04. Закон всемирного тяготения

Вывод закона всемирного тяготения

Сегодняшний наш урок будет посвящён закону всемирного тяготения. Считается, что автором этого закона является великий английский учёный Исаак Ньютон.

Как Ньютон подошел к выяснению вопроса всемирного тяготения? Он сравнил ускорение свободного падения , которое было известно до него, и ускорение Луны . По сравнению этих ускорений он увидел, что ускорение Луны меньше, чем ускорение свободного падения в раз.

Затем, сравнив расстояние между Землёй и Луной и радиус Земли, он заметил, что и это соотношение тоже является пропорциональным . То есть раз — это .

Получив эти два соотношения, он пришёл к выводу о том, что сила, с которой взаимодействуют тела, сила, с которой притягивается Земля к Луне, в первую очередь обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Из второго закона Ньютона мы знаем, что сила прямо пропорциональна ускорению, значит и сила взаимодействия также обратно пропорциональна квадрату расстояния между планетами.

Рассмотрим соотношение: ускорение Луны  к ускорению свободного падения . Это соотношение равно

. Если мы рассмотрим расстояние от Земли до Луны , и сравним с радиусом Земли, который приблизительно составляет, то это соотношение будет равно . Но  и

 — это одно и то же. Значит, ускорения относятся как квадрат отношения радиуса Земли и расстояния от Земли до Луны.

Исходя из соотношения, выведенного Ньютоном, мы можем сделать вывод, как ускорение соотносится с расстоянием. Но ведь ускорение прямо пропорционально силе, поэтому следующий вывод будет о взаимодействии и соотношениях сил.

Далее Ньютон вывел соотношение ускорения и расстояния и соотношение сил и расстояния.

Из этого следует, что ускорение тела будет обратно пропорционально квадрату расстояния. Так как сила, по второму закону Ньютона, также прямо пропорциональна ускорению, мы можем сделать вывод, что сила, также обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Следующий вывод, который был предложен Ньютоном, это соотношение силы и массы тела. Наблюдая за гравитационными взаимодействиями, Ньютон получил следующие результаты: сила взаимодействия двух тел зависит от масс тел, взаимодействующих между собой — то есть от масс планет. Теперь стало понятно, что и другие планеты также взаимодействуют с Солнцем. Поэтому можно сделать следующий вывод: сила, с которой взаимодействуют тела, прямо пропорциональна произведению их масс.

Далее Ньютон объединил два предыдущих вывода и получил тот самый закон всемирного тяготения.

Обратите внимание, что в этой форме уже можно говорить о зависимости, с которой взаимодействуют между собой различные тела. Сила взаимодействия прямо пропорциональна произведению массы и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Окончательно закон всемирного тяготения был сформулирован к середине XVIII века, когда удалось хотя бы частично определить коэффициент пропорциональности, ведь пропорциональность не является строгим равенством. Этот коэффициент пропорциональности на сегодняшний день обозначают заглавной буквой G и называется «гравитационная постоянная величина».

Итак, закон всемирного тяготения гласит, что сила взаимодействия двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Гравитационная постоянная

Впервые попытка уточнения гравитационной постоянной была предпринята в середине XVIII века. Определили её следующим образом: посмотрели на отклонения маятника, небольшого металлического шарика, рядом с очень большой горой. Массу этой горы определяли геологическим способом. Оценить гравитационную постоянную в данном случае удалось, но точность результата была очень низкая.

Первым человеком, которому удалось определить гравитационную постоянную с достаточной точностью, был английский учёный Генри Кавендиш.

В 1792 году он определил гравитационную постоянную с помощью крутильных весов. В результате отклонения очень маленьких шаров, укреплённых на крутильных весах, ему удалось установить значение гравитационной постоянной:

В чём же физический смысл величины? Физический смысл ее заключается в том, что она показывает, с какой величиной силы будут взаимодействовать два тела, массой по каждый, расположенные на расстоянии .

Гравитационная постоянная очень мала. Поэтому два тела, находящиеся рядом друг с другом, например, два человека, сидящие за одной партой, не могут ощутить этого гравитационного взаимодействия. Если посчитать, то сила взаимодействия двух тел, массой по , размещенных на расстоянии приблизительного одного метра, составляет примерно. Конечно, такую величину мы практически не ощущаем. Но, тем не менее, она существует, и это гравитационное взаимодействие обязательно присутствует во всех наблюдаемых явлениях, где встречаются тела, у которых есть масса.

В дальнейшем гравитационная постоянная только уточнялась. На сегодняшний день уже известно большое количество знаков этой величины, и определить взаимодействие тел можно достаточно точно. Но закон всемирного тяготения имеет некоторые ограничения.

Границы применимости закона всемирного тяготения

Всё дело в том, что закон всемирного тяготения ввели только для двух тел. Если, взаимодействующих тел будет больше — три, четыре и т. д., — то решение задач в этом случае вызывает некоторую сложность. Оно будет, но не всегда.

Следующее — закон справедлив для точечных тел. Как это понимать? Это означает, что расстояние между телами таково, что эти тела мы можем считать материальными точками.

Закон всемирного тяготения можно использовать, если тела приближенно являются шарами. Солнце и Луна в первом приближении — шары, шарообразные тела. Поэтому можно считать их телами правильными, а массу можно считать сосредоточенной в центре этих самых тел.

И последнее: этот закон можно использовать тогда, когда одно из тел точечное, а другое тело является шаром. Например, Земля и Солнце. Дело в том, что Солнце — это огромная звезда, и по сравнению с Солнцем и с расстоянием между Солнцем и Землей мы можем считать Землю материальной точкой.

Точные вычисления гравитационной постоянной и закон всемирного тяготения дают возможность определить массу и скорость любого небесного тела, определить расстояние между телами, рассчитать ускорение свободного падения тела. Зная массу Земли, радиус Земли и гравитационную постоянную, мы можем определить ускорение свободного падения. Данные, полученные таким образом, и данные, которые получил в своё время Галилей, совпадают.

Также мы можем определить ускорение свободного падения на других планетах. Можно высадиться на Марс и Венеру, чтобы определить ускорение на них опытным путём, а вот на Сатурн или Юпитер человек никогда не полетит — масса их настолько велика, что взлететь с них будет невозможно. Поэтому определить ускорение свободного падения на этих планетах мы можем только теоретически.

С помощью ускорения свободного падения мы можем установить наличие залежей полезных ископаемых в земле. Если в целом ускорение свободного падения на Земле равно , то, измеряя его в разных местах, мы можем определить его изменение. Это говорит о том, что меняется плотность Земли, а значит, можно предполагать залежи полезных ископаемых. Например, уменьшение плотности означает, что на некоторой глубине находится газ или нефть. Если плотность, наоборот, увеличивается, то под землёй есть залежи тех или иных руд.

Закон всемирного тяготения является одним из основных законов природы, он используется при запуске космических кораблей, в космических исследованиях, астрономических наблюдениях и во многом другом.

Домашнее задание

1. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

2. Что такое гравитационная постоянная и каков её физический смысл?

3. Как изменится сила взаимодействия между телами, если расстояние между ними уменьшится в 4 раза, а масса каждого тела увеличится в 2 раза?