01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
Видео доступно по абонементу
Введение
На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.
График и свойства функции
Сначала мы познакомимся с функцией , т.е. с функциями вида: ,, и т.д.
Рассмотрим график функции .
Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).
Изучая графики функций и можно себе представить, как будет выглядеть график функции (рис. 3).
Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче и симметрично отобразить относительно оси .
Если возрастает, то и возрастает, а убывает.
При функция не существует.
Прочтем график.
Если , то возрастает, .
Если , то убывает, .
1. .
2. Функция четная, . График симметричен относительно оси .
3. Функция убывает на луче и возрастает на луче .
4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Функция непрерывна на луче и на луче .
7. .
8. Функция выпукла вниз на луче и на луче .
Функция имеет асимптоты, рассмотрим их.
Асимптота – это такая прямая, к которой данная кривая неограниченно приближается.
При
Ось xявляется горизонтальной асимптотой, её уравнение .
При .
При .
Ось является вертикальной асимптотой, ее уравнение .
Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 4).
На луче функция положительна, на луче функция положительна, и только при функция не существует.
Рассмотрим типовые неравенства.
при .
при .
при .
при .
при .
Примеры
Свойства функции – ключ к решению многих задач.
1. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение , имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Изобразим график функции , она определена при всех x кроме (рис. 5).
Это значит, что любое значение достигается хотя бы при одном значении аргумента.
Заметим, что если мы задаем , то получаем два решения, и ,.
2. Решить уравнение с параметром: .
Решение:
Необходимо построить график функции , пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 5а).
Нет решений при .
Два различных решения при ,.
Мы подробно рассмотрели график и свойства функции . Рассмотрим график и свойства подобных функций в общем виде.
График и свойства функции
Функция
Все эти функции проходят через фиксированные характерные точки и (рис. 6).
Асимптоты: горизонтальная и вертикальная .
Свойства функции:
1. .
2. Функция четная.
3. Убывает на луче и возрастает на луче .
4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.
5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
6. Непрерывна на луче и на луче .
7. .
8. Выпукла вниз на луче и на луче .
Рассмотрим взаимное расположение кривых и (рис. 7).
и .
и .
Обе кривые проходят через две фиксированные точки: и .
Примеры
1. Найдите область значений функции:
,.
,.
Решение:
Если , то убывает, .
Ответ: .
Кривая сдвинута по оси xна три единицы вправо. Функция монотонно возрастает при .
Ответ: .
Заключение
Мы рассмотрели функцию . На следующем уроке мы познакомимся с функциями вида , т.е. с функциями ,,и т.д.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Задачи (Источник)
2. Решу ЕГЭ (Источник)
Рекомендованное домашнее задание
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
№№ 332(а, в), 333(a, г), 335.
"