03. Пространство и время. Координаты. Вектор перемещения. Радиус-вектор

Пространство и время. Координаты

Все события в нашей жизни происходят в пространстве и с течением времени, поэтому необходимо научиться описывать пространство и время, то есть отвечать на вопросы «где?» и «когда?».

Представьте себе, что вы совершаете кругосветное плавание. Вам необходимо указать свое местоположение для того, чтобы можно было доставить вам запасы провизии и воды. Географы давно ввели понятия широты и долготы. Данные переменные однозначно определят ваше положение (рис. 1).

Для того чтобы ответить на вопрос «где?», ученые ввели термин «система координат», то есть некие независимые переменные, которые однозначно задают положение тела.

Наше пространство трехмерное, то есть через любую точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2). Это легло в основу самой распространенной системы координат – прямоугольной (декартовой).

Можно выбрать три взаимно перпендикулярных оси (декартова система координат), связав начало координат с телом отсчета. В такой системе отсчета положение точки () будут характеризовать три числа, которые называются декартовыми координатами. Для их нахождения необходимо опустить перпендикуляры из точки на три оси (, , ).

Координаты также можно определить, если опустить из точки на плоскость перпендикуляр, а затем из точки  провести перпендикуляр к оси , таким образом, получаем координату (рис. 4). Аналогично находим две другие координаты точки.

В физике, в математике и в повседневной жизни используются и другие системы координат. Например, для определения местоположения на глобусе (земном шаре) используются географические координаты (широта и долгота), которые являются производной от сферической системы координат (рис. 5). В некоторых задачах по физике и математике удобно использовать цилиндрические системы координат (рис. 6).

При решении задач выбирается та система, которая является более удобной для того или иного случая. Декартовую систему координат удобнее выбирать в большинстве случаев. Например, характеристика положения парты, за которой вы сидите (рис. 7).

Для того чтобы ответить на вопрос «когда?», то есть охарактеризовать время события, необходимо задать одну независимую величину – временную координату. Ее мы используем, когда говорим, что какое-либо событие произошло в 1861 году или, например, что спортсмен пробежал дистанцию за 10,5 секунды (в качестве начала отсчета выбираем стартовый сигнал пистолета).

Следовательно, для полного ответа на вопрос «где?» и «когда?» необходимо задать четыре независимые величины – координаты , , и (время).

Можно обойтись и меньшим количеством переменных. Рассматривая движение тела по поверхности стола, не имеет смысла вводить переменную , так как по высоте ничего не меняется. В этом случае мы сталкиваемся с двумерным движением, поэтому для описания точки М достаточно координат и (рис. 8), а также временной координаты .

Если рассматривать плоское движение тела, например движение водомерки по поверхности воды, то удобно выбрать оси и именно в этой плоскости, а ось перпендикулярно ей (рис. 9). Эта ось не пригодится, так как координата будет равна нулю. Такое движение называется двумерным.

Если тело движется вдоль одной прямой, то достаточно только координаты x для описания изменения его положения в пространстве с течением времени (движение автомобиля по прямой дороге, движение муравья по туго натянутой гитарной струне) – одномерное движение.

Следовательно, если найти зависимости координат от времени, то есть законы , , , то можно решить главную задачу механики – определить положение тела (координату) в любой момент времени.

Вектор перемещения

Зная координаты и путь, не всегда можно определить местоположение тела через некоторое время. Представьте, что водитель такси сообщает диспетчеру, что за сегодняшний день он проехал 100 км. Может ли диспетчер однозначно определить, где находится водитель в данный момент времени? Нет, так как вариантов его движения очень много (рис. 11).

Во всех трех случаях путь равен 100 км, но тело находится в итоге в различных точках. Не зная точно траектории, а зная лишь путь, решить главную задачу механики невозможно.

Чтобы определить точное положение тела, необходимо знать длину и направление отрезка, соединяющего начальное положение тела с последующим. Такой направленный отрезок называют перемещением () (рис. 12).

Перемещением тела (материальной точки) называют вектор, проведенный из начального положения тела в его положение в данный момент времени. Длину направленного отрезка называют модулем перемещения.

Радиус-вектор

В физике также пользуются радиус-вектором, который характеризует положение тела и удобен для описания движения тела.

Радиус-вектор () материальной точки проводят из начала координат к положению точки в данный момент (рис. 13). При движении точки радиус-вектор изменяется, и в определенный момент времени он будет равен: , где  – вектор перемещения;  – радиус-вектор в начальный момент времени.

Из рисунка 13 видно, что проекции радиус-вектора на оси координат равны координатам материальной точки. При этом:

То есть проекция вектора перемещения на ось координат равна изменению соответствующей координаты тела. Следовательно, конечные координаты тела будут равны:

Итоги урока

Для того чтобы ответить на главную задачу механики, необходимо записать законы изменения координат от времени , , . Для записи этого закона следует, помимо начальной координаты тела, знать и его перемещение (проекции перемещения на соответствующие оси). Так как существуют различные виды движения (рис. 14), необходимо научиться записывать законы движения для каждого из них.

Список литературы

1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.

2. А. П. Рымкевич. Физика. Задачник 10–11. – М.: Дрофа, 2006.

3. О. Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.

4. А. В. Перышкин, В. В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «nika-fizika.narod.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Вопросы (3–5) в конце параграфа 4 (стр. 13); вопросы в конце параграфа 6 (стр. 17) – Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10.

2. Точка движется прямолинейно и проходит от начала отсчета путь S = 10 м. Затем она поворачивает на 180° и возвращается в начало отсчета. Найти путь и модуль вектора перемещения за все время движения.

3. Самолет летит с юга на север и пролетает 400 км, затем поворачивает на 90° и пролетает еще 300 км. Найти путь и модуль вектора перемещения за все время движения.