11. Решение уравнений с параметром

Простейшие уравнения с параметрами

Когда один футболист хочет отдать другому «пас на ход», он должен решить уравнение: с какой силой и под каким углом нужно отдать пас, чтобы другой футболист успел к мячу.

Рассмотрим упрощенную модель: футболист A отдает мяч по прямой, а футболист B бежит по заданной прямой l с заданной постоянной скоростью. При этом скорость и направление паса футболист A может менять.

Можем перевести эту задачу на математический язык: при каких начальных параметрах паса (скорости и угла) расстояние AC мяч пройдет за то же время, что и футболист пробежит расстояние BC? Тогда:

Но AC – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, BC – катет, поэтому они связаны соотношением:

Получаем:

Откуда:

Мы нашли скорость паса при заданном угле. Можем найти угол при заданной скорости паса:

Это примеры простейших уравнений с параметром. В первом случае параметром выступает угол, а скорость – это неизвестная. Во втором – наоборот.

Можно рассмотреть похожую задачу с противоположной целью: капитаны судов должны решать вопрос, какими должны быть скорости и направление движения, чтобы корабли не столкнулись.

Линейные уравнения с параметрами

Сегодня на уроке мы поговорим о технике решения уравнений и неравенств с параметром.

Принципиально новых алгоритмов и методов не появится – мы будем использовать уже полученные нами навыки. Но при этом взглянем на решение уравнений и неравенств чуть шире и сделаем акцент на некоторых нюансах. Начнем с решения самых простых – линейных уравнений.

Вспомним, что любое линейное уравнение можно привести к виду ac=b, где a и b – некоторые числа.

Это общий вид, и он нам удобен, поскольку описывает целый класс уравнений. Так вот, эти числа, a и b, еще называют параметрами. Соответственно, уравнение – это линейное уравнение с двумя параметрами: a и b.

Смотрите: ничего нового, это все то же уравнение, алгоритм решения которого мы уже все знаем. Но есть нюансы. Решить уравнение с параметром – значит найти его корни при всевозможных значениях параметров. Мы знаем, что при корнем уравнения будет:

Но нужны решения при всех значениях параметров. Что же будет при a=0? Если a=0, наше уравнение примет вид или просто 0=b. Какие решения имеет это уравнение?

Если b=0, то получим правильное равенство. Значит, решением будут все действительные числа.

Если же, то равенство будет неверным. В таком случае уравнение не имеет решений.

Запишем ответ:

1. Если, то:.

2. Если a=0 и b=0, то (все действительные числа).

3. Если a=0 и, то (пустое множество, нет решений).

Проанализируем решение. Мы действовали по известному нам алгоритму решений линейных уравнений.

Шаг 1. Перенести все слагаемые с неизвестной величиной (x)  в одну сторону, остальные – в другую.

Шаг 2. Привести подобные слагаемые.

Шаг 3. Разделить на коэффициент при x.

Правда, первые два шага у нас уже были выполнены. При этом мы отдельно рассмотрели значение a=0. Почему? Потому что при a=0 мы не можем совершить шаг 3: деление на ноль не определено.

Этот принцип можно применить для решения любых уравнений и неравенств с параметром: мы действуем по стандартному алгоритму для данного типа математической модели, но на каждом шаге проверяем, не возникает ли недопустимых действий или других особенностей. С алгоритмами мы уже знакомы, так что посмотрим, какие могут возникать «особенности».

Задание 1. Решить уравнение при всех значениях параметра k:

Решение

Это линейное уравнение, поскольку неизвестная x стоит в первой степени. Действуем по алгоритму решения линейного уравнения.

Шаг 1. Перенести слагаемые с неизвестной в одну сторону, остальные – в другую:

Шаг 2. Привести подобные слагаемые. Для этого вынесем x за скобку:

Шаг 3. Нужно разделить на коэффициент при x. Но выражение может равняться 0, тогда мы не сможем выполнить деление. Поэтому нужно отдельно рассмотреть этот случай:

Решим это квадратное уравнение, чтобы определить значения параметра:

Тогда:

Итак, при k=0 и k=-1 мы не можем выполнить 3 шаг нашего алгоритма. Подставим эти значения в уравнение и посмотрим, какой вид оно примет:

при k=0:

0=2

Уравнение не имеет решений.

при k=-1:

0=0

Решение – все действительные числа.

Если же, то мы можем выполнить деление в уравнении:

Или после упрощения:

Ответ: при k=0:; при k=-1:; при и:.

Линейные неравенства с параметрами

Теперь перейдем к линейным неравенствам с параметром. Алгоритм их решения практически такой же, как и у уравнений. Только возникает еще одна особенность на последнем шаге: знак неравенства меняется на противоположный, если делим обе части неравенства на отрицательное выражение. 

Задание 2. Решить неравенство при всех значениях параметра a.

Решение

Шаг 1. Здесь уже выполнен.

Шаг 2. Выносим за скобки x:

Шаг 3. Обе части неравенства нужно разделить на. Но, во-первых, это выражение может быть равно 0, тогда результат деления будет не определен. Во-вторых, мы не знаем знак этого выражения. Соответственно, не знаем, изменится ли знак неравенства. Поэтому рассмотрим отдельные случаи.

1. Первый случай:

Решая это уравнение для параметра a, получаем: a=2

Рассмотрим его отдельно, подставив в неравенство:

0<3

Неравенство верное, значит, решение – все действительные числа.

2. Второй случай:

Решая неравенство, получим:

a>2

При этих значениях a мы делим на положительное выражение:

Знак неравенства не изменяется:

3) Третий случай:

Решая неравенство, получим:

a<2

В этом случае делим на отрицательное число, знак меняется на противоположный:

Ответ: при a=2,; при a>2,; при a<2,.

С решением еще одного линейного неравенства с параметром вы можете ознакомиться ниже.

Решение неравенства с параметром

Задание. Решить неравенство при всех значениях параметра k:

Мы уже решали аналогичное уравнение. После выполнения первых двух шагов алгоритма получаем:

Как и в решении предыдущего линейного неравенства, рассматриваем 3 случая:

1.  – при этом мы не можем выполнить деление, эти значения нужно рассмотреть отдельно.

2.  – в этом случае знак неравенства не изменится при делении.

3.   – в этом случае знак неравенства изменится на противоположный.

Для каждого случая нам нужно найти значения k, при которых выражение

 больше, меньше или равно нулю. Это удобно сделать сразу:

1. Решения уравнения мы уже знаем: k=0 или k= -1.

2 и 3. При решении неравенств для параметра k можем использовать метод интервалов. Корни соответствующего уравнения: k=0 или k= -1. Осталось расставить их на оси и определить знаки на интервалах.

То есть при; при.

Со значениями параметра определились, переходим к решению исходного неравенства для x.

1. Отдельно рассматриваем случаи k=0 и k=-1. При k=0:

0<2

Неравенство верное, решение – любое действительное число. При k=-1:

0<0

Неравенство неверное, решений нет.

2. При знак неравенства не изменится при делении на:

3. При знак неравенства изменится на противоположный:

Ответ: при:; при k=-1:; при:;:.

Квадратные уравнения с параметрами

Теперь перейдем к решению квадратных уравнений с параметром. Мы изучали несколько способов решения квадратных уравнений, но для уравнений с параметром нам понадобится четкий алгоритм – решение с помощью дискриминанта.

Выделим особенности, которые могут возникнуть в ходе решения уравнения вида. Во-первых, они могут возникнуть уже на этапе определения типа уравнения. Если a=0, то полученное уравнение будет уже не квадратным, а линейным.

Вторая особенность связана с дискриминантом. Помним, что в зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение имеет два или одно решение или вообще не имеет решений в действительных числах.

Итак, мы указали особенности, знаем общий алгоритм решения квадратных уравнений. Перейдем к практике.

