06. Тригонометрические функции углового аргумента

Тема урока, введение

Мы ввели тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Аргументом было любое действительное число. Привычнее аргументом считать угол. В некотором смысле и угол, и действительное число друг друга заменяют. Рассмотрим тригонометрическую функцию углового аргумента.

Единичная окружность

Рассмотрим единичную окружность, помещенную в координатную плоскость.

Длина окружности .

Вспомним, что для того, чтобы ось была числовой необходимо

1. Задать начало отсчета.

2. Задать направление.

3. Задать масштаб.

На числовой окружности также есть

1. Начало отсчета.

2. Направление отсчета: положительное - против часовой стрелки или отрицательное - по часовой стрелке.

3. Масштаб – в нашем случае – вся окружность длиной .

Числу  соответствует т. и ее абсцисса и ордината есть и (рис.1).

Точка высекает центральный угол . .

Для измерения углов мы вводили радиан - центральный угол, длина дуги которого равна радиусу (рис.3).

В окружности длиной укладывается радиан, т.е. . Это связь градуса и радиана.

Отсюда мы выводили длину дуги. Длина дуги .

Т.е. если взять угол в  радиан, то длина дуги вычисляется как .

Если , то - длина дуги численно равна углу в радианах.

Это означает, что величина  численно равна .

Угловой аргумент

Мы можем считать аргументом либо любое действительное число, либо соответствующий ему центральный угол.

Получаем функцию:, можно заменить на, получаем ; , заменяем на , получаем .

Рассматривая тригонометрическую функцию действительной переменной либо тригонометрическую функцию углового аргумента, мы получаем ту же самую функцию.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что , , и мы вводили как величины, зависящие от угла в прямоугольном треугольнике.

Вспомним определения и следствия из определений , , и .

По определению ; ; ; , (рис.4).

Отсюда следует что . Мы выразили катет через гипотенузу.

Также можно катет выражать через другой катет: .

Проверим, не противоречит ли новое определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тем, которыми мы уже пользовались.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и  (рис.5):

.

Значит, .

Но , .

Т.е. синус числового аргумента и синус углового аргумента одни и те же.

Мы показали, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые были в прямоугольном треугольнике, остаются в силе, они только расширены на произвольный угол либо на произвольное число.

Задача на вычисление

Рассмотрим задачу на вычисление.

Дано: . Найти все .

Таких tбесчисленное множество. Проиллюстрируем на единичной окружности, помещенной в координатную плоскость.

Отметим  на оси . Такую ординату имеют точки и . Точке  соответствует одно число и бесчисленное множество других чисел, и точке  также. Вместо  tможно рассматривать центральные углы и , и их тоже бесчисленное множество – угол плюс полный оборот.

Зададим четверть. Будем считать, что . Тогда – единственное число.

Это стандартное задание числа или угла в тригонометрии – задано значение функции и предел изменений, т.е. четверть.

Найдем теперь значение всех остальных тригонометрических функций - , , .

Решение: - основное тригонометрическое тождество.

;

;

четверти, в этой четверти ;

;

.

Ответ: ; ; .

На примере мы убедились, что найти единственное решение возможно, только если задан предел изменения аргумента (четверть).

Очень важно правильно определить знак функции в данной четверти и отобрать подходящее значение.

Заключение

Итак, мы рассмотрели пример на вычисление по данному значению одной тригонометрической функции значений всех остальных тригонометрических функций с использованием основных тригонометрических тождеств.

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 641; 642.