07. Типовые задачи по теме «Арифметическая прогрессия»

Повторение

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа , называется арифметической прогрессией, число называется ее разностью. 

.

2.  – формула -го члена арифметической прогрессии.

, т.е. -й член арифметической прогрессии зависит от , значит,  является функцией натурального аргумента.

3.  – первая формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

 – вторая формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:

-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. или при допустимых значениях ().

6. Свойство членов арифметической прогрессии: , если . Например, , поскольку .

Решение задач

Задача 1.

Дано: -й член последовательности задан формулой а. , б.  .

Доказать: - арифметическая прогрессия, - арифметическая прогрессия.

Доказательство.

1-й способ. Поскольку  и  являются линейными функциями натурального аргумента, то и - арифметические прогрессии.

2-й способ. Докажем, по определению, что и - арифметические прогрессии, т.е. покажем, что разность двумя соседними членами последовательности есть величина постоянная.

, а это означает, что - арифметическая прогрессия.

, , .

  - члены этой арифметической прогрессии.

, а это означает, что - арифметическая прогрессия.

, , .

 - члены этой арифметической прогрессии.

Задача 2. Докажите, что данные последовательности ,   являются арифметическими прогрессиями с помощью характеристического свойства арифметической прогрессии.

3-й способ. Проверим истинность равенства .

Для первой последовательности:

. Следовательно, - арифметическая прогрессия.

Для второй последовательности:

. Следовательно, - арифметическая прогрессия.

Задача 3.

Дано: .

Найти: 1. Формулу -го члена заданной арифметической прогрессии;

2. – разность арифметической прогрессии;

1. ;  4) .

Решение.

, , .

 – формула -го члена арифметической прогрессии. Тогда

.

 .

 – формула суммы первых членов арифметической прогрессии.

.

Ответ: , , , .

Задача 4.

Дано: , , .

Найти: 1. – разность арифметической прогрессии;

2. Формулу -го члена заданной арифметической прогрессии;

3. Номер наибольшего двузначного числа.

Решение.

1.  – формула -го члена арифметической прогрессии.

; ; .

2. ; .

3. ; ; .

Номер наибольшего двузначного числа . Проверка: .

Ответ: , , .

Задача 5.

Дано: - возрастающая арифметическая прогрессия, , .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии  для выражения членов данной прогрессии: , , .

Составим и решим систему:

Т.к. по условию арифметическая прогрессия возрастающая, то . Поэтому

Теперь можем найти :.

Ответ: .

Задача 6.

Дано: , , .

Найти: является ли число 41 членом данной арифметической прогрессии.

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии

:

; ; .

Ответ: да, . 

Задача 7.

Дано: , , .

Найти: с какого номера все члены данной арифметической прогрессии больше 141.

Решение.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии :

; ; ; .

Проверка: , .

Ответ: с номера .

Задача 8.

Дано: , , .

Найти: , .

Решение.

1-й способ.

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии для выражения членов данной прогрессии:

, .

Составим и решим систему:

.

Ответ: , .

2-й способ.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

, .

Ответ: , .

3-й способ.

По определению арифметической прогрессии:

Ответ: , .

Итог урока

Мы повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. На следующем уроке продолжим решение задач на арифметическую прогрессию.

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 448, 457 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.104 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).