13. Прогрессии. Геометрическая прогрессия

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, отношение каждого члена которой, начиная со второго, к предыдущему есть число постоянное.

Это число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

…

 т.е.

Определение можно дать иначе. Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Формула n члена геометрической прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

=

=

Мы выразили

 через и q.

Мы выразили через и q.

Любой член геометрической прогрессии можно выразить через

. Поэтому геометрическую прогрессию можно задать, указав ее первый член и знаменатель.

Формула суммы первых n членов геометической прогрессии

Характеристическое свойство

 т.е.

 является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

Это справедливо для любого члена арифметической прогрессии, кроме первого и последнего. Более того, это критерий для определения, является ли данная последовательность геометрической прогрессией.

Обобщение характеристического свойства

Докажем, что

 .

Основной прием:

выразить данные через.

Равенство справедливо потому, что сумма индексов – постоянное число.

Упражнение 1

Дана геометрическая прогрессия  .

Найти сумму квадратов первых шести членов.

Последовательность членов геометрической прогрессии, возведенных в квадрат, является геометрической прогрессией. 

…

В справедливости этого факта легко убедиться. Отношение каждого члена последовательности, начиная со второго, – это одно и то же число. Оно равно

 (где q – знаменатель исходной прогрессии).

Замечание. Последовательность членов геометрической прогрессии, возведенных в куб, тоже является геометрической прогрессией. Ее знаменатель – это

 (где q – знаменатель исходной прогрессии).

= 12285

Наша задача сводится к нахождениюдля новой прогрессии.

Упражнение 2

Дано:

.

Найти

Основной прием: выразить данные через.

Вынесли общий множитель.

Разложим на множители сумму кубов

.

Разделим первое уравнение систему на второе.

Сократим дробь.

Выполним преобразования.

Получим квадратное уравнение и решим его.

 или

 
Подставим найденные значения для q и найдем.

Заключение

Список литературы

1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.

2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.

3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.

5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.

6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

Домашнее задание

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 17.8 (а,б); 17.10 (а,б); 17.19 (а,б); 17.27 (а,б).

2. Другие задания: 17.24; 17.35; 17.44

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания (Источник).

2. Math-portal.ru (Источник).