02. Динамика материальной точки. Профильный уровень

Модель и инструменты динамики

Здравствуйте!

Земля, как и остальные планеты Солнечной системы, вращается вокруг Солнца. Мы уже можем это объяснить: движение по окружности — это движение с центростремительным ускорением, а, как мы знаем, причиной ускорения является взаимодействие тел (сила). Солнце действует на Землю посредством гравитации, и Земля удерживается гравитационной силой на своей орбите (см. рис. 1).

Мы привыкли к такому объяснению, и оно нам кажется естественным. Но давайте обратим внимание на масштабы Солнечной системы.

Кажется, что это — плотное скопление планет и других космических объектов (спутники планет, астероиды и т. д.) вокруг Солнца. Сравним по данным справочника размеры Солнца и планет Солнечной системы с расстояниями между ними (рис. 2).

Окажется, что это скопление не такое уж и плотное, пустота заполнена планетами реже, чем нам представляется. Для сравнения: если уменьшить Солнце до размеров яблока диаметром 10 см, то Земля будет размером с круглую песчинку диаметром около миллиметра, и находиться она будет от Солнца на расстоянии чуть больше 10 м. И это — Земля, третья по расстоянию от Солнца планета. А Плутон, ещё более мелкая песчинка, будет на расстоянии около 400 метров от нашего яблока.

Трудно представить, чтобы это яблоко-Солнце так сильно влияло на песчинку-Землю, которая находится в 10-ти метрах от яблока (на разных концах небольшого бассейна). Это сравнение помогает понять, какую огромную энергию должно выделять Солнце, чтобы она доходила до Земли и создавала условия для жизни живых организмов.

Вернемся к механике. На движение планет влияют все небесные тела, и учесть все взаимодействия невозможно. Мы уже неоднократно говорили, что учесть всё мы не можем, да это и не нужно. В жизни не бывает задач без конкретной привязки, всегда есть цель. А если есть цель, то ясна и необходимая точность решения задачи. Задача физики — разработать модель, которая будет решать данную задачу с необходимой точностью. Движение планет определяется взаимодействием с Солнцем, и это можно посчитать. В самой простой модели мы учитываем только взаимодействие Земли и Солнца (см. рис. 1). В более сложной модели можно учесть действие других планет (рис. 3).

А если перед нами другая задача? Например, рассчитать движение двух шаров после столкновения. В такой задаче мы не будем учитывать ни Солнце, ни более близкую к Земле Луну, ни притяжение шаров друг к другу. Хотя, если масштабировать размеры и расстояния (рис. 4а), шары находятся близко друг к другу и окружены множеством других объектов в отличие от Земли и Солнца в относительно пустом космическом пространстве (рис. 4б).

Как и в задаче с движением планет, мы не будем рассматривать взаимодействие шаров со всеми окружающими объектами, это невозможно и не нужно — так мы не решим ни одну задачу. Мы воспользуемся простой моделью: взаимодействие одного рассматриваемого тела с несколькими другими (остальные отбросим, так как их влияние на движение данного тела незначительно).

Чтобы рассматривать такую простую модель, нужны инструменты: понятия массы, силы, математические инструменты, такие как сложение сил. Кое-какие из них мы рассматривали раньше, а сегодня мы их уточним и дополним.

Рассмотрим причины движения. Несколько моделей, позволяющих описать движение, мы рассмотрели и выделили их в раздел механики — кинематику. Там мы говорили: тело движется с некоторой скоростью и некоторым ускорением. Но не уточняли, почему оно так движется, при каких условиях его скорость не меняется или меняется именно так. Важно понять, как эти условия описать количественно: разогнать многотонный танкер и двухметровый плот до скорости — это разные задачи, хотя в модели кинематики танкер и плот — это объекты, которые движутся с одной и той же скоростью. Модели, которые помогают описать причины, определяющие характер движения, мы выделили в раздел механики — динамику.

