07. Колебания и волны. Практика. Профильный уровень

Алгоритм решения задач. Механические колебания

Здравствуйте! 

Сегодня мы потренируемся в решении задач по теме «Колебания и волны» и применении моделей для описания механических и электромагнитных колебаний и волн. При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики.

1. анализ условия, определение сути происходящих процессов;

2. физическая часть: определение закономерностей, которым подчиняются происходящие процессы, запись этих закономерностей в виде уравнений, выбор системы координат. Анализ величин, входящих в эти формулы: определяем, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить; при необходимости переводим величины в СИ;

3. математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения величин.

Приступим к решению задач.

Задача 1

Тело массой 0,5 кг соединено с пружиной жесткостью 20 Н/м и колеблется без трения на горизонтальной поверхности.

1. Вычислите полную энергию системы и максимальную скорость тела, если амплитуда колебаний равна 3 см.

2. Какую скорость имеет тело при отклонении от равновесия 2 см?

Вычислите кинетическую и потенциальную энергии при отклонении от равновесия 2 см.

Анализ условия. В задаче описан идеальный пружинный маятник: груз заданной массы прикреплен к пружине заданной жесткости и колеблется без трения. Вопросов в задаче несколько, и мы на них ответим, описав математически движение маятника. Речь идёт об энергии системы: она в любой момент складывается из кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины, причем в момент максимального отклонения кинетическая энергия равна нулю, а в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю (растяжения пружины нет).