14. Элементы теории тригонометрических функций. Функция y = sin x

Введение

Урок начинается с повторения общих понятий: что такое функция и что означает запись . Далее рассматривается вопрос: каким образом числу t ставится в соответствие единственное число у по правилу . Затем разбирается поэтапное построение графика функции . Последняя часть урока – это систематизация знаний о свойствах функции .

Повторение. Что такое функция?

1. Повторение. Что такое функция? Что означает запись ?

В этой записи:

o x - это независимая переменная, которая принадлежит некоторому множеству Х. (Его называют областью определения функции.)

o у - это зависимая переменная или функция. Она принадлежит некоторому множеству У. (Его называют областью значения функции.)

Когда х пробегает свои разрешенные значения, у пробегает свои разрешенные значения. Это происходит по закону f.

o f - это закон соответствия, по которому каждому элементу из множества Х ставится в соответствие единственный элемент из множества У.

Функция y = sin t. Каково правило сопоставления?

2. Функция y = sin t. Каково правило сопоставления ?

Сравним числовую прямую и числовую окружность.

Центр окружности совпадает с началом координат. Радиус окружности равен единице.

1.

Выбрано начало отсчета:

точка А

2. Выбрано положительное направление:

Это направление вращения против часовой стрелки.

3. Выбран масштаб, т.е. указан единичный отрезок: .

Положительное направление указано стрелкой.

4. Можно найти точку, соответствующую любому числу t:

Это точка М. Длина дуги АМ равна t.

Точка соответствует всем числам вида .

Радиус окружности равен единице. Поэтому длина окружности - это . Значит, числам, разность которых равна , соответствует одна и та же точка окружности.

Это точка В. Длина отрезка ОВ равна t.

На числовой прямой есть взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками прямой.

Рассмотрим определение функции .

Каждому числу можно поставить в соответствие единственную точку окружности М(t). Как и у любой точки на плоскости, у точки М есть абсцисса и ордината. Ордината точки М и есть синус числа t.

Таким образом, функция синус сопоставляет числу t ординату соответствующей точки на числовой окружности.

Абсцисса точки М – это косинус числа t.

Основное тригонометрическое тождество. Определение тангенса и котангенса

3. Основное тригонометрическое тождество. Определение тангенса и котангенса.

Таким уравнением описывается единичная окружность. Это равенство означает, что для любой точки окружности квадрат ее абсциссы и квадрат ее ординаты в сумме дают единицу.

Абсцисса точки единичной окружности – это косинус, а ордината – синус соответствующего числа t.

Перед нами основное тригонометрическое тождество.

;

Тангенсом числа t называют отношение синуса к косинусу.

Соответственно, котангенсом – отношение косинуса к синусу.

Связь между числовым и угловым аргументом функции y = sin t

4. Связь между числовым и угловым аргументом функции .

Возьмем . Поставим на единичной окружности соответствующую точку М. Ясно, что дуга АМ = 1.Тогда угол α равен 1 радиан. Таким образом:

числовой аргумент t равен угловому аргументу, который выражен в радианах.

График функции y = sin t

5. График функции .

Функция меняется в пределах от -1 до 1, т.е.

Наименьший положительный период функции 2π. Это значит, что если к числу t прибавить 2π, то полученному числу будет соответствовать та же точка на окружности, что и числу t. Вывод:

достаточно построить график функции на любом участке, длина которого 2π.

. Значит, функция обладает свойством нечетности. Вывод:

достаточно построить график функции на отрезке , а затем продлить по симметрии относительно начала координат. Известные значения функции синус на этом интервале изобразим на окружности.

Свойства функции y = sin t

6. Свойства функции .

1) .

Область определения функции – любое действительное число.

2) .

Область значения функции от -1 до 1.

3)

Функция является нечетной.

4)

Наименьший положительный период равен .

5)

Точки пересечения с осью Ох.

6)

Точка пересечения с осью Ох.

7)

Наибольшее значение 1.

8)

Наименьшее значение -1.

9)

Промежутки монотонного возрастания синуса.

10)

Промежутки, на которых функция принимает только положительные значения.

11)

Промежутки, на которых функция принимает только отрицательные значения.

Заключение

1.2. Список  рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин

2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса. Башмаков М.И.

3. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.

4. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Учебник в двух частях. Мордкович А.Г.

1.3. Дополнительные веб-ресурсы

http://slovo.ws/urok/algebra  - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для  9  класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.

http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Сделай дома

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин, 2012

Домашнее задание:  691 (1, 4, 5);    692 (1, 3);    693 (3);    № 720-723.

Другие задания:  729;  731.