06. Решение рациональных неравенств повышенной сложности

Тема урока, введение

Мы решали рациональные неравенства вида и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.  

Решение задач

Рассмотрим неравенства другого типа.

1. Решить неравенство

Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.

Теперь можно исследовать функцию

Рассмотрим функцию нет корней.

Схематически изобразим и прочитаем график функции (Рис. 1).

Функция положительна при любом

при всех 

Т.к. мы установили, что можем поделить обе части неравенства на это выражение.

Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель.

Рассмотрим функцию

Схематически изобразим график функции - параболу, значит ветви направлены вниз (Рис. 2).

Ответ:

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию

1. Область определения

2. Нули функции

3. Выделяем интервалы знакопостоянства.

4. Расставляем знаки (Рис. 3).

Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.

Мы допустили типовую ошибку – не включили в ответ корень. В данном случае равенство нулю допускается, т.к. неравенство нестрогое.

Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что

Ответ: 

Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения.

Рассмотрим еще один пример.

3. Решить неравенство

Разложим на множители каждую скобку в отдельности.

при всех  т.к. 

, потому можно не учитывать этот множитель.

Теперь можно применить метод интервалов.

Рассмотрим Сокращать числитель и знаменатель на мы не будем, это ошибка.

1. Область определения

2. Нули функции нам уже известны

 не является нулем функции, т.к. не входит в область определения -  в этом случае знаменатель равен нулю.

3. Определяем интервалы знакопостоянства.

Ответ:

Заключение

Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 37; 45(а,в); 47(б,г); 49

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Виртуальный репетитор (Источник).