01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
Видео доступно по абонементу
Введение
Мы рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем , изучим её свойства и график.
График и свойства функции
Рассмотрим функцию , опираясь на известный нам график (рис. 1).
Функция не определена в нуле.
Изобразим график, используя таблицу.
| |||
|
Прочтем полученный график.
Если , то убывает, .
Если ,то убывает, .
Свойства функции .
1. .
2. Нечетная, .
3. Убывает на луче и на луче .
4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
6. Непрерывна при и при .
7. .
8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при .
Функция имеет две асимптоты – оси и .
1. Пусть .
Если , то .
Если , то .
2. Пусть .
Если , то .
Если , то .
Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 2).
при ;
при ;
- не имеет корней.
Рассмотрим сопутствующую задачу на область значений функции.
1. Найти все значения , при каждом из которых уравнение имеет решение.
Решение:
Ответ: .
График и свойства функции
Рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем в общем виде ,(рис. 4).
Свойства:
1. .
2. Функция нечетная.
3. Убывает на луче и на луче .
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
6. Непрерывна при и при .
7. .
8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при .
Рассмотрим асимптоты кривых ,(рис. 4).
Все кривые проходят через точки и .
Если , то
Если , то
Т.е. ось – горизонтальная асимптота.
Если то .
Если то .
Т.е. ось – вертикальная асимптота.
Рассмотрим интервалы знакопостоянства для функций ,(рис. 5).
Если то .
Если то .
при ;
при ;
не имеет решений.
Например:
при ; при .
Рассмотрим взаимное расположение графиков функций и (рис. 6).
| |||
при и ;
при и .
Примеры
Решим еще несколько задач.
1. Найти область значений функции
,;
,.
Решение:
Функция монотонно убывает при (рис. 7).
Если , то убывает, .
Ответ: .
Если , то убывает, .
Ответ: .
2. Решите графически неравенство.
;
.
Решение:
Построим графики функций и для в одних координатных осях (рис. 9).
Функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, при они имеют единственную точку пересечения.
Ответ: ;.
Заключение
Мы рассмотрели степенную функцию с нечетным отрицательным показателем. На следующем уроке мы продолжим изучение функции с отрицательным показателем и рассмотрим типовые задачи.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 332(б, г), 333(б, в), 336.
"