13. Системы рациональных неравенств повышенной сложности

Напоминание, определение рационального выражения

На этом уроке рассмотрим решение более сложных рациональных неравенств.

1. Решить систему 

Напомним, что рациональное выражение – это любое выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операций возведения в степень. Так что любое линейное либо квадратное неравенство тоже является рациональным.

Решение системы с рациональным выражением

Рассмотрим  систему дробно-линейных неравенств:

Рассмотрим первое неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения:

Нули функции:

Как можно было проще решить такое неравенство?

Отступление: обобщенное правило для дробно-рациональных неравенств

Сформулируем обобщенное правило: Дробь положительна тогда и только тогда, когда произведение числителя и знаменателя положительно.

Числа должны быть одного знака, либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Рассмотрим второе неравенство:

 хорошо нам знакомая квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Решение системы, продолжение

Вернемся к системе.

Нанесем эти промежутки на ось координат.

Ответ:

При нанесении корней на координатную ось нужно четко понимать, какая дробь больше, а какая меньше, для этого их необходимо привести к общему знаменателю.

Мы рассмотрели решение довольно сложной системы, которая была нам дана.

Задание на составление системы

В следующем примере систему нужно сначала составить.

2. Найти область определения выражения   

Рассмотрим функцию

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня.

Решаем первое неравенство, рассмотрим функцию

; (Рис. 4).

Решаем второе неравенство, рассмотрим функцию

 (Рис. 5).

Вернемся к системе неравенств.

Отметим все решения на координатной прямой (Рис. 6).

Ответ:

Заключение

Мы рассмотрели решение рациональных неравенств повышенной сложности, в частности систему из двух дробно-линейных неравенств. Методика остается прежней,  она же будет использоваться и в дальнейшем.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Виртуальный репетитор (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 74  - 77.