03. Кинематика и динамика. Практика. Профильный уровень

Алгоритм решения задач. Задача 1

Сегодня мы потренируемся в решении задач по темам «Кинематика» и «Динамика». Мы решим несколько задач, в которых описано равномерное и равноускоренное движение, движение по окружности, а также взаимодействие тел. При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики.

1. Анализ условия. Определяем, какие процессы происходят.

2. Физическая часть решения. Определяем закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записываем эти закономерности в виде уравнений. Смотрим на величины, входящие в эти формулы: определяем, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости переводим величины в СИ.

3. Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

В младших классах мы уже занимались решением задач по кинематике и динамике, будет полезным повторить те упражнения, сделать это можно по ссылкам («Кинематика. Практика», «Динамика. Практика»).

Используя новые, усовершенствованные математические инструменты, мы можем решать более широкий круг задач.

Задача 1. Пловец переплывает реку шириной 50 м, направляясь перпендикулярно берегу и не обращая внимания на течение реки. Найдите перемещение пловца относительно земли, если скорость течения равна 0,3 м/с, а скорость пловца относительно воды — 0,5 м/с.

Анализ условия. В задаче описано движение пловца в воде, которая сама движется относительно земли. Будем применять закон сложения скоростей. Запишем его для нашей задачи:

Движение пловца и течение реки будем считать равномерным, ничего другого не сказано. Поэтому описывать его будем уравнением: .

Физическая часть решения задачи. Начертим рисунок. Пловец плывёт, не учитывая течение, то есть его скорость относительно воды направлена перпендикулярно берегу, отметим на рисунке. Скорость течения реки направлена вдоль берега. Скорость пловца относительно земли мы уже записали, это сумма векторов скоростей, найдём её по правилу параллелограмма (рис. 1).

В задаче идёт речь о перемещениях. Найдём перемещение пловца относительно земли, запишем это выражение сразу без векторов, нам сейчас нужно связать численные значения:

А перемещение пловца в системе отсчёта, связанной с водой — это ширина реки:

Время в обоих уравнениях — это одно и то же время, на протяжении которого пловец плыл.

Физическая часть на этом закончилась, мы описали движение с помощью уравнений, и перед тем, как начать их решать, запишем ещё одно, для модуля скорости. Так как векторы образуют прямоугольный треугольник, можем применить теорему Пифагора:
.

Решим полученную систему уравнений в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 1 

Задача 2

Задача 2. Уравнение движения тела задано в виде, где все величины заданы в СИ. Определите начальную скорость и ускорение движения тела, а также координату и скорость движения тела через 6 с.

Анализ условия. В задаче представлено равноускоренное движение тела, так как оно по условию задачи описано с помощью квадратичной функции. Равноускоренное движение мы описываем с помощью уравнений:
,

В условии задачи описано движение вдоль одной оси — х, поэтому сразу перепишем уравнения:
,

Физическая часть решения задачи. Давайте по порядку ответим на вопросы задачи. Начальная скорость тела, как мы видим из уравненияв общем виде — это множитель приВ заданном по условию уравнении этот множитель равен 9 м/с (т. к. величины указаны в СИ). Так и запишем:

Множитель приравен, и в заданном уравнении он равен. Значит,

Зная начальную скорость и ускорение, можем записать зависимость:.

У нас есть зависимостии, с помощью которых можно узнать координату и скорость тела в любой момент времени, в том числе и через 6 с после начала движения. Просто подставим в зависимостии получим:

Математическую часть решения выделять отдельно не будем, мы сделали простые вычисления попутно с физической частью.

Ответы получены, задача решена.

Задача 3

Задача 3. С каким промежутком времени оторвались от карниза две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями было 25 м? Трением о воздух пренебречь.

Анализ условия. В задаче описано движение капель под действием только силы тяжести, трением воздуха сказано пренебречь. В таких условиях тела движутся с постоянным ускорением — ускорением свободного падения, направленным вниз. Как обычно, будем применять уравнения для равноускоренного движения:

Физическая часть решения задачи. Выберем систему координат. Речь идёт о падении капель вертикально вниз, поэтому можно ограничиться одной осью координат. Направим её в направлении движения капель, а начало координат удобно совместить с карнизом (рис. 2).

В условии задачи не всё однозначно с отсчётом времени, нужно определиться. Речь идёт о момент времени через 2 с после начала падения второй капли, давайте начало падения второй капли и примем за ноль.

Запишем уравнения движения капель, сразу в проекциях на ось

Начнём со второй капли: она оторвалась без начальной скорости из точки, а её ускорение — это ускорение свободного падения, сонаправленное с осью координат. Запишем:

Первая капля оторвалась в той же точке с нулевой начальной координатой, тоже без начальной скорости, но, так как она оторвалась на какое-то время раньше (обозначим его, его как раз нужно найти), она находится в полёте надольше, то есть:

В момент временирасстояние между каплями равно 25 м, обозначим егоРасстояние между каплями – это разность координат:

Полученную систему уравнений можно решить, в ней три уравнения и три неизвестных, так что выражение для скорости нам даже не понадобилось. С математической частью решения задачи вы можете ознакомиться в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 3 

Задача 4

Задача 4. Первый искусственный спутник Земли («Спутник-1») делал полный оборот вокруг Земли за 1 час 36 минут. Найдите радиус его орбиты.

Анализ условия. В задаче описано движение спутника по круговой орбите (а значит движение с центростремительным ускорением) под действием одной силы — силы притяжения к Земле. Будем использовать второй закон Ньютона, а силу гравитационного взаимодействия с Землёй найдём по закону всемирного тяготения. Массу и радиус Земли можно узнать из справочника.

Физическая часть решения задачи. Запишем по второму закону Ньютона, как связана сила, действующая на спутник со стороны Земли, с его ускорением (рис. 3).

Поскольку сила сонаправлена с ускорением, запишем сразу по модулю:

Центростремительное ускорение мы умеем находить, оно равно:

Сила гравитационного притяжения по закону всемирного тяготения равна:, где m и M — массы спутника и Земли соответственно.

 — это как раз радиус орбиты, который нам нужно найти, и расстояние между центрами спутника и Земли.

В условии задачи дано время полного оборота спутника вокруг Земли, то есть период вращения. Запишем, как связан период с линейной скорость спутника. Спутник за время T проходит путь, равный длине орбиты,Значит, скорость по определению равна:

Получили систему уравнений, математическая часть решения — в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 4 

Задача 5

Задача 5. Тело массойдвижется по поверхности стола под действием силы, направленной под угломк горизонтали (рис. 4). Коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью стола равен. Найдите вес тела и его ускорение.

Анализ условия. В задаче описано прямолинейное движение под действием нескольких сил. По второму закону Ньютона ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело.

Физическая часть решения задачи. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, в условии задана сила, с которой тащат тело, и задан коэффициент трения – это подсказка, что силу трениятоже учитываем, она по модулю равна:Изобразим перечисленные силы на рисунке 5.

Нужно найти вес тела — это сила, с которой тело действует на опору. По третьему закону Ньютона вес равен по модулю силе реакции опоры, с которой опора действует на тело. Мы описываем движение тела, значит, будем записывать силы, которые действуют на это тело, и поиск веса тела сведём к поиску силы реакции опоры.

Выберем систему координат. Удобно направить осьвертикально вверх, а ось — в направлении движения бруска.

Применим второй закон Ньютона:

Запишем в проекциях на выбранные оси координат. Сначала в проекции на ось. Проекции сил тяжести и реакции опоры равны нулю, силы трения направлена против оси, её проекция будет со знаком минус:

В проекции на ось:

Тело движется вдоль поверхности, поэтому проекция ускорения равна нулю, как и силы трения.

На записи второго закона Ньютона в проекциях на выбранные оси координат физическая часть закончилась. Осталось решить систему уравнений, математическая часть решения в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 5

Задача 6

Задача 6. На наклонную плоскость, угол наклона которой, с высотысвободно падает тело и упруго отлетает с той же скоростью. Определите расстояние от первого удара тела о плоскость до второго.

Анализ условия. В задаче описано движение тела с ускорением свободного падения. Как обычно, будем его описывать теми же уравнениями:

Движение тела сложное, с отскоком от поверхности, но его можно разделить на два простых этапа: это свободное падение вертикально вниз до отскока, и затем движение, тоже с ускорением свободного падения и начальной скоростьюпосле отскока. Начальная скорость на втором этапе равна по модулю конечной скорости на первом этапе.

Физическая часть решения задачи. Опишем в виде уравнений первый этап движения. Движение прямолинейное, можем обойтись одной осью координат, направим её вертикально вниз, начало координат совместим с начальной точкой тела. В такой системе координат (рис. 6) начальная координата и начальная скорость тела равны нулю, ускорение свободного падения положительно, запишем:

В тот момент, когда координата теларавна, скорость тела достигнет некоторого значения, которое будет равнона втором этапе. Давайте выразим эту скорость и сосредоточимся на втором этапе задачи.

Опишем второй этап движения тела.

Выберем новую систему координат. Тело в данной задаче уже не движется вдоль прямой (рис. 7), поэтому выберем две оси координат. Давайте направим осьпараллельно плоскости, нам удобно будет искать расстояние между первым и вторым ударами. Осьнаправим перпендикулярно оси

Опыт нам подсказывает, что при упругом столкновении тела с плоскостью тело отражается от неё симметрично, подобно отражению луча от зеркала. Это можно проверить, применив закон сохранения импульса. Значит, если провести к плоскости перпендикуляр (а он совпадает с осью), то углы между векторами скоростей и нормалью к плоскости будут равны (см. рис. 7).

С системой координат определились, направления начальной скорости и ускорения выяснили. Осталось, как обычно, записать наши главные уравнения для равнопеременного движения в проекциях на оси координат.

В проекции на осьначальная координата равна нулю, а проекции начальной скорости и ускорения отметим на рисунке 8.

В проекции на осьначальная координата тоже равна нулю, а проекции начальной скорости и ускорения на эту ось тоже отмечены на рисунке 8.

Перед тем как решать уравнения, чтобы записать проекции скорости и ускорения, вспомним геометрию. Угол наклона плоскости равен, отметим его на рис. 9. Горизонт, наклонная плоскость и векторобразуют прямоугольный треугольник, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, значит, угол между вектороми осьюравен. Обратите внимание, вот эти углы вертикальные (рис. 9), и при симметричном отражении начальная скорость направлена тоже под угломк оси

Теперь легко записать нужные нам проекции: ,,,

Помним, чтомы уже нашли,, поэтому осталось только переписать уравнения и решить систему.

На этом физическая часть решения задачи закончилась, из этих уравнений можно математически получить всё, что нам нужно.

Нам нужно найти расстояние вдоль плоскости от начала координат до второго удара (рис. 9), то есть найти координатув момент удара. В момент удара координата y равна нулю (рисунок), перепишем третье уравнение, для:

Можем разделить обе части уравнения наи выразить:

Получили два корня:

Первый корень показывает, что в момент времени, то есть в момент первого удара тело действительно соприкасалось с плоскостью, но нас интересует второй такой момент, Подставим в первое уравнение:

Подставим значения и получим ответ:

Задача решена.

Обратите внимание, мы решали задачу, как обычно описывая движение с помощью всё тех же двух уравнений. Единственное, что отличалось в данной задаче — пришлось вспомнить геометрию и разобраться с проекциями. Поэтому решение получилось более громоздким, но не более сложным. Можно было решить задачу, направив оси координат, как показано на рисунке (рис. 10).

Тогда уравнения приняли бы другой вид, а в момент второго удара тела его координата равнялась бы не нулю, аПопробуйте самостоятельно решить эту задачу в такой системе координат и убедитесь, что ответ получится тот же.

Задача 7

Задача 7. Два тела с массамиисвязаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок, как показано на рисунке 11. Трением нити о блок и второго тела о поверхность пренебречь. С каким ускорением движутся тела, если угол наклона плоскости равен?

Анализ условия. В задаче описано движение двух тел под действием нескольких сил. Для каждого тела применим второй закон Ньютона. Для этого распишем все силы, действующие на данное тело, и запишем, что их сумма пропорциональна ускорению тела.

Поскольку тела связаны нерастяжимой нитью, их ускорения равны по модулю. Мы точно не знаем, в какую сторону движутся тела, это будет зависеть от соотношения их масс. Предположим, что перевесит первое тело. Так как нить лёгкая, то есть её массой можно пренебречь, то по третьему закону Ньютона можно считать, что на тела действует одинаковая по модулю сила натяжения нити.

Физическая часть решения задачи. Рассмотрим тело 1. На него действует сила тяжести и сила натяжения нити(рис. 12).  

Запишем по второму закону Ньютона:

Тело движется вдоль одной прямой, достаточно одной оси, направим её вертикально вниз. В проекции на эту ось запишем:ибез индекса, они по модулю равны для обоих тел.

Перейдём к телу 2. На него действует сила тяжести, сила натяжения нитии сила реакции опоры, рис. 13.

Запишем по второму закону Ньютона:

Выберем систему координат. Удобно направить осьвдоль движения тела, а перпендикулярно ей — ось(назовём её так, потому что она отличается от оси, которая у нас уже есть). Запишем в проекции на ось:

В проекции на ось:

Проекции силы тяжести мы записали, зная, что угол между осьюиравен. Давайте немного отвлечёмся на геометрию и один раз проследим, как мы нашли этот угол, потому что такой чертёж нам будет часто встречаться.

Расположим вектор силы тяжести, как показано на рис. 14.

и

Если его продолжить, получим прямоугольный треугольник . УголВ треугольнике , тоже прямоугольном, т. к.  — проекция, уголТогдаВ, – проекцияУгол, т. к., — секущая.Таким образом, нам нужно, используя знания по геометрии, определить, где в треугольниках, образованных проекциями, находится заданный угол наклона плоскости, чтобы правильно применять синус или косинус угла наклона.

Вернёмся к задаче: мы получили систему уравнений, из которой можно найти ускорение. Это будет математическая часть решения, физическая на этом закончилась.

Напишем ещё раз систему уравнений.

Выразим из первого уравнения силу натяжения:

Подставим её во второе уравнение:

Как видим, третье уравнение нам даже не пригодилось, мы уже можем выразить ускорение. Перенесём все члены с неизвестным в одну часть уравнения:

Проанализируем полученный ответ. Мы предположили, что тела движутся в направлении первого тела. Еслибольше, чем, то так и будет, ускорение получится положительным. Если же масса тела 2 будет достаточно большой, а именно, то знак ускорения будет отрицательным, то есть оно будет направлено в противоположную сторону.

В любом случае ответ мы получили, задача решена.

А на этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Домашнее задание

1. На рисунке приведена зависимость равнодействующей сил от времени. Как двигалось тело на каждом из участков (равномерно, равноускоренно, равнозамедленно)? Ответ обоснуйте.

2. Два спортсмена массами 90 кг и 60 кг соответственно совершили прыжок с парашютом. Начиная с одной и той же высоты H скорость каждого из них не менялась. Насколько дольше спускался второй парашютист с высоты Н, если спуск  первого с этой высоты длился 1,5 минуты ?

3. Доска массой M = 30 кг может двигаться без трения по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту a = 30°. С каким ускорением должен ехать по доске человек на велосипеде общей массой m = 90 кг, чтобы доска оставалась неподвижной?

4. Шайба массой 165 г, начав своё движение с наклонной плоскости, за третью секунду своего движения прошла 5 м. Определите величину равнодействующей сил, действующих на шайбу.

5. На диске (см. рис.), равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси, укреплён на вертикальной стойке, отстоящей от оси вращения на расстоянии d = 10 см, отвес. Какова циклическая частота вращения диска, если нить отвеса длиной l = 15 см отклонилась от вертикали на угол α = 45°?

Список литературы

1. Касьянов В. А. Физика 10 класс. Учебник. Углублённый уровень. ФГОС. М.: Дрофа, 2021.

2. А. В. Русаков, В. Г. Сухов. Сборник задач по физике (физико-математическая школа № 2, г. Сергиев Посад). 1998 г.

3. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. М.: Мнемозина, 2014.

4. Павленко Ю. Г. Физика. Избранные задачи. Книга 1. М.: Экзамен. 2008.

5. Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. 2-е издание передел. X.: Веста; Издательство «Ранок», 2005. 464 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «YouTube» (Источник)

2. Интернет-портал «YouTube» (Источник)

3. Интернет-портал «exir.ru» (Источник)

4. Интернет-портал «YouTube» (Источник)