейных неравенств с помощью эквивалентных преобразований или с помощью графика линейной функции.

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 8 класс: учебник для 8 кл. общеобраз-х учреждений; под ред. С.А. Теляковского, 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2007.

2. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010.

3. Алимов Ш.А. и др. Алгебра. 8 класс. Учебник. Алимов Ш.А. и др. 17-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Домашнее задание

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 8 класс: учебник для 8 кл. общеобраз-х учреждений; под ред. С.А. Теляковского, 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2007.

№№785, 789, 793, 798.