01. Рациональные неравенства и системы. Метод интервалов

Раздел 1. Основные понятия и определения

Рациональные неравенства с одной переменной – это неравенства вида

где h и g – рациональные выражения.

Рациональные выражения – это алгебраические выражения, которые составлены из чисел и переменной x с помощью операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень.

Перенесем в одну сторону:

Все это выражение можно обозначить как:

Решить неравенство – значит найти все его решения.

Неравенство отличается от уравнения тем, что уравнение имеет некоторое конечное количество решений. Каждое из этих решений можно проверить методом подстановки.

При решении неравенств зачастую в ответе мы получаем промежуток, на котором бесконечное множество точек. Каждую из них проверить невозможно. Невозможно понять, есть ли среди бесконечного множества решений недостающий или лишний корень. Поэтому неравенства решают только с помощью эквивалентных (равносильных) преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Раздел 2. Решение примера

Пусть задано неравенство:

В левой части рациональная функция, в правой части число.

Грубой ошибкой будет домножить обе части неравенства на x

даже с учетом ОДЗ:

Рис. 1. Решение неравенства

Проверим полученное решение. Пусть. Получим неравенство:

Неравенство является верным. Но числа нет в ответе. Аналогично для x = -3. Таким образом, мы потеряли часть корней неравенства. Нарушен важный математический закон!

Согласно свойствам числовых неравенств, можно домножить обе части неравенства на одинаковое положительное число и получить равносильное неравенство:

Если же домножить на одинаковое отрицательное число, получим неверное неравенство.

При домножении на отрицательное число следует менять знак неравенства на противоположный:

В заданном примере нельзя домножить на, так как неизвестно, какое значение принимает переменная – положительное или отрицательное. Если решать неравенство таким путем, будет потеряна часть корней – решение будет неполным.

Раздел 3. Решение неравенства методом интервалов

Пример

Решить неравенство.

Комментарий: зачастую в заданиях, где требуется решить неравенство, будет задано выражение, которое еще требуется преобразовать. Например:

Разложив на множители числитель и знаменатель, получим:

Кроме того, в правой части неравенства может стоять некоторое алгебраическое выражение. Поэтому первым делом нужно преобразовать заданное выражение к виду и только после этого начинать решение.

Решение

Рассмотрим функцию, которая стоит в левой части:

Известно, что, если перемножаются два множителя одного знака, произведение имеет знак плюс, если два множителя разного знака, то минус.

Приравняем числитель к нулю и найдем корни.

Корни числителя.

Приравняем знаменатель к нулю и найдем область определения:

Выколотые точки (в этих точках функция не существует).

Нанесем найденные корни и выколотые точки на ось.

Получаем интервалы знакопостоянства выражения или интервалы знакопостоянства функции. Каждый из множителей внутри каждого интервала сохраняет знак. Запишем таблицу знаков.

Чтобы определить знак каждого множителя на каждом интервале, берем произвольное число с интервала и подставляем в множитель. Например, множитель на интервале: подставим число -100, получим имеет знак минус. Аналогично остальные множители и интервалы.

Самый важный принцип: знак каждого множителя внутри каждого интервала постоянен. Знак функции внутри каждого интервала постоянен. Функция может изменить знак только при переходе через корень или выколотую точку.

Нанесем знаки функции на ось.

Согласно заданному неравенству выбираем промежутки, в которых функция отрицательна или равна нулю.

Обратите внимание: точки x = 1 и x = 2 входят в решение, точки x = 3 и x = 4 не входят!

Ответ можно выписать либо в форме неравенства, либо в форме интервалов. В данном случае удобнее записать интервал:

Ответ:.

Вывод

Итак, мы решили рациональное неравенство методом интервалов. Отметим, что при определении знаков можно строить таблицу, как мы сделали в примере. Можно обойтись и без таблицы: сразу подставлять некоторое число из интервала в заданное выражение и получать знак всего выражения.

Сопутствующая задача

Найдите число натуральных решений неравенства

Мы получили ответ:

. Натуральными на полученных промежутках являются числа 1 и 2.

Ответ: неравенство имеет два натуральных решения.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.

2. А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.

3. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.

5. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.

6. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «resolventa.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Решите неравенство методом интервалов:

2. Сколько целых решений имеет неравенство: