14. Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия» (продолжение)

Тема урока, повторение

На уроке кратко повторяется теория, и решаются типовые задачи на геометрическую прогрессию.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число , называют геометрической прогрессией. При этом число называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

- геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись: , т.е. не зависит от . - формула –го члена геометрической прогрессии,

; , , т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

Сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

.

- геометрическая прогрессия.

, если .

- геометрическая прогрессия со знаменателем .

Решение задач

Далее продолжим рассматривать решение типовых задач на геометрическую прогрессию.

1. Дано:  руб. - первоначальный вклад; - число процентов за 1 период; руб. – величина вклада в конце -го периода. Доказать формулу сложных процентов:

.

Доказательство:

;

;

.

Обсудим эту формулу.

, где  - геометрическая прогрессия со знаменателем

- не зависит от .

Т.к. , то .

Пример: если , то ; .

2. Дано:  руб.; ; лет.

Найти:  и доход за 5 лет.

Решение:

;

;

.

Ответ:  руб.;  руб.

1. Дано:  руб.; ; лет.

   Найти: доход за 5 лет при ежегодном снятии дохода.

   Решение: Доход за каждый год:  руб. Доход за 5 лет:  руб.

   Ответ:  руб.

   Сравнение: руб.

4. Первоначальная цена товара равна  руб. Её предполагают повышать ежегодно на : от предыдущей цены;  от первоначальной цены. На сколько повысится цена за 5 лет? Ответ: на  руб. на  руб.

5. Цена товара повышалась на 20% ежегодно. На сколько процентов возросла цена за 3 года?

Решение:

; ; ;

; , следовательно, цена возросла на .

Ответ: на .

6. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй – 2 коп., в третий – 4 коп., в четвертый – 8 коп. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Решение: Богач получил  тыс. руб. =  руб. Сумма, которую богач отдал – это сумма геометрической прогрессии с = 1 коп. и ; (коп.) (руб.) Сумма эта, по-видимому, огромна. Попробуем ее оценить.

;

млн. руб. Ответ: Богач получил 3 млн. руб., отдал  руб. – более 9 млн. руб., т.е. он проиграл.

Итак, рассмотрены задачи на геометрическую прогрессию на формулу сложных процентов. Следующий урок будет посвящен задачам на арифметическую и геометрическую прогрессию.

Методические замечания:

С помощью формулы сложных процентов можно решать не только экономические задачи про вклады и кредиты, а, например, и такие:

1. Ежегодно население некоторой страны увеличивается на 1%. Сколько людей будет жить в этой стране в 2020 году, если в 2012 их было 10 млн.?

Ответ: (млн. чел.)

2. В емкости содержится 1000 л воздуха. Каждое движение насоса удаляет из емкости 0,1 часть воздуха. Сколько литров воздуха останется в емкости после пяти движений поршня?

Ответ: л.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 510, 526.