Просмотрев урок по ссылке «Взаимодействие тел. Сила. Масса», вы можете вспомнить, как мы вводили понятия массы тела и силы взаимодействия. Мы тогда определили взаимодействие тел как причину изменения их скоростей. Очевидно, что изменить скорость разных тел не одинаково легко: мы уже упоминали танкер и плот (рис. 5).

Свойство тел, приводящее к тому, что при воздействии на тело его скорость изменяется не мгновенно, назвали инертностью, а меру инертности назвали массой. Сравнивать массы, а значит и измерять их, сравнивая с эталоном, решили по изменению скорости при одном и том же воздействии на тело на протяжении одного и того же времени:

Так как скорость — это вектор, то в общем случае изменение скорости — тоже вектор, и сравнивать мы можем их модули:

Инерциальная и гравитационная массы

Мы определили массу, используя инструмент из кинематики — скорость. В дальнейшем мы будем также использовать ускорение — оба этих инструмента мы вводили для материальной точки. Поэтому мы и дальше будем говорить о динамике материальной точки. В этой модели мы однозначно задаём расстояния между точками, их координаты, скорости и т. д.

Причиной движения является воздействие одного тела на другое. Меру воздействия назвали силой. Величина силы позволяет количественно оценивать: это тело действует сильнее, а это слабее во столько-то раз. Силу мы определили как изменение скорости тела единичной массы, которое происходит за единицу времени:

Законы Ньютона

Когда мы говорим о массе и силе, главных инструментах динамики, мы связываем их с изменением скорости. Но скорость относительна, мы не можем задать скорость без системы отсчёта.

Но вот изменение скорости не будет зависеть от системы отсчёта (рис. 7), если система отсчёта движется с постоянной скоростью (потому что скорость движения самой системы будет слагаемым, как в начальной, так и в конечной скорости движения тела, поэтому на разницу этих скоростей влиять не будет). То есть ускорение уже не будет относительным.

Давайте строго это докажем.

Рассмотрим автомобиль, который едет по платформе вагона со скоростьюотносительно вагона. Сам вагон едет относительно земли со скоростью(рис. 6).

Совместим начало отсчёта в обеих системах с точкой, из которой автомобиль начал движение. За времяавтомобиль совершит перемещение по платформе, и его радиус-вектор в системе отсчёта, связанной с вагоном, будет равен:

А относительно земли сама система отсчётаза это же время совершила перемещение со своей скоростью,Тогда радиус-вектор автомобиля в системе отсчёта, связанной с Землей, будет равен:

Это выражение, которое связывает переход от одной системы отсчёта к другой, называют преобразованиями Галилея. Обратите внимание, что система отсчётадвижется относительнос постоянной скоростью.

Время в разных системах отсчёта, согласно преобразованиям Галилея, является единым:Мы уже говорили об этом ограничении модели классической механики — оно выполняется при скоростях, намного меньших скорости света. Можно разделить обе части уравнения на время и получить уже знакомый нам закон сложения скоростей:

Рассмотрим, как происходит взаимодействие тел в разных системах отсчёта. Взаимодействие тел проявляется в изменении скорости → мы сравнивали массы по изменению скорости и задали силу через изменение скорости. Давайте сравним, как эти процессы описываются в разных системах отсчёта.

Предположим, мы описали взаимодействие тел в одной системе отсчёта. В ней изменение скорости обозначим, это конечная скорость минус начальная скорость в этой системе отсчёта:

Перейдем ко второй системе отсчёта, относительно которой первая движется со скоростьюВ этой системе отсчёта начальную и конечную скорости найдем по закону сложения скоростей (рис. 8):

То есть, если скорость системы отсчётапостоянна, начальная скорость равна конечной, а значит изменение скорости в таких системах отсчёта одинаково. А значит можно одинаково описывать силы, наблюдать явление инерции, находить меру инертности — массу, то есть законы классической динамики выполняются одинаково, независимо от выбранной системы отсчёта.

Давайте чётко сформулируем вывод, к которому мы пришли: если у нас есть система отсчёта, для которой мы выявили некоторые закономерности (законы динамики), то эти же закономерности будут выполняться одинаково во всех других системах отсчёта, которые движутся с постоянной скоростью относительно первой (или покоятся, нулевая скорость — тоже постоянная скорость).

В этом состоит принцип относительности Галилея.

Но в этой модели чего-то не хватает. Она показывает: если законы динамики выполняются в одной системе отсчёта, то они одинаково выполняются в других таких же. А таких же — это каких? Мы переходим между системами отсчёта, но не определена такая система отсчёта, от которой изначально можно переходить к другим.

Этот пробел заполнил Исаак Ньютон в первом из своих трёх законов динамики. Он сформулирован так:

существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, в которых все тела в отсутствии внешних воздействий движутся равномерно и прямолинейно или покоятся.

Такая неочевидная формулировка закона, утверждающая, что нечто «существует», — это на самом деле создание модели, некоторой идеальной системы отсчёта, для которой сформулированы другие законы динамики и в которой они идеально выполнятся. Но в реальности таких идеальных систем отсчёта нет, реальные системы отсчёта можно описать с помощью идеальной модели с той или иной степенью точности это справедливо для любой модели в физике.

Первый закон Ньютона и сложности его понимания

Для множества задач инерциальной достаточно считать систему отсчёта, связанную с Землёй, а значит и все другие системы отсчёта, которые покоятся или движутся равномерно прямолинейно относительно Земли. Здесь мы пренебрегаем тем, что Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца с центростремительным ускорением. О том, какие системы использовать, когда нужна бóльшая точность, можно узнать в ответвлении.

Об инерциальных системах отсчёта

Второй и третий законы Ньютона мы уже подробно рассматривали ранее, вы можете освежить их в памяти по ссылке «Динамика. Законы Ньютона».

Вспомним их формулировки. По второму закону Ньютона:

в инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

В виде уравнения его можно записать так:

Под силойподразумевается равнодействующая всех сил, которые действуют на тело. Обратите внимание, что вектор силы сонаправлен с ускорением, которое эта сила создаёт.

Действуют ли на тело силы?

Давайте немного подробнее остановимся на понятии равнодействующей силы. Тело движется с ускорением, и это ускорение вызвано взаимодействием данного тела со всем миром. Мир един, и в нём для этого тела созданы определённые условия, в которых оно движется именно таким образом. Но нам удобно этот единый мир разделить на отдельные объекты, это наш инструмент мышления, и мы часто так делаем. Мы выделяем конкретные взаимодействия: рассматриваемое тело взаимодействует отдельно, например, с верёвкой, за которую его тащат, отдельно с Землёй; отдельно мы рассматриваем и равнодействующую силу его взаимодействия с поверхностью — сумму реакции опоры и трения с поверхностью, по которой оно движется (рис. 11).

Отдельно можно выделить все остальные объекты, влиянием которых мы пренебрегаем, — от соударения с молекулами воздуха до притяжения к Луне и Солнцу. У нас есть для этого математический инструмент — сложение векторов. Мы выделяем отдельные силы, которые действуют на тело, складываем их и получаем равнодействующую, например:

В общем виде второй закон Ньютона бывает удобнее записать через сумму сил:

В следующем ответвлении будет более подробно рассмотрено сложение сил с точки зрения математики, оно обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных — по желанию.

Принцип суперпозиции и преобразования Галилея

Третий закон Ньютона звучит так:

материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению (рис. 16).

В виде уравнения это можно записать так:, где– это сила, с которой второе тело действует на первое, а– это сила, с которой первое тело действует на второе.

Не будем подробно комментировать этот закон, мы рассматривали его в уроке «Динамика. Законы Ньютона».

Таким образом, законы Ньютона либо напрямую следуют из того, как мы построили модель классической механики, либо дополняют эту модель. Но, чётко сформулированные, они становятся инструментом для решения множества задач.

Движение тела под действием разных сил

Перед тем как приступить к решению задач, давайте вспомним несколько модельных взаимодействий, которые мы уже ранее изучали на уроках «Динамика. Законы Ньютона» и «Виды сил».

Начнем с закона всемирного тяготения.

Любые два тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна расстоянию между их центрами масс (рис. 17).

Математически закон всемирного тяготения записывается так:, где— массы взаимодействующих тел, а r — расстояние между их центрами масс. Силы всемирного тяготения также называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной. Она равна

Можно договориться, как везде до этого, что мы применяем к телам модель материальной точки, и сформулировать закон тяготения для точек (рис. 10). Но фактически мы и в данной формулировке применили модель материальной точки — мы подставляем в формулу расстояние между центрами масс, это нужно понимать.

В уроке «Динамика. Законы Ньютона» мы рассмотрели взаимодействие Земли и тела вблизи её поверхности и, используя закон всемирного тяготения, вычислили ускорение свободного падения (рис. 18).

Попробуйте проделать это сами и в случае необходимости обратитесь к указанному уроку. Там же рекомендуем ознакомиться с решением задачи об ускорении свободного падения на Марсе, здесь его повторять не будем.

Гениальность закона всемирного тяготения

Продолжим перечислять модели взаимодействий. Как мы уже сказали, часто гравитационное взаимодействие Земли с телом вблизи её поверхности выделяют в отдельную модель и говорят о силе тяжести, действующей на тело (рис. 19). Её удобнее всего рассчитать, зная массу тела и ускорение свободного падения:

Следующая часто встречающаяся модель — взаимодействие тела и опоры, на которой оно лежит. Силу, с которой тело действует на опору (или подвес) назвали весом и обозначили, а силу, с которой опора действует на тело перпендикулярно поверхности, назвали силой нормальной реакции опоры и обозначили(рис. 20). По третьему закону Ньютона

Ещё одна модель — упругая деформация тела, которая описывается законом Гука.

При упругой деформации тела возникает сила упругости, модуль которойпропорционален удлинению телаи направление которой противоположно направлению деформации (рис. 21):

Часто, чтобы учесть направление силы упругости, закон записывают в виде проекции векторов на ось координат (так как сила и деформация всё равно направлены вдоль одной прямой):

Также мы рассматривали трение тел. На уроке «Виды сил» мы рассмотрели разные виды силы трения (покоя, качения, скольжения) и природу их возникновения. Здесь запишем только формулу, по которой можно рассчитать силу трения скольжения (рис. 22):

Этими моделями описание взаимодействия тел не ограничивается, это лишь набор, позволяющий решать некоторые типовые задачи. Если в задаче тело будут толкать рукой, мы не должны описывать силу действия руки с помощью модели из нашего набора и искать здесь признаки, например, силы упругости. Мы можем ввести, если это будет удобно для решения задачи, «силу толкания»и использовать её. Другие такие модели — сила тяги двигателя автомобиля, сила натяжения нити (когда её деформация слишком мала, чтобы применять закон Гука) и т. д.

Мало того, сама модель, лежащая в основе второго закона Ньютона, ограничена. Запишем его в следующем виде, это уравнение называют следствием из второго закона Ньютона:

Считаем, что на тело постоянной с постоянной массой действует сила, которая создаёт ускорение. А что если масса тела меняется? Например, когда при полёте ракеты расходуется топливо. Кроме того, меняться может и сила — например, если мы на автомобиле увеличиваем силу нажатия на педаль газа, увеличивая тем самым силу тяги. Как тогда меняется скорость? И тогда создают новые модели, вводят упрощения, чтобы задачу можно было как-то решить: равномерное уменьшение массы, равномерное увеличение силы и т. д.

Решение задач по динамике

Давайте применим законы динамики, которые мы сегодня разобрали, и решим несколько задач.

Задача 1. Человек, масса которого 60 кг, едет в лифте. Лифт некоторое время после начала движения движется с постоянным ускорением, направленным вниз. Найдите силу давления на пол лифта (вес). Ускорение свободного падения округлите до

Проанализируем условие. В задаче описано движение человека под действием нескольких сил. По второму закону Ньютона ускорение тела, движущегося в инерциальной системе отсчёта, прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй, и решим задачу в ней.

Физическая часть решения задачи. Выпишем и отметим на рисунке силы, действующие на человека: сила тяжестии сила реакции опоры(с которой пол лифта действует на человека). По третьему закону Ньютона вес человека равен по модулю силе реакции опоры, её и найдём. В системе отсчёта, связанной с Землёй, человек вместе с лифтом движется с ускорением, направленным вниз (рис. 23).

По второму закону Ньютона сумма сил равна

Силы направлены вдоль одной прямой, вдоль которой происходит движение, поэтому достаточно одной оси координат, направим её вертикально вниз. В проекции на ось координат запишем:

Остаётся выразить и вычислить силу реакции опоры, она же равна по модулю весу, это будет короткая математическая часть решения.,

Задача решена.

Обратите внимание, что вес тела уменьшился по сравнению с весом тела на покоящейся горизонтальной поверхности. Если бы ускорение лифта было равно нулю, вес был бы по модулю равен силе тяжести:То есть человек в нашей задаче давит на пол с такой силой, с которой в обычной комнате давит на пол человек с массой А если бы лифт двигался вниз с ускорением, равным ускорению свободного падения, вес был бы равен нулю (рис. 24).

Такое состояние называется невесомостью, человек двигался бы под действием только силы тяжести. Конечно, лифт может двигаться так лишь непродолжительное время, чтобы не разбиться. А, например, на МКС, которая тоже движется только под действием силы притяжения к Земле, такое состояние наблюдается продолжительное время. И это не состояние, в котором сила тяжести не действует, как можно ошибочно предположить.

Предлагаем самостоятельно решить эту же задачу о лифте, только для движения с ускорением, направленным вверх.

Решим еще одну задачу.

Задача 2. Два бруска, массы которых равны соответственно и, связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому бруску приложена сила, направленная параллельно плоскости стола. При каком максимальном значении силынить оборвется? Нить выдерживает максимальную силу натяженияТрением пренебречь.

Анализ условия. В задаче описано движение двух тел, связанных нитью. Чтобы описать движение каждого из них, применим к каждому из них второй закон Ньютона (в инерциальной системе, связанной с покоящимся относительно Земли столом). Для этого выделим силы, действующие на каждое тело.

Физическая часть решения задачи. На первый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры, сила натяжения нитии силаНа второй брусок действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити

Обозначим силы на рисунке 25.

По третьему закону Ньютона силы натяжения одной и той же нити, приложенные к двум брускам, по модулю равны,, а с направлением мы определились, обозначив силы на рисунке. Нам нужно решить задачу для случая, когда нить вот-вот разорвется, поэтому при вычислениях подставим значение

Грузы жёстко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением.

Выберем систему координат. Удобно направить ось Х в сторону движения тел, а ось Y – перпендикулярно оси Х вверх.

Применим второй закон Ньютона для каждого тела: ,

Запишем в проекциях на оси координат. Сразу подставим значения сил ии получим систему уравнений:

Вторая пара уравнений не информативна, а первую давайте решим в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 2

Получим конечную формулуи ответ . Задача решена.

Неинерциальная система отсчёта

Мы до сих пор решали задачи в инерциальных системах отсчёта и использовали преобразование Галилея для перехода между ними. Мы показали, что изменение скорости, когда мы к конечной и начальной скорости прибавляем скорость системы отсчёта, остаётся постоянным:

Но что если система отсчёта неинерциальная, и она сама движется относительно Земли с ускорением? Её скорость изменяется, и конечная скорость системы отсчёта наотличается от начальной:

Если разделить обе части уравнения на, получим сложение ускорений, аналогичное сложению скоростей. Ускорение тела относительно Земли равно ускорению тела в неинерциальной системе отсчёта плюс ускорение самой системы отсчёта:

В привычной нам записи второго закона Ньютона для инерциальных систем отсчёта стоит ускорение тела относительно Земли:

Выразим ускорение в инерциальной системе через ускорение этого же тела в неинерциальной системе:

Раскроем скобки:

И оставим в правой части только массу тела на ускорение этого тела уже в новой системе отсчёта, как во втором законе Ньютона:

Что получается? К прежней сумме сил, вызывающих ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта, прибавляется еще один вектор, имеющий размерность силы и равный: масса тела, умноженная на ускорение системы отсчёта. Этот вектор назвали силой инерции, хотя это и не сила взаимодействия тел, и она не подчиняется третьему закону Ньютона. Возникновение того, что мы считаем силой инерции и складываем с другими силами, обусловлено свойствами системы отсчёта. В таком виде мы можем применять второй закон Ньютона для решения задач в неинерциальных системах отсчёта.

Решим задачу о человеке в лифте в системе отсчёта, связанной с лифтом.

В этой системе отсчёта на тело действует сила тяжестисила реакции опорыи сила инерции(рис. 26).

Человек относительно лифта покоится, его ускорение в этой системе отсчёта равно нулю. Запишем:

В проекции на вертикальную ось (рисунок), направленную вниз, запишем:

Получили тот же результат, что и первым способом.

Получается, в системах отсчёта, которые движутся с ускорением относительно инерциальной системы отсчёта (самой привычной для нас — Земли), возникает некое подобие силы, не связанной с взаимодействием тел. И эта сила направлена противоположно ускорению системы отсчёта (знак минус в уравнении):

Эта модель достаточно точно описывает реальность. В разгоняющемся автомобиле эта сила отклоняет нас назад, противоположно ускорению. На повороте нас отклоняет от центра окружности, по которой движется автомобиль, то есть противоположно центростремительному ускорению (рис. 27).

Даже если плотно зашторить окна в поезде, наличие этой силы поможет нам понять, что мы движемся. Если бы рельсы были идеально ровные и скорость идеально постоянной, мы бы не смогли определить без вида за окном, едем мы или стоим. Такая система отсчёта была бы инерциальной, и в ней все процессы протекали бы так же, как и в других инерциальных системах отсчёта, в том числе в покоящемся вагоне.

На этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Список рекомендованной литературы

1. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики. Учебник. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика. М.: Физматлит, 2017.

2. Касьянов В. А. Физика 10 класс. Учебник. Углубленный уровень. ФГОС. М.: Дрофа, 2021.

3. Физика. 10 кл.: учебн. для общеобраз. учрежд. и школ с углубл. изучением физики: профильный уровень.  Под ред. А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. 13 изд-е. М.: Просвещение, 2011.

4. Тихомирова С. А., Яворский Б. М. Физика. 10 класс. Базовый и профильный уровни. М.: Мнемозина, 2012.

5. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика 10. М.: Просвещение, 2008.

6. Балашов М. М., Гомонова А. И., Долицкий А. Б. и др. Физика: Механика 10. М.: Дрофа, 2004.

7. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. М.: Мнемозина, 2014.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «YouTube» (Источник)

2. Интернет-портал «Класс!ная физика» (Источник)

3. Интернет-портал «YouTube» (Источник)

4. Интернет-портал «YouTube» (Источник)

5. Интернет-портал «YouTube» (Источник)

Домашнее задание

1. Почему сила реакции опоры и вес не компенсируют друг друга? Как можно изменить вес тела, не меняя его массу? Приведите не менее трёх примеров.

2. Может ли уменьшаться вес груза, находящегося в лифте, когда лифт движется вверх? Ответ обоснуйте, опираясь на законы физики.

3. Бак с водой спускают на лебёдке с ускорением во время торможения перед остановкой. В нём находится деревянная заглушка трубы (в форме диска). Какая часть заглушки находится над водой?

4. Как ведут себя тела в неинерциальных системах отсчёта, если равнодействующая сил, действующих на них, равна нулю? Приведите не менее двух примеров, не названных на уроке.

5. Космонавты на некоторых стадиях полёта испытывают перегрузки. Что такое «перегрузка», когда и почему она возникает?  Объясните, рассматривая движение космонавта в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта.