08. Система уравнений в задаче на движение

Задача 1

Пристани и находятся ниже пристани по течению реки соответственно на 30 и 45 км. Моторная лодка отошла от пристани, дошла до, сразу повернула назад и дошла до, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до, сразу повернула назад и пришла в, затратив на весь путь 7 часов. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Дано:

Расстояние:км;км;км (см. Рис. 1).

1 рейс лодки: – время чминч.

2 рейс лодки: – время 7 ч.

Найти: собственная скорость лодки и скорость течения реки.

Решение

1. Пусть  – это собственная скорость лодки;  – скорость течения реки. Следовательно, скорость лодки по течению – , против течения – .

Рейс 1:

а) Из в лодка шла по течению 45 км:

км

Следовательно, время пути составило: 

б) Из в лодка шла против течения 15 км:

км

Следовательно, время пути составило: 

в) Общее время в пути для первого рейса составило: 

По условию это время составило ч: 

Рейс 2:

а) Из в лодка шла против течения 45 км:

км

Следовательно, время пути составило:

ч

б) Из в лодка шла по течению 30 км:

км

Следовательно, время пути составило: ч

в) Общее время в пути для второго рейса составило: 

По условию это время составилоч: 

Получили систему уравнений относительно и: 

2) Решим полученную систему:

Произведем замену переменных: ;  

Вернемся к старым переменным:

Выполнив проверку, получаем, что данная пара является решением системы. Кроме того, такие значения переменных подходят нам по смыслу задачи.

Ответ: Собственная скорость лодки – , скорость течения реки – .

Задача 2

Решить графически систему уравнений:.

Решение

Функция существует при, поэтому все решения данной системы необходимо искать при.

Решением первого уравнения являются все точки, которые расположены на ветви параболы при (см. Рис. 2).

Решением второго уравнения являются все точки, расположенные на ветви параболы (см. Рис. 3).

Объединим графики двух уравнений (см. Рис. 4). Видно, что данные ветви параболы пересекаются в точках и.

Других решений данная система не имеет, так как графики имеют разную выпуклость:

 – выпуклая вниз при

 – выпуклая верх при

Ответ:;.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт free.megacampus.ru (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 5.34 (б), 7.1, 7.37 (стр. 40–50) – Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник (Источник)

2. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций  и , расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию  на 3 ч раньше, чем второй на станцию . В то время как первый проходит 250 км, второй пройдет 200 км. Найти скорость каждого поезда.