08. Типовые задачи по теме «Арифметическая прогрессия» (продолжение)

Повторение

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа , называется арифметической прогрессией, число называется ее разностью. 

.

2. – формула n-го члена арифметической прогрессии.

, т.е. -й член арифметической прогрессии зависит от , значит,  является функцией натурального аргумента.

3. – первая формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

– вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. и при допустимых значениях ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии:  , если . Например, , поскольку .

Решение задач

Задача 1.

Дано: ,,.

Найти: ,.

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных  задач):

,

Составим и решим систему:

Ответ: ,.

Примечание: .

Задача 2.

Проверить .

Решение.

.

Задача 3.

Дано: .

Найти: ,,.

Решение.

Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: . Откуда, . Следовательно,

;

;

.

Составим и решим систему:

Ответ: , , . 

Задача 4.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти , .

Повторение:

1. ;

2. ;

3. .

Дано: , , .

Найти: ,.

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии  для выражения членов данной прогрессии:

, , , .

Составим и решим систему:

Ответ: ,  .

Задача 5.

Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц  на 4 больше цифры сотен.

Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

;

Дано: ,,,,- арифметическая прогрессия,,.

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии  для выражения членов данной прогрессии:

,,.

Составим и решим систему:

,,.

Ответ: .

Задача 6.

Найдите , при котором числа ,, образуют конечную арифметическую прогрессию.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

;

;

Решая полученное квадратное уравнение, получаем ;.

Ответ: ,.

Задача 7.

Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.

Дано: ,.

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае:

Ответ: .

Задача 8.

Докажите, что последовательность, сумму первых членов которой можно вычислить по формуле , где ,, является арифметической прогрессией.

Решение.

. Тогда,

Равенство  означает, что -й член линейно зависит от , значит, последовательность ,,,, является арифметической прогрессией с разностью . Покажем, что и последовательность ,,,,, тоже является арифметической прогрессией. Действительно, ,. Следовательно, .

Таким образом, доказано, что для всех натуральных . Значит, ,,,,, является арифметической прогрессией.

Итог урока

На уроке повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. Следующий урок посвятим обзору по теме арифметическая прогрессия.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 443, 447, 451 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.108 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).