Задание 3. Решить уравнение для всех значений параметра a:

Решение

Коэффициент при равен 1, это точно квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:

Видим, что дискриминант зависит от параметра и его знак мы не можем однозначно определить. Рассматриваем отдельно возможные варианты:

1. Если, то уравнение имеет два действительных корня.

2. Если – один действительный корень.

3. Если, то уравнение не имеет действительных корней.

Найдем значения параметра, при которых выполняется каждое из этих условий:

1.

a<1

2.

a=1

3.

a>1

Итак, при a<1 уравнение имеет два корня. Находим их по известной формуле:

Упростив выражение:

При a=1 уравнение имеет один корень:

При a>1 уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при a<1,; при a=1, x=1; при a>1,.

Задание 4. Решить уравнение для всех значений параметра a:

Решение

Обратим внимание на коэффициент при. Он может быть равен нулю, и в этом случае уравнение будет не квадратным, а линейным. Эту ситуацию рассматриваем отдельно:

a=1

При a=1 получим линейное уравнение:

x=1

Если же, то уравнение будет квадратным. Вычисляем дискриминант:

Оцениваем знак дискриминанта. Можно, как и в предыдущем примере, решать уравнения и неравенства:

А можно сразу отметить, что всегда неотрицательная величина. Т. е. только при a=0; в остальных случаях это положительная величина.

Получаем, что при a=0 уравнение имеет один корень:

В остальных случаях имеем два корня:

Рассмотрев корни по отдельности, выражение можем еще упростить:

Ответ: при a=1, x=1; при a=0x=1,; при и,,.

Оценка значений корней уравнения

Мы с вами разобрали основные задания с параметрами: решение линейных уравнений и неравенств, а также квадратных уравнений. Параметры могут встретиться и в более сложных типах уравнений и неравенств, а также их системах.

Но принцип их решения будет абсолютно такой же – действуем по известному алгоритму, на каждом шаге обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и пр.

Иногда для поставленной задачи нам не нужно находить общее решение уравнения, а нужно всего лишь узнать какую-то информацию о его корнях. Например, узнать количество корней уравнения или их расположение относительно некоторого фиксированного числа. В таком случае, конечно, можно найти общее решение и дать ответ на вопрос, но обычно это более сложный и долгий путь. Далее в уроке мы разберем, как можно узнать информацию о корнях уравнения намного быстрее и проще.

Задание 5. Найти все значения параметра b, при которых корнем уравнения является число 3.

Решение

Здесь нужно вспомнить лишь один факт: корнем уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Т. е. просто берем и подставляем вместо x число 3. Должны получить правильное равенство:

Осталось найти значения параметра b, при которых это равенство будет верным. По сути – решить уравнение относительно b:

Вынесем число 3 за скобку:

Свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности:

Откуда:b=1

Ответ: 1.

Оценка расположения корней уравнения

Теперь разберем задачи, где нужно оценить расположение корней уравнения. Начнем с линейных уравнений в общем виде. Пусть для линейного уравнения

 нужно найти такие значения параметров, при которых корень уравнения будет больше некоторого значения t. Конечно, можно найти полное решение уравнения с параметром, чтобы ответить на этот вопрос. Но можно сделать и по-другому.

Преобразуем уравнение к виду:

Тогда корень уравнения – это нуль функции. В зависимости от знака a

 возможны 2 варианта расположения графика, при которых нуль функции будет больше t.

Обратите внимание: при a>0 значение функции в точке t будет отрицательным:, при a<0 – положительным:. Это можно записать одним неравенством:.

Итак, мы получили условие, при котором корень уравнения больше t:

Аналогичным образом можно получить условие, при котором корень уравнения будет меньше t:

Используя эти готовые результаты, можно быстро решать задачи следующего вида.

Задание 6. При каких значениях параметра m корень уравнения больше 1?

Решение

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Видим, что коэффициент при x равен 2m. Значение соответствующей функции в точке 1:

Корень уравнения будет больше 1 при условии:

При решении методом интервалов получим ответ:

Можно решить это задание и проверенным способом. Рассмотреть отдельно случай при m=0:

0=1

Неверное равенство, корней у уравнения нет.

