07. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

 Найдем переменную «у» из второго уравнения и подставим в первое.
 Заметим,  что  первое уравнение  системы теперь зависит только от переменной х.

x2+(x+4)2=16

x2+x2+8x+16=16

2x2+8x=0

2x ⋅ (x+4)=0

x=0 или x=-4

 Решим \\ первое уравнение. Раскроем скобки.
 Приведем подобные члены.
 Получилось \\ неполное квадратное уравнение. Вынесем «2х» за  скобки и получим  произведение равное 0.
 Очевидно, что либо первый множитель «2х» равен 0, либо второй множитель «х+4» равен 0.

 Первый этап метода подстановки

      -   Из какого-нибудь уравнения  выразить одну переменную через другую

      -   Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его

 Итак, мы нашли возможные значения для переменной «х».      Вернемся к  исходной системе уравнений и найдем соответствующие значения для второй переменной  «у».

 Подставим   найденные значения «х».

 Итак, путем эквивалентных преобразований исходной системы уравнений мы получили две пары чисел. Это ответ.

 Ответ: (0;4) или (-4;0)

  Ответ можно записать как два набора из двух чисел. Важно, что в каждой паре на первом месте стоит значение переменной  «х», а на втором месте значение переменной «у».

 Второй этап метода подстановки

     -   Сделать  подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной

     -   Записать ответ

 (x-a)2 + (b-a)2 = R2

  Это уравнение окружности с центром в точке О  с координатами (a;b) и радиусом   R

Запишем первое уравнение системы  x2 + y2 = 16 иначе 

                                     (x-0)2 + (y-0)2 = 42

Графиком данного уравнения является \\ окружность с центром в  точке с координатами (0;0) и радиусом  4.
Данная окружность – это множество решений первого уравнения. Координаты любой точки окружности обращают уравнение в верное равенство.

Ответ: (0;4)  или (-4;0)

Запишем второе уравнение системы  y - x = 4 иначе y = 4 + x

Графиком данного уравнения является прямая. Прямая – это множество решений второго уравнения.
\\ Прямую построим на том же графике, что и окружность.
Точки для построения прямой.

\\

Множество решений первого уравнения и множество решений второго уравнения пересекаются в двух точках.
Первое решение (0;4) и второе решение (-4;0).
\\ Запишем ответ.

           Пусть 

 Тогда  

 Рассмотрим первое уравнение системы.
 Воспользуемся приемом замены переменной.
 Введем новую переменную t.
 Перепишем первое уравнение системы

 Первое  уравнение системы зависит теперь только от переменной  t. Решим его, выполняя эквивалентные преобразования.
 

Перенесем «2,5» из правой части в левую с противоположным   знаком. Представим 2,5 как 5/2. Выполним предписанные  алгебраические действия. Получим дробь, которая равна 0. Это  возможно только, если числитель равен 0, а знаменатель не равен.
 

 Решим квадратное уравнение,

 Выполним обратную замену.

 Вернемся к решению системы. Вместо первого уравнения запишем полученный результат.

 Воспользуемся методом подстановки.
 Первая система: Вместо переменной «х» подставим найденное для нее выражение «2у». Вторая система: вместо переменной у подставим «2х».

 Первая система:  

 Вторая система: решением является пустое множество. Это так потому, что ни при каких значениях  «х»  

или

 Ответ: (2;1) или (-2;-1)

 Итак, 

 Найдем из первой системы соответствующие значения переменной х

 Запишем ответ.