16. Решение задач по теме «Кинематика»

Задача 1

Здравствуйте! Сегодня мы завершаем тему «Кинематика», и наш урок посвящён решению задач по этой теме.

Задача 1

Первая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена равномерному движению вдоль одной оси. Эта задача будет связана с относительностью движения тел.

Условие этой задачи будет следующим. Из точки в точку и обратно движется вертолёт. В первый раз из точки в точку и обратно он летит в безветренную погоду. А второй раз он летит уже при ветре, направление которого совпадает с направлением прежнего движения, то есть из точки в точку . Вопрос заключается в следующем: в каком случае вертолёт затратит больше времени на преодоление этого расстояния — в первом, когда безветренная погода, или во втором, когда есть ветер?

Запишем кратко условие задачи. Обозначим скорость вертолёта как , а скорость ветра — . Расстояние из точки в точку обозначим буквой . Кроме того, чтобы получить ответ, нам надо исследовать, во сколько раз время  будет больше, чем время . Это можно получить в результате отношения, разделив полученное время  на . Это и будет у нас в кратком решении. Переходим к решению задачи.

А) Чтобы найти время , то есть время, за которое вертолёт пролетает из точки в точку и обратно в безветренную погоду, мы запишем следующее выражение: , где  — это время полёта вертолёта из точки в точку , а  — время полёта из точки в точку , когда он летит обратно. Поскольку движение равномерное, мы можем записать выражение для :

Плюс второе выражение для :

Если сложить эти два выражения, то мы получим следующий результат:

То есть время полёта вертолёта из точки в точку и обратно определяется как . Вот то, что мы получили для времени .

 — время полёта вертолёта из точки в точку и обратно в безветренную погоду.

б) Рассмотрим теперь в решении , то есть время полёта вертолёта из точки в точку и обратно, но уже при наличии ветра.

, где  — это время полёта из точки в точку тогда, когда ветер будет дуть в ту же самую сторону, куда летит вертолёт. Обратите внимание, что время определяется как отношение к сумме скоростей:

То есть в таком случае скорость ветра и скорость вертолёта складываются, так как они направлены в одну сторону.

Время , за которое вертолёт прилетит обратно из точки в точку , надо оценивать следующим образом: надо разделить на разность скоростей:

То есть ветер тормозит вертолёт, замедляет его движение, поэтому в таком случае мы берём разность скоростей.

Обращаю ваше внимание, что если бы скорость ветра была больше скорости вертолёта, время, как видно из этого уравнения, получилось бы отрицательным, а это значит, что вертолёт обратно никогда бы не прилетел.

Если мы теперь эти два уравнения будем складывать, то получим выражение для времени :

Заметим, что задачу можно было решить другим способом. Этот способ был бы связан с измерением или вычислением средней скорости. Если бы мы определили среднюю скорость в первом случае, тогда, когда ветра нет, и определили среднюю скорость тогда, когда ветер есть, то, соответственно, можно было бы говорить, в каком случае вертолёт будет двигаться быстрее.

Переходим к ответу этой задачи, и теперь нам следует определить, в каком же случае время будет больше — во втором или в первом. В этом случае мы определяем отношение времени полёта вертолёта.

Если это отношение  будет равно единице, то это означает, что в первом случае и во втором время одинаково, никакой роли в этом случае не играет.

Если это отношение будет больше единицы, то время  больше, чем , и, соответственно, на полёт при ветре вертолёт затратит большее время.

Последний случай. Если время  было меньше , то мы бы получили их отношение меньше единицы.

Итак, посмотрим на решение.

в) Обратите внимание на запись окончательного решения нашей задачи. То есть время полёта вертолёта во втором случае к времени полета в первом случае. Запишем выражение времени  и разделим на выражение времени :

Окончательное выражение, которое мы получаем из этого соотношения:

Проведя исследования, мы явно можем видеть, что числитель больше, чем знаменатель, значит, отношение будет больше единицы. Можно написать:

Следовательно, можно говорить о том, что время полёта в первом случае меньше, чем во втором:

Так что при наличии ветра вертолёт будет в любом случае двигаться медленнее и затратит большее количество времени.

Итак, ответ этой задачи:

Задача 2

Вторая задача, которую мы с вами рассмотрим, это равнопеременное движение вдоль прямой с постоянным ускорением.

Условие задачи: материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению

Определите пройденный путь этой точки за 4 секунды.

«Дано» в этой задаче будет состоять из уравнения движения и времени . Находить будем расстояние, обозначенное буквой .

