07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)

Вступление

На этом уроке рассматриваются основные свойства двух видов функции: линейной и квадратичной. Решаются типовые задачи. 

Напоминание

Определение. Линейной называется функция вида  , где

 - независимая переменная, аргумент;

 - зависимая переменная, функция;

 - константы.    

Примеры.

а., (естественная область определения).

б.  

Анализ свойств конкретных линейных функций

а. Функция

 (см. Рис.1).

.

.

.

Монотонно возрастает, непрерывна, не ограничена.

График иллюстрирует свойства.

б. Функция

 (см. Рис.2).

.

Монотонно возрастает, непрерывна, ограничена.

График иллюстрирует свойства.

Доказательство монотонности линейной функции

Доказать монотонное возрастание функции на всей области определения.

Доказательство. Пусть

 (см. Рис. 3).

Тогда 

то есть, что и требовалось доказать (– любые).

Подтверждается свойство: если , то функция возрастает.

Задача на определение знаков

По графику функции определить знаки и .

 – угловой коэффициент; – ордината точки пересечения прямой с осью .

Ответ:

.

Ответ:

Ответ:

.

Ответ:

Задача о нахождении уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Найти уравнение прямой, если.

Решение.  График прямой на Рис. 4.

.

.

Ответ:.

Взаимное расположение прямых

(1) и (2).

 1.  (прямые пересекаются) (см. Рис. 5).

2. (прямые параллельны) (см. Рис. 6)

3. (прямые совпадают) (см. Рис. 7)

Определение числа решений системы

Определить число решений системы.

Ответ: одно решение

Ответ: решений нет

Ответ: бесчисленное множество решений

Свойства линейной функции

1.;

2. Возрастает, если; убывает, если;

3. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

4. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6.;

7. О выпуклости говорить нет смысла.

Функция и её свойства

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх (см. Рис. 10), если, и вниз (см. Рис. 11), если .

Свойства функции:

а. для случая (см. Рис. 12).

1.;

2. Убывает на ; возрастает на;

3. Ограничена снизу, но не ограничена сверху;

4., не существует;

5. Непрерывна;

6.;

7. Выпукла вниз.

б. для случая (см. Рис. 13).

1.;

2. Возрастает на луче; убывает на луче ;

3. Не ограничена снизу, но ограничена сверху;

4.не существует, ;

5. Непрерывна;

6. ;

7. Выпукла вверх.

Задача

 Доказать возрастание функциипри .

Доказательство. Так как, то есть

 для всех из множества

Итог урока

Были рассмотрены свойства линейной и квадратичной функций. На следующем уроке будут рассматриваться свойства иных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 26, 30, 33 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.127 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).