06. Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств

Эквивалентные преобразования рациональных неравенств

Решить рациональное неравенство означает найти все его решения. В отличие от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. 

Поэтому нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных, или равносильных, преобразований. Такие преобразования не искажают множества решений.

Определение. Рациональные неравенства называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак.

Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы

Решение системы неравенств:

Первое и второе неравенства — это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесём числа, стоящие в правой части, в левую — с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

.

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем 1 в первом неравенстве и 2 — во втором:

Упростим полученные неравенства. Далее будем решать каждое неравенство по очереди:

Решение первого неравенства методом интервалов

Решение неравенства

 методом интервалов.

Введём функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0:

Найдём область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. 2 — точка разрыва. При х = 2 функция неопределённа:

Найдём корни функции. Функция равна 0, если в числителе стоит 0:

Поставим на числовую ось точки разрыва и корни функции. Точки разрыва выкалываем всегда, а корни — в зависимости от знака неравенства. У нас неравенство строгое. Поэтому корень тоже выкалываем.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала — это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит, и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку x=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак и будет отрицательной. Проведём аналогичное рассуждение. При переходе через точку x=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал, соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства:

Приём сведения дробно-рационального неравенства к квадратному. Решение первого неравенства

Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства.

Важный факт!

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами:

Это так, потому что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем этот факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным:

Решим квадратное неравенство.

Введём квадратичную функцию. Найдём её корни и построим эскиз её графика:

, значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства

Решение неравенства

Введём функцию:

Найдём её интервалы знакопостоянства. Для этого найдём корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (). Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки.

Запишем решение:

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения

Закончим решение системы. Найдём пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности, нужно записать полученные результаты в одну систему:

Изобразим решение первого неравенства над осью

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:

Список рекомендованной литературы:

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 9 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 9 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018