03. Система материальных точек. Центр масс. Закон движения центра масс

Центр масс и законы его движения

Любые физические тела состоят из огромного числа микрообъектов, которые при очень хорошем приближении можно считать материальными точками.

Твёрдые тела обладают таким свойством, что расстояние между любыми точками в этом теле сохраняется. Для описания движения твёрдого тела вполне достаточно описывать движение одной из его точек — по крайней мере, при поступательном движении твердого тела.

Однако бывают также жидкие и газообразные тела. Например, когда происходит взрыв сверхновой звезды, в разные стороны разлетается огромное количество различных частиц. Описать их поведение, не зная конкретного взаимодействия этих частиц, иногда бывает просто невозможно. И тем не менее существуют общие закономерности — общие законы движения этих объектов.

Итак, рассмотрим произвольную систему очень большого числа материальных точек. Каждая из этих точек имеет некоторую массу  и некоторую скорость . Каждая из этих точек имеет импульс :

Если мы сложим все эти импульсы, получим определенную величину — будем называть ее импульсом системы . Эта величина по размерности есть произведение массы на скорость.

Буквой мы будем обозначать суммарную массу всех частиц, составляющих эту систему.

Что же такое скорость этой системы ? Ведь каждая точка имеет свою скорость, направленную произвольным образом; какая же точка системы движется с этой скоростью?

Для того чтобы это понять, рассмотрим другую величину и будем называть её «центр масс системы». По определению, координаты центра масс системы есть некоторая сумма произведений масс на радиус-вектор каждой точки, деленное на полную массу системы.

Эта величина имеет определенную размерность, размерность длины (мы обозначаем ее буквой R и называем радиус-вектором некой точки). Эта точка носит название центра массы.

Но если мы теперь посмотрим на скорость изменения этой координаты, на скорости изменения положения этой точки, то в правой части у нас только одна величина зависит от скорости — это координата отдельных масс. Значит, вместо координаты этой массы у нас появится скорость этой массы, а вместо координаты центра масс появится скорость центра масс.

Мы видим, что скорость центра масс — это и есть та скорость, которая входит в определение импульса. Таким образом, импульс представляет собой массу системы, умноженную на скорость центра масс.

Если импульс системы материальных точек — это суммарный импульс этих материальных точек, то и изменение импульса системы естественно представить как суммарное изменение частей, составляющих эту систему.

Для материальных точек мы знаем, что изменение импульса по второму закону Ньютона — это есть сила, действующая на данную материальную точку, и время, в течение которого эта сила действует. Изменение импульса есть импульс силы. В этой формуле мы видим, что сумма изменений импульсов материальных точек есть суммарный импульс силы, действующий на различные части этой системы.

В этом выражении — общее для всех слагаемых, его можно вынести за знак суммирования, тогда мы получим сумму сил, действующих на тела системы, а это и есть суммарная система, действующая на систему в целом:

Этот последний переход очень нетривиален, так как взаимодействие между частями системы здесь также учитывается.

Среди сил, действующих на отдельные части системы, есть силы, действующие извне, и есть силы, действующие в этой системе. Но по третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия и противоположно направлена. Очень часто говорят, что в третьем законе Ньютона действуют силы, приложенные к разным телам, поэтому их нельзя складывать.

Силы — это векторы, и их всегда можно складывать как векторы. Силы взаимодействия частей, складываясь, дают ноль, поэтому в правой части равенства 7 стоит только суммарная внешняя сила, действующая на систему.

Таким образом, мы получаем второй закон Ньютона для системы произвольным образом взаимодействующих материальных точек. Изменение импульса системы есть импульс силы, действующий на эту систему.

В обычной форме второго закона Ньютона масса, умноженная на ускорение, равна силе:

В данном случае тривиальная интерпретация: масса любой сложной системы, умноженная на ускорение той точки, которую мы назвали центр масс, есть сила — суммарная внешняя сила, действующая на систему. Таким образом, мы доказали, что второй закон Ньютона применим к любым, сколь угодно сложным системам.

Домашнее задание

1. Что такое центр масс?

2. Существуют ли отличия между центром масс и центром тяжести?

3. Влияет ли плотность системы на её импульс?*