01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
Видео доступно по абонементу
Введение
Мы рассмотрим свойства и график степенной функции с нечетным показателем степени , т.е. функции вида ,,,
Функция и её свойства
Рассмотрим функцию (рис. 1).
График проходит через три фиксированные характерные точки: ;;.
Прочтем график и сформулируем свойства функции.
1. .
2. Функция нечетная, . График симметричен относительно начала координат.
3. Функция возрастает.
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
5 .Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Функция непрерывна. Это значит, что кривую можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.
7. .
8. Выпукла вверх при , выпукла вниз при .
Функция и её свойства
Рассмотрим свойства иных степенных функций с нечетным показателем степени.
Функция ,.
1. .
2. Функция нечетная, .
3. График проходит через три фиксированные точки: ;;.
4. Функция возрастает.
5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
7. Функция непрерывна.
8. .
9. Выпукла вверх при ,выпукла вниз при .
Примеры
Рассмотрим взаимное расположение кривых на примере функций и (рис. 2).
при .
при .
Например, ;.
Рассмотренное свойство является ключом к решению ряда задач.
1. Найдите ,и постройте график функции.
;
.
Решение:
График получим из известного нам графика путем сдвига на две единицы вправо (рис. 3).
Отметим точки пересечения с осями.
Ответ: ;.
2. График данной функции получаем из графика функции сдвигом на одну единицу вверх (рис. 4).
Ответ: ;.
Свойство функции с нечетным показателем
Мы изучаем степенные функции с нечетным показателем степени. Все они монотонно возрастают на всей области определения. Отметим важное свойство:
Если функция возрастает, а функция убывает, и если уравнение имеет корень, то этот корень – единственный (рис. 5).
при ;
при ;
при .
Решение задач
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение ; решить неравенство .
Решение:
Корень .
Функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, корень есть, значит, он единственный.
Решением неравенства является луч .
Ответ: ;.
2. Построить график кривой .
Решить уравнение .
Решить неравенство .
Решение:
Построим график функции . Для этого график функции сдвинем на 3 вправо вдоль оси и на 1 вниз вдоль оси (рис. 7).
Функция монотонно возрастает, поэтому прямая пересекает кривую только в одной точке. Это точка .
Решением неравенства является луч . На этом промежутке кривая расположена выше оси .
Ответ: ;.
3. Найти область значений функции , где .
Решение:
Если , то возрастает и .
Ответ: .
4. Определить число решений системы
Решение:
Построим график каждой функции. График функции - симметричное отображение графика относительно оси .Если монотонно возрастает, то монотонно убывает.
График функции получаем сдвигом графика на 6 вниз вдоль оси у(рис. 9).
Функция монотонно возрастает, и если кривые пересекаются, то только в одной точке.
Ответ: Система имеет только одно решение.
Заключение
Мы рассмотрели график и свойства степенной функции с нечетным показателем степени. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на степенную функцию с натуральным показателем.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб.для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4 .Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Задачи (Источник).
2. Решу ЕГЭ (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№306, 307(б, г), 310, 308(а, в).
"