12. Прогрессии. Арифметическая прогрессия

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму, можно складывать числа не по порядку.

Заметим:

первое и последнее слагаемое дают в сумме 101;

второе и предпоследнее дают в сумме 101;

третье с начала и третье с конца – в сумме тоже 101.

Чисел всего 100, значит, подобным образом составленных сумм 50.

Этот пример иллюстрирует формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Это число d называется разностью арифметической прогрессии

Формула n члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии второй член равен предыдущему, т. е. первому, сложенному с d.

Аналогично, третий член равен второму, сложенному с d. Второй же член равен первому плюс d. Итак, мы выразили третий член через первый и разность арифметической прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии можно выразить через

. Поэтому арифметическую прогрессию можно задать, указав ее первый член и разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Слева и справа – разность арифметической прогрессии.

Поменяем в этом равенстве

 местами.

Итак, является средним арифметическим предшествующего и последующего члена.

Это справедливо для любого члена арифметической прогрессии, кроме первого и последнего. Более того, это критерий для определения, является ли данная последовательность арифметической прогрессией.

Обобщение характеристического свойства

Докажем, что 

Основной прием:

выразить данные через

.

Равенство справедливо потому, что сумма индексов – постоянное число.

Упражнение

Найти, если известно, что

Воспользуемся формулой n члена.

Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Упражнение на использование характеристического свойства

Даны три числа:

. Найти y т.ч. эти три числа яв- ляются последовательными членами арифметической прогрессии

Воспользуемся характеристическим свойством и составим равенство. Мы получили уравнение. Решим его.

Ответ: y = 1

Умножим левую и правую часть на 2.

Упростим правую часть.

Перенесем 5y справа налево.

Получили ответ.

y=1

Проверим полученный ответ. Действительно ли полученные три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии?

1 способ.

 верно

2 способ.

 верно

Во-первых, воспользуемся характеристическим свойством еще раз.

Во-вторых, проверим, используя определение.

Упражнение. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на пять дают остаток единицу

Первое трехзначное число, которое дает при делении на пять в остатке единицу, – это 101. Следующее такое число – это

. Потом,

 Заметим, что все искомые числа образуют арифметическую прогрессию с разностью пять.

 n-?

Последнее трехзначное число, удовлетворяющее условию, – это 996. Найдем его номер.

Воспользуемся формулой n члена.

Подставим известные величины. Решим уравнение

.

Ответ: 98730.

Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии.

 Список литературы

1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.

2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.

3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.

5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.

6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

Домашнее задание

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 16.16 (а,б); 16.17 (а,б); 16.18; 16.35.

2. Другие задания: 16.22; 16.30; 16.5 3; 16.64

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Slovo.ws (Источник).

2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).