08. Потенциальные (консервативные) и непотенциальные силы. Потенциальная энергия

Введение

Механическая работа, совершаемая над материальной точкой, приводит к изменению её кинетической энергии. Если совершать механическую работу над системой материальных точек, которые взаимодействуют между собой (образуя твердое, жидкое или газообразное тело), то такая механическая работа может привести к изменению конфигурации данного тела (взаимного расположения частей этого тела). В данном случае удобно ввести понятие потенциальной энергии. Однако не всегда можно ввести данное понятие: если выполнить механическую работу (например, над куском пластилина), он изменит свою форму, но для того, чтобы восстановить свою форму, снова нужно выполнить некоторую положительную механическую работу.

Если сжать стальную пружину, совершив при этом опять же некоторую положительную механическую работу, она изменит свою форму (см. рис. 1). Дальше, если медленно освобождать эту пружину, она вернётся в исходное состояние, а мы при этом совершим некоторую отрицательную работу.

Сумма этих работ равна 0: пружина вернулась в исходное состояние, а полная совершённая над нею работа оказывается равной 0. Только в таких случаях можно вводить понятие потенциальной энергии, потому что энергия – это функция состояния, то есть она зависит только от того, какова система в данный момент, а не от того, что происходило с этой системой в предыдущие моменты. Поэтому понятие «потенциальная энергия» связано с формой или с взаимным расположением взаимодействующих тел и является функцией состояния этой системы.

Центральные поля

Рассмотрим силы, действующие на расстоянии: гравитационное взаимодействие и электростатическое взаимодействие. При таком взаимодействии на тело действуют силы в различных точках пространства. Любое распределение физической величины по разным точкам пространства называется полем. Будем рассматривать поля силы, то есть векторные поля. Векторные поля удобно иллюстрировать силовыми линиями (см. рис. 2).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением действия силы. Например, в данной точке пространства (см. рис. 3) сила, действующая на тело, направлена вдоль силовой линии.

Плотность силовых линий, то есть количество силовых линий, приходящихся на единичную поперечную площадку, пропорционально величине силы, то есть модулю вектора. Ближе к центру количество силовых линий, приходящихся на единичную площадку, большое (см. рис. 4), то есть величина силы, действующая на тело, большая.

Чем дальше отходить от центра, тем меньше эта величина силы (см. рис. 5).

Такие поля могут быть потенциальными. В потенциальном поле необходимо так расположить силы, чтобы при движении тела по некоторому замкнутому контуру полная работа оказывалась равной 0. В основном центральные поля (см. рис. 2) являются потенциальными. Центральныеполя – это поля, в которых силы расположены сферически симметрично по отношению к некоторому центру (см. рис. 2), а величина этой силы (плотность силовых линий) зависит только от расстояния до центра. В центральных полях работа по замкнутому контуру всегда равна 0.

Но не все силовые поля могут быть потенциальными. Рассмотрим пример силового поля, изображённого силовыми линиями (см. рис. 6), которое не является потенциальным.

В верхней области поля силовые линии проходят густо, это означает, что сила большая (см. рис. 7).

В нижней области силовые линии проходят редко (см. рис. 8) – следовательно, здесь сила маленькая.

Если перенести некоторое пробное тело по пунктирному контуру, то, двигаясь по верхней части этого контура (см. рис. 9), нужно совершать большую механическую работу, потому что в этой области сила большая.

Двигаясь по вертикальным частям этого контура, никакую механическую работу совершать не будем, потому что направление действия силы и перемещение тела будут перпендикулярны , а  (см. рис. 10), поэтому механическая работа равна 0.

Работа по переносу тела по нижней части этого контура имеет знак, противоположный работе в верхней области контура, перемещение одинаково, а сила в этой области меньшая, следовательно, суммарная работа по переносу тела по этому контуру не равна 0. В таком поле невозможно ввести понятие потенциальной энергии.

Работа по перемещению вдоль замкнутого контура

Рассмотрим некоторое потенциальное поле (работа по переносу тела по замкнутому контуру в таком поле равна 0). Будем рассматривать произвольный замкнутый контур, состоящий из двух частей: из т. А в т. В по контуру а и из т. В в т. А по контуру b (см. рис. 11).

Совершённая работа на участке  и работа на участке  в сумме равна 0:

Отсюда следует, что первая работа равна минус второй работе. Из определения работы очевидно, что работа по переносу тела по контуру в одну сторону отличается знаком от работы по переносу тела по контуру в противоположную сторону. Поэтому работа из т. В в т. А равна со знаком минус работе из т. А в т. В. Поэтому следует утверждение, что работа по переносу тела из т. А в т. В по любому контуру будет одинаковой, если поле потенциальное. И отсюда следует, что в потенциальном поле можно ввести понятие потенциальной энергии. Как это сделать?

Введение понятия «потенциальная энергия»

Как выяснили выше, работа по переносу тела из некоторой точки 0 (см. рис. 12) в току 2 не зависит от пути.

Тогда проведём эту работу по некоторому произвольному пути 0-2. Эта же работа будет равна работе по переносу тела из точки 0 в точку 1, а потом переносу тела из точки 1 в точку 2:

Отсюда следует алгебраическое утверждение, что работа по переносу тела из одной произвольной точки поля в другую произвольную точку поля равна работе по переносу тела из некоторой фиксированной точки 0 во вторую точку 2 минус работе по переносу тела из фиксированной точки 0 в первую точку 1:

Где просто обозначим , . Смысл этих обозначений такой: потенциальная энергия тела в точке 2 или в точке 1 по отношению к выбранной нами как начало отсчета потенциальной энергии точки 0. Положение точки 0 произвольное, выбирается нами в зависимости от задачи, разность потенциальных энергий между точками 2 и 1 не зависит от того, где выбрана точка 0.

Таким образом, в разных полях можно выбирать разные начальные уровни потенциальной энергии и отсчитывать её от выбранного уровня. Например, в однородном поле тяжести потенциальную энергию отсчитывают обычно от поверхности Земли, в произвольных гравитационных полях – от бесконечно далёких точек, а для деформации упругих тел – от состояния недеформированного тела.

Итоги

Введённое нами понятие «потенциальная энергия» не зависит от того, относительно какой точки мы её отсчитываем, физический смысл имеет только разность потенциальных энергий между двумя состояниями системы. Поэтому в разных задачах можно по-разному определять понятие «нулевой потенциальной энергии». Например, в однородном поле тяжести Земли обычно выбирают за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли, в произвольных гравитационных полях за нулевой уровень выбирается бесконечно удалённая точка, в случае упругих деформаций удобно принимать потенциальную энергию недеформированного тела равной нулю и отсчитывать потенциальную энергию от этого состояния.

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Сотский Н.Н. Физика 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 374 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)

Домашнее задание

1. Дайте определение центральным полям. Чем удобно иллюстрировать векторные поля?

2. Что показывает плотность силовых линий?

3. Чему равна работа по переносу тела по замкнутому контуру в потенциальных полях? В непотенциальных полях?