Если, то корнем уравнения будет:

Осталось решить неравенство:

Получаем неравенство:

Решая его методом интервалов, получим тот же промежуток:

Этот способ более универсальный: для его использования не надо практически ничего запоминать.

Ответ:.

Используя аналогичный подход, можно оценить и расположение корней квадратного уравнения. Рассмотрим условие, при котором один из корней квадратного уравнения больше некоторого значения t, а другой – меньше.

Снова обратимся к графику. Решение уравнение – это нули функции. Возможны лишь 2

 варианта, при которых нули будут располагаться по разные стороны от числа t.

Снова обращаем внимание.

a>0, y(t)<0, при a<0, y(t)>0. То есть:

Рассматривая расположения параболы, которые уже не будут удовлетворять условию задачи, можно убедиться, что в каждом из случаев будет больше или равно 0.

Итак, мы получили вывод: корни уравнения лежат по разные стороны от числа t тогда и только тогда, когда.

Задание 7. Найти значения параметра p, при которых один из корней уравнения

больше 1, другой – меньше.

Решение

Рассмотрим отдельно случай p=0 (уравнение не будет квадратным):

1=0

Корней нет, не удовлетворяет условию.

При получаем: коэффициент при равен p. Значение соответствующей функции в точке 1:

Получаем неравенство:

Решая его методом интервалов, получаем ответ:

Ответ:.

О других вариантах расположения корней вы можете узнать из ответвления.

Когда корни квадратного уравнения больше или меньше некоторого числа

Рассматривая различные положения параболы, можно убедиться, что соотношение выполняется тогда и только тогда, когда нули функции лежат по разные стороны от числа t. В остальных случаях будет выполняться неравенство:

Посмотрим, какие это могут быть случаи:

1. Функция не имеет нулей.

2. Нули функции больше числа t.

3. Нули функции меньше числа t.

Отличить эти случаи легко: в первом случае дискриминант отрицательный, во втором и третьем – положительный. При этом если нули больше t, то вершина параболы будет правее по оси x, чем t; если меньше – левее. Получаем следующие условия для расположения корней.

Оба корня квадратного уравнения больше числа t тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:

Оба корня квадратного уравнения меньше числа t тогда и только тогда, когда выполнены неравенства:

Оценка количества корней уравнения

Иногда в задачах могут возникнуть ситуации, когда нам не обязательно знать значения корней, а нужно найти лишь их количество. В таком случае нам поможет графический метод решения. 

Задание 8. Найти количество решений системы уравнений для всех положительных значений параметра a:

Решение

Построим графики уравнений. График второго мы можем построить однозначно – это прямая, параллельная оси y. График первого уравнения – это окружность с центром в начале координат и радиусом a.

Тогда:

1. При a<3

    окружность не будет пересекать прямую – система не будет иметь решений.

2. При a=3

    окружность будет касаться прямой – система будет иметь одно решение.

3. При a>3

    окружность будет пересекать прямую и получим 2

    решения.

Ответ: при a<3: нет решений; при a=3: одно решение; при a>3: два решения.

Задание 9. При каких значениях параметра a система уравнений имеет ровно 1 решение:

Решение

График первого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом 2.

Чтобы построить график второго уравнения, свернем по формуле полный квадрат:

Это окружность с центром в точке и радиусом 1.

Чтобы система имела 1 решение, окружности должны касаться. С учетом того, что центр второй окружности лежит на оси x, получаем 4 возможных варианта.

Координаты центра окружности в каждом из случаев:

Ответ:.

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «открытыйурок.рф» (Источник)

Домашнее задание

1. При каких значениях параметра a

    неравенство

    выполняется при всех действительных значениях x

   ?

2. Сколько решений имеет система уравнений

    в зависимости от значения параметра a

   ?

3. При каких значениях параметра a

    корни уравнения

    отрицательны?