02. Решение различных задач по комбинаторике

Задача 1

В команде 11 человек. Сколько есть способов выбрать из этой команды капитана и вице-капитана?

Решение

Выбрать капитана – 11 способов, для каждого из них выбрать вице-капитана – 10 способов.

Значит, всего будет 110 способов.

Эту задачу можно было решить с помощью формулы. Мы выбираем двух людей из одинадцати. Порядок нам в данном случае важен, потому что капитан и вице-капитан не могут быть одним и тем же человеком. Поэтому:

По формуле:

Ответ: 110 способов.

Задача 2

В группе по английскому языку учится 11 человек. Учитель выбирает произвольного ученика по журналу и назначает его старостой группы, после чего снова выбирает произвольного ученика и назначает его стирать с доски. Сколько у учителя способов сделать свой выбор?

Решение

Казалось бы, задача такая же и ответ тот же. Но не совсем так! Ведь староста и стиратель с доски могут быть одним и тем же человеком. В этом случае есть 11 вариантов для выбора старосты и 11 вариантов для человека, который будет стирать с доски.

Ответ: 121 способ.

Задача 3

У мастера есть 4 полоски ткани: красная, синяя, зеленая и белая. Мастер хочет сшить трехполосный флаг (полосы – горизонтальные). Сколько у него есть способов это сделать (предполагается, что красный – синий – белый и белый – синий – красный – разные флаги)?

Решение

В качестве первой полоски – 4 варианта. Для каждого из них выбрать вторую полоску – 3 варианта. Третья полоска – 2 варианта.

Итого 24.

Можно было решить задачу и по формуле: у нас есть 4 варианта, из них надо выбрать три, причем порядок выбора важен. Значит, это число размещений из 4 вариантов по 3 местам:

Ответ: 24 способа.

Задача 4

Сколько существует трехзначных чисел, которые составлены из четных различных цифр?

Решение

Всего четных цифр 5 – 0, 2, 4, 6, 8.

На первое место 4 варианта (кроме 0). На второе – также 4 (подойдет любая цифра, кроме первой). На третье – уже три (все, кроме первой и второй). Итого:

Ответ: 48 чисел.

Задача 5

Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Решение 

Напомним: диагональ – это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим произвольную вершину. Сколько диагоналей можно провести из нее?

Очевидно, 17: во все вершины, кроме самой себя и двух соседних. Всего вершин 20, значит, диагоналей будет Все? Увы, нет.

Заметим, что каждую диагональ мы посчитали два раза! Если рассмотреть диагональ, то мы ее считаем два раза, когда рассматривали каждую из точек. Значит, надо поделить найденное количество на 2. Итого, ответ:

Эту формулу можно обобщить и для произвольного -угольника:

Ответ: 170 диагоналей.

Заключение

Сегодня мы с вами узнали, как решаются некоторые комбинаторные задачи, мы повторили, что такое размещение. А кроме того, выяснили, что иногда даже очень похожие внешне задачи имеют разные решение и, соответственно, разные ответы, в зависимости от контекста.

Задача повышенной сложности

У Юли есть 4 любимые картины, а у ее мужа Георгия – 5 красивых постеров. Юля и Георгий хотят оформить стену в гостиной, для этого они хотят повесить вдоль стены 2 картины и 2 постера. Сколько способов у них есть это сделать?

Решение

Во-первых, посчитаем количество способов выбрать 2 картины из 4. Так как пока порядок нам не важен, мы просто выбираем 2 объекта, то это  вариантов.

Аналогично, выбираем 2 постера –  вариантов.

Итого, 60 вариантов выбрать 4 объекта на стену.

Теперь посчитаем, сколько способов расположить их на стене. C этого момента порядок становится важен. Давайте посчитаем, сколько способов есть повесить картины и постеры в нужном нам порядке. А это будет уже просто перестановка из четырех элементов:

Эти 24 варианта есть для каждого из 60 вариантов выбора объектов на стену.

Итого, имеем:

Ответ: 1440 способов.

Список литературы

1. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7–9 класс. Изд-во: Учитель, 2010.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Под ред. С.А. Теляковского. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: 2003.

3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 классов. – М.: Мнемозина, 2002.

4. Ткачев М.В., Федоров М.Е. Алгебра 7–9. Элементы статистики и вероятности. – М.: Просвещение, 2003.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Математика в школе» (Источник)

2. Интернет-портал «Открытый урок» (Источник)

Домашнее задание

1. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

2. Алексей занимается спортом, причем 4 дня в неделю – легкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?