01. Основные понятия, разъясняющие примеры
14 мин
02. Нахождение области определения и области значений числовой функции
20 мин
03. Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях
15 мин
04. Аналитический способ
22 мин
05. Графический и табличный способы
20 мин
06. Основные свойства числовых функций
20 мин
07. Свойства линейной функции y = kx + m и y = kx² (k ≠ 0)
24 мин
08. Функции y = k/x, y=√x, y = |x|
20 мин
09. Свойства квадратичной функции y = ax² + bx + c
25 мин
10. Определения и свойства чётных и нечётных функций
18 мин
11. Исследование функций на чётность
16 мин
12. Степенная функция с чётным показателем степени y = x²ⁿ, её свойства и график
16 мин
13. Степенная функция с нечётным показателем степени y = x²ⁿ⁺¹, её свойства и график
17 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
19 мин
15. Степенная функция y = x⁽⁻²ⁿ⁾, её свойства и график
22 мин
16. Степенная функция y = x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, её свойства и график
19 мин
17. Задачи на степенные функции y = x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
22 мин
18. Функция y = ∛x, её свойства и график
14 мин
19. Основные правила преобразования графиков функций
23 мин
20. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m > 0
11 мин
21. Построение графика функции y = mf(x) по графику функции y = f(x) при m < 0
16 мин
22. Графическое решение уравнений, неравенств
15 мин
14. Задачи на степенные функции y = x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы продолжим изучение степенной функции путём решения конкретных задач.
Вначале вспомним свойства функции и рассмотрим её график. Вспомним свойства функции и проиллюстрируем их на графике. И будем решать типовые и сопутствующие задачи на степенную функцию с натуральным показателем.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».
На этом уроке мы вспомним свойства степенных функций, т. е. функций вида , где – натуральное число, и решим серию типовых задач.
Рассмотрим степенную функцию с чётным показателем степени ,(рис. 1).
.
.
3.Функция чётная, т. е. .
4. Всё семейство функций проходит через три фиксированные точки: .
5. Функция не монотонна на всей области определения: функция убывает при ; функция возрастает при .
1. Отметим интервалы знакопостоянства функции на примере функции (рис. 2).
при ;
при ;
при ;
при .
2. Рассмотрим функцию и её интервалы знакопостоянства (рис. 3).
при ;
при ;
при ;
при .
Рассмотрим задачу с параметром:
Найти число корней уравнения , .
Решение:
Метод решения подобных задач следующий:
1. Изобразить график функции , .
2. Пересечь график семейством прямых .
3. Определить число точек пересечения и выписать ответ (рис. 4).
При корней нет;
при уравнение имеет один корень;
при уравнение имеет два корня. Заметим, что сумма этих корней равна нулю.
Теперь кратко повторим график и свойства степенной функции с нечётным показателем.
Функция , , (рис. 5).
.
.
3. Функция нечётная, т. е. . График симметричен относительно точки .
4. Любая из функций проходит через три фиксированные характерные точки: .
5. Функция монотонно возрастает.
Рассмотрим примеры.
1. Найти область значений функции и прочитать её график.
.
.
Решение:
При убывает, .
При . возрастает, .
Ответ: .
При функция возрастает, .
Ответ: .
2. Найдите точки пересечения графиков функций:
и .
и .
Решение:
Графики функций пересекаются в точках и .
Ответ: , .
Графики функций пересекаются в точках и .
Ответ: , .
3. Постройте и прочитайте график функции ;
Решение:
Если ,то убывает, .
Если , то возрастает, .
Если ,то убывает, .
На примере предыдущей функции рассмотрим важную сопутствующую задачу.
Найти число корней уравнения с параметром:
, где
Решение:
Решить уравнение с параметром означает перебрать все возможные значения параметра и для каждого указать ответ.
Методика решения таких задач нам известна:
1. Построить график функции .
2. Пересечь его семейством прямых .
3. Найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 11).
Нет корней при .
Один корень при и .
Два корня при .
Три корня при .
Мы вспомнили основные свойства степенных функций с натуральным показателем и решили серию типовых задач. На следующем уроке мы расcмотрим функцию .
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Полезные ссылки
1. Задачи.
2. Решу ЕГЭ.
Проверь себя
Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 311, №312, №321.