16. Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы

Введение

Урок посвящен повторению основных формул, которые  связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t.  Их применение иллюстрируется на примере решения типовых заданий. Рассмотрено одно вычислительное задание - по одной из тригонометрических функций найти остальные - и четыре задания на упрощение тригонометрических выражений.

Повторение. Определение функций y = cos t и y = sin t

1. Повторение. Определение функций  и .

Поместим единичную окружность на координатную плоскость.

Центр окружности совпадает с началом координат. Радиус окружности равен единице.

Значит, длина окружности равна 2π, (т.к. ).

Возьмем любое число t. Ему соответствует единственная точка на окружности Мt. (Длина дуги  равна  t.) У этой точки две координаты: .  Абсциссу  точки М называют косинусом, а ординату синусом числа t.

Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t

1. Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс некоторого числа t.

Основное тригонометрическое тождество. Определение тангенса и котангенса.

1)

Таким уравнением описывается единичная окружность. Это равенство означает, что для любой точки окружности квадрат ее абсциссы и квадрат ее ординаты в сумме дают единицу.

Абсцисса точки единичной окружности – это  косинус, а ордината – синус соответствующего числа t.

Перед нами основное тригонометрическое тождество.

2) ;  

Тангенсом числа t называют отношение синуса к косинусу.

Соответственно, котангенсом – отношение косинуса к синусу.

3)

Действительно,    c , значит,  .  

Перед нами формула, которая связывает значения тангенса и котангенса одного и того же числа t.

Следствия из основного тригонометрического тождества.

1) 

Формула верна при  

Разделим основное тригонометрическое тождество

 на  (). Получим:   или

2) 

Формула верна при  

Разделим основное тригонометрическое тождество

 на , (). Получим:   или .

Пример применения основных формул

3. Пример применения основных формул.

Дано .  Найти значения .

Начнем с геометрической интерпретации условия. Косинус – это абсцисса точки на единичной окружности. Значению косинуса -1/3 соответствуют точки К и F. 

По условию , значит,  искомая точка – это точка F.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем значение  синуса.

Подставим в формулу значение косинуса. Вычислим.

Извлечем квадратный корень из полученного числа и узнаем  два возможных значения для синуса.

Выберем из двух возможных значений одно соответствующее условию. Ордината точки F – число положительное.

Используем определение тангенса и найдем соответствующее значение.

 =

Используем формулу, которая связывает значения тангенса и котангенса.

Упростить выражение. Пример 1

4. Упростить .

                     Выполним возведение в квадрат.

 Приведем подобные слагаемые.

                                            Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Упростить выражение. Пример 2

5. Упростить .

.

.

В числителе сгруппируем тригонометрические функции и вынесем минус единицу за скобки.

В знаменателе вынесем общий множитель  за скобки.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Упростить выражение. Пример 3

6. Упростить .

.

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов.

Воспользуемся формулой разности квадратов; выполним сокращение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Упростить выражение. Пример 4

7. Упростить  .

Выполним сложение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель представляет собой произведение исходных знаменателей.

В числителе раскроем скобки. Упростим  полученное выражение.

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов.   

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Заключение

Список  рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин 

2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса. Башмаков М.И.

3. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.

4. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Учебник в двух частях. Мордкович А.Г.

Дополнительные веб-ресурсы

1. http://slovo.ws/urok/algebra  - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для  9  класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.  

2. http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин, 2012

Домашнее задание:  459, 465, 467.

Другие задания:   469, 470.