Итак, решение этой задачи мы начинаем с того, что сразу сравним уравнение Галилея с уравнением движения материальной точки:

Рассматривая эти два уравнения, можно сделать следующий вывод: начальная точка , тело начинает своё движение из начала координат. Начальная скорость  — это величина, которая стоит перед буквой . В нашем уравнении перед буквой нет цифры, значит, это единица и начальная скорость будет равна . Обратите внимание, что эта скорость положительна, и, следовательно, тело начинает движение вдоль оси в том же самом направлении, что и сама ось.

Рассматривая ускорение, мы имеем следующее:

В таком случае знак «минус» говорит о том, что ускорение направлено против оси , и в начале движение является замедленным. Так же мы можем записать уравнение скорости:

Подставляем сюда полученные значения, уравнение скорости будет иметь следующий вид:

Если мы посмотрим теперь на ось, то можно изобразить это следующим образом.

Решение этой задачи, как вы уже заметили, связано с уравнением движения Галилея. Обращаю ваше внимание, что определить пройденный путь как прямую мы не можем. Поэтому для того, чтобы пройденный путь нам определить полностью, нам необходимо исследовать траекторию движения.

Итак, для того, чтобы исследовать траекторию движения тела, первым делом мы должны посмотреть, в каком же случае произойдёт остановка тела, то есть, его скорость будет равна нулю.

Для этого в уравнение, которое мы с вами получили, мы подставим конечную скорость, равную нулю:

Получим время . Это время, через которое тело остановится. Определим координату точки, в которой тело остановится. Мы запишем уравнение:

Следующий шаг, который мы должны сделать для исследования траектории, — это определить конечную координату, то есть координату тела по истечении 4 секунд движения.

Обращаю ваше внимание на то, что если бы мы сразу определили конечную координату, то, следуя, что — это пройденный путь, мы должны были бы сказать, что тело прошло 0,8 метра, хотя сейчас мы знаем, что это совсем не так.

Определяем весь пройденный путь. Траектория движения тела является ломаной линией: тело первые 2,5 секунды двигалось в одну сторону, затем оно остановилось и при сохранении ускорения начинает движение в противоположную сторону. Определим теперь пройденный путь:

Ответ такой: тело прошло за 4 секунды 1,7 метра. На рисунке вы можете видеть, из каких перемещений состоит движение тела.

Задача 3

Переходим к третьей, заключительной задаче. Она посвящена равномерному движению по окружности, то есть движению по окружности с постоянной скоростью. Условие задачи следующее: диск некоторого радиуса вращается с постоянной скоростью, при этом крайние точки этого диска обладают линейной скоростью . Точки, которые располагаются на  ближе к центру вращения, обладают скоростью . Необходимо определить центростремительное ускорение крайних точек этого диска.

В «дано» записываем наши скорости, расстояние , которое переводим с СИ, . Найти нам необходимо центростремительное ускорение .

Переходим к решению.

а) Угловая скорость всех точек на этом рояльном теле будет одинакова, поэтому для крайних точек мы записываем уравнение: , , где  — радиус диска,  — радиус точек, которые располагаются ближе к центру.

Обращаю ваше внимание, что разница радиусов — это и есть те самые 10 см.

Отсюда мы можем выразить , то есть радиус точек, расположенных ближе к оси вращения. Это расстояние будет равно:

б) Угловая скорость у них одинаковая, можем записать уравнение:

Подставляя цифры, мы можем найти радиус крайних точек:

Для определения центростремительного ускорения достаточно использовать формулу:

Ответ нашей задачи — это .

Обратите внимание, что центростремительное ускорение очень большое. Вообще, при движении тел по окружности центростремительное ускорение подчас бывает очень и очень большим. Достаточно, например, коснуться того вопроса, который всех интересует, — это движение колеса автомобиля. Там, как правило, при довольно средней скорости, центростремительное ускорение бывает гораздо больше .

Итак, мы рассмотрели на сегодняшнем уроке несколько задач, посвящённых кинематике. Эта тема сегодня заканчивается. Хочу сказать в заключение, что все эти задачи были выбраны из примеров ЕГЭ. На следующем занятии мы начинаем новую тему механики, которая называется «динамика». До свидания

Проверь себя

1. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями  и . Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 секунд. Какова длина второго поезда?

2. Машина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением , затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением , останавливается. Всё время движения . Средняя скорость за это время . Сколько времени автомашина двигалась равномерно?

3. Какая предельная скорость приземления  парашютиста допустима, если человек, не имея парашюта, может безопасно прыгать с высоты 2 м?

Список использованных источников:

Рис. 1–12. Дизайнер презентаций Осипова А. Ю.