08. Подмножество

Введение

С понятием «множество» вы уже знакомы. Подмножество, как можно догадаться из названия, – это определенная часть множества. Например:

– это множество всех учеников в классе.

– это множество девочек указанного выше класса.

– множество всех мальчиков класса.

– множество всех отличников данного класса.

– множество всех мальчиков-отличников этого класса.

Таким образом, были перечислены множество и его подмножества . Теперь мы можем дать определение, что такое «подмножество».

Определение

Если каждый элемент множества является элементом множества , то множество называют подмножеством множества .

Как пример, девочки класса из примера выше (множество ) являются ученицами класса (множество ). Значит, входит в .

Мальчики тоже являются частью класса, значит, .

Все отличники являются частью класса, .

Как и мальчики, отличники – это ученики класса, то есть .

Разница между значками и

Если у нас , то это значит, что принадлежит . То есть, это один элемент принадлежит множеству .

Если же подмножество входит в , то мы пишем .

То есть между значками есть разница.

Примеры важных числовых множеств и подмножеств

– множество натуральных чисел (с их помощью мы считаем предметы, природу и так далее.)

– множество целых чисел.

Ясно, что натуральные числа – это подмножество целых чисел, то есть .

– множество рациональных чисел.

Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то мы получим множество всех действительных чисел.

– множество действительных чисел.

Запишем правильные включения:

Пример из геометрии

Пусть множество – это множество всех четырехугольников: , , , (рис. 1).

Пусть множество – это множество четырехугольников с парой равных параллельных сторон: , , , (рис. 2).

Множество – это множество таких четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, делятся пополам: , – диагонали, т. – точка пересечения диагоналей, , (рис. 3).

Итак, было рассмотрено множества четырехугольников: множество произвольных четырехугольников; множество четырехугольников, у которых парные стороны равны и параллельны; множество четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим еще множества.

Множество – это множество всех параллелограммов, и множество – множество параллелограммов с прямым углом (рис. 4).

Таким образом, мы имеем множеств четырехугольников.

Задача

Написать верное включение (то есть, какое множество является подмножеством другого множества) (рис. 5).

Наиболее богатое – это множество всех четырехугольников. Значит:

; ; ;

Множества , , и являются подмножествами множества .

Далее вспомним определение параллелограмма:

Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Для того чтобы убедиться, что фигура является параллелограммом, необходимо вспомнить его признаки:

1. Если стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Значит, – это множество всех параллелограммов.

2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то эта фигура – параллелограмм.

Значит, – это множество всех параллелограммов.

Про множество напрямую было сказано, что это множество всех параллелограммов.

Если будет стоять вопрос, какие множества равны между собой, то можно ответить, что:

– это множества всех параллелограммов.

3. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен , то такой параллелограмм является прямоугольником.

Значит, – это множество всех прямоугольников. Множество всех прямоугольников является подмножеством (частным случаем) произвольного четырехугольника и подмножеством параллелограмма. Отсюда имеем:

; ; ;

Мы рассмотрели множества четырехугольников, из которых самое богатое множество – это множество всех четырехугольников, далее по-разному заданы множества параллелограммов и, наконец, – это множество всех прямоугольников. Были даны ответы на вопросы, где верные включения, какие множества равны между собой.

Вывод

Итак, мы узнали, что такое подмножество, и привели примеры.

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра 9 класс. – 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра 9 класс. – 16-е изд., стер. – М.: 2009. – 271 с.

Домашнее задание

1. № 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 стр. 22. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.wikipedia.org  (Источник).

2. Интернет-портал Scienceland.info  (Источник).