09. Примеры

Решение задач с алгебраическим смыслом

Ранее мы уже составляли математические модели реальных ситуаций, но только те, которые описывались линейными системами. Сейчас мы научились решать нелинейные системы. Наша задача – научиться составлять математические модели с помощью нелинейных систем уравнений.

Задача 1. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найти эти числа.

Решение:

Первый этап – переведем словесную модель на математический язык. Пусть  x и y – искомые числа. По условию

Эта нелинейная система представляет собой математическую модель реальной ситуации.

Второй этап – работа с математической моделью.

;

Ответ: 5 и 7

Обсудим связь полученной системы с квадратным уравнением. Воспользуемся теоремой Виета:

Это еще один способ решения системы.

Задача 2. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше их произведения?

Решение:

Получим математическую модель. Пусть

 искомое число, x и y его цифры. x+y- сумма цифр искомого числа, xy- произведение цифр. Составим систему.

Число двузначное, т.е.

;

 Ответ: 24.

Задача 3. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то дробь станет равна А если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 122. Найдите эту дробь.

Решение:

Пусть x – числитель дроби, y – знаменатель дроби, – искомая дробь.

(методом подбора)

(по т.Виета) – не подходит по условию задачи.

Ответ:.

Решение задач с геометрическим смыслом

Задача 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см. Его гипотенуза равна 37 см. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Дан прямоугольный

Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника.

Тогда по условию задачи

 Нам необходимо найти

 поэтому отдельно находить x и y не нужно.

Возведем в квадрат обе части первого уравнения:

Ответ:

Задача 5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, гипотенуза – 41 м. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника. Тогда

 Возведем в квадрат обе части первого уравнения, получаем:

Ответ:

Заключение

Мы решили текстовые задачи, перевели русский язык на математический, получили нелинейные математические модели, решили их, и получили решения исходных задач. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на движение.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

2. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 143, 146, 152, 164.