05. Тригонометрические функции числового аргумента

Повторение понятия «функция»

Необходимо ввести и изучить функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Вспомним вначале, что такое функция.

Определение. Функция – это закон, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) ставится в соответствие одно значение зависимой переменной  (функции).

;

– независимая переменная, – зависимая переменная.

.

Независимая переменная может меняться в некоторых пределах, которые называются областью определения функции, или областью допустимых значений.

;

Множество всех значений функции , , называется областью значений функции.

;

– закон соответствия.

Тригонометрические функции

Перейдем к рассмотрению тригонометрических функций.

Переобозначим .

Рассмотрим функцию , .

Итак, задано . Мы знаем, как найти .

Рассматриваем единичную окружность в координатной плоскости с центром в т .О.

Откладываем заданное , направление может быть и положительным и отрицательным, получаем . Находим ее ординату, которая и является . Каждому значению ставится в соответствие значение . Функция введена.

Рассмотрим функцию . Задали , которому соответствует одна т. М на единичной окружности, помещенной в координатную плоскость. Ее  абсциссой  является .

Введем функции тангенс и котангенс:

;

.

Задать функцию – это задать закон соответствия и задать область определения. У синуса и косинуса область определения - это множество действительных чисел, для тангенса и котангенса есть исключения.

Дробь имеет смысл при .

Дробь имеет смысл при .

Найдем на единичной окружности выколотые точки для и .

при , ;

при , .

Итак, область определения тангенса и котангенса:

; ; , ;

; ; , .

Тригонометрические тождества

Рассмотрим основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс одного аргумента.

1. – уравнение единичной окружности. Возьмем точку на окружности, ;  – основное тригонометрическое тождество.

2. ; или ;

; ;

; ;

; , .

Объединим эти множества и получим ,  (рис 2).

3. . Поделим обе части на ; , , ;

;

.

Эта формула позволяет по тангенсу найти косинус, и наоборот.

.

Поделим обе части на ; , , ;

;

.

Формула позволяет найти синус по котангенсу, и  наоборот.

Заключение

Мы ввели основные тригонометрические функции, нашли области их определения, вывели основные формулы, которые связывают функции одного аргумента.

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 616 – 619(а); 620;622.