03. Синус и косинус. Их свойства и уравнения

Тема урока, введение, повторение

Напоминание:

Числовой аргумент t мы откладываем на единичной окружности, которая помещена в координатную плоскость .

Каждому числу t соответствует т. М на единичной окружности (рис.1).

Числовая окружность помещена в координатную плоскость, значит т. М имеет две координаты .

Первую координату назвали косинусом числа t, вторую – синусом числа t.

Свойства точек числовой окружности

Свойства:

1. Если каждому числу t соответствует только одна точка М, то точке М соответствуют все числа вида:

количество оборотов в положительном или отрицательном направлении.

Соотношение (1) показывает, что период функций синус и косинус равен наименьший положительный период равен .

Если задано число t, мы получаем только одну точку М . Но если задана точка, ей соответствует не только одно число t (длина дуги АМ), но и все числа вида , т.е. чисел, соответствующих точке числовой окружности бесчисленное множество.

1. Если длина дуги единичной окружности равна t, то она численно равна в радианах.

геометрическая интерпретация.

1. уравнение единичной окружности.

основное тригонометрическое тождество.

Свойства синуса и косинуса

Свойства синуса и косинуса.

Проиллюстрируем на числовой окружности.

длина дуги

длина дуги

Абсциссы точек M и М₁ одинаковы, т.е. , а ординаты противоположны, т.е.

Проиллюстрируем на числовой окружности.

Пусть т. М соответствует числу t, тогда т. отличается от т. М на  половину окружности. И абсциссы и ординаты точек противоположны, значит

Это следует из определения: так как мы рассматриваем единичную окружность, то  абсциссы и ординаты принадлежащих ей точек находятся в промежутке от до

Пример

Пример: Решить уравнение: 

Таким образом, по заданной ординате находим все точки единичной окружности, а по точкам находим множество всех действительных чисел, им соответствующих.

Ответ:

Таким образом, мы рассмотрели свойства синуса и косинуса.

Заметили, что

Заключение

В заключение отметим, что знаки синуса и косинуса легко установить по определению:

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Полезные ссылки

1. Открытая математика

2. РЕШУ ЕГЭ

3. РЕШУ ЕГЭ

4. РЕШУ ЕГЭ

Проверьте себя

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 577; 579; 583; 584; 592; 594.