07. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Колебошин С. В.)

Введение

На данном уроке мы будем выводить основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ), которое связывает макропараметры газа с микропараметрами отдельных молекул.

Выведение основного уравнения МКТ

Вспомним основные сведения про модель идеального газа:

• молекулы движутся хаотически;

• механизм давления идеального газа – это соударение отдельных молекул со стенками сосуда.

Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (см. рис. 1). Определим давление p этого газа на поршень.

По определению давление – величина, равная отношению силы (), действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности ().

Вычислим силу (), с которой молекулы действуют на поршень:

1. Определим силу удара одной молекулы о стенку сосуда.

Пусть молекула идеального газа массой  движется в плоскости со скоростью  и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью  (см. рис. 2). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны поршня во время удара, равна: , где – ускорение молекулы при ударе;  – изменение скорости движения молекулы при ударе;  – продолжительность удара.

Проекция скорости на ось не изменяется, поэтому всё изменение скорости  равно изменению скорости вдоль оси :

Так как:

То:

Согласно третьему закону Ньютона, сила , с которой молекула действует на поршень, равна по модулю силе , с которой поршень действует на молекулу. Следовательно:

2. Рассчитаем число молекул , ударившихся о поршень за интервал .

За интервал времени  до поршня успеют долететь только те молекулы, которые движутся в направлении поршня и удалены от него на расстояние  (см. рис. 3). То есть фактически половина числа молекул, заключённых в цилиндре объёмом . Следовательно, число молекул, ударившихся о поршень за интервал , равно:

 – общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:

3. Определим общую силу ударов молекул о поршень.

Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее число ударов:

Мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула имеет проекцию скорости , , . Так как все молекулы двигаются хаотично, то направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для средней квадратичной скорости, , ,  одинаковые (). Следовательно, заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:

Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:

Значение данной силы подставим в формулу давления:

  – основное уравнение МКТ идеального газа, где макропараметры ; микропараметры .

Второй способ записи основного уравнения МКТ

Основное уравнение МКТ можно записать в другом виде, в котором давление связывается не с массой и скоростью молекулы, а с их комбинацией, то есть со средней кинетической энергией одной молекулы.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа можно рассчитать по формуле:

Следовательно, основное уравнение МКТ будет выглядеть так:

 – давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема

Итоги урока

На данном уроке мы вывели основное уравнение МКТ. Обращаться к данному уравнению мы будем нечасто, так как удобнее работать с отдельными макропараметрами (проще отдельно измерить давление, объём, температуру, чем замерять скорость и массу конкретной молекулы). Тем не менее, именно это уравнение назвали основным, потому что оно даёт связь между макромиром и микромиром.

Список литературы

1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.

2. Физика. Тесты. 10–11 классы: учебно-методическое пособие / Н. К. Гладышева, И. И. Нурминский, А. И. Нурминский и др. – М.: Дрофа, 2005.

3. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.

4. Касьянов В. А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «easy-physic.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Вопросы в конце параграфа 63 (стр. 165); упражнение 11 (8,9) стр. 167 – Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы).

2. В ампуле содержится водород. Определите давление газа, если его концентрация равна , а средняя квадратичная скорость движения молекул водорода 500 м/с.

3. Чем обусловлено давление газа на стенку сосуда?

4. Сформулируйте и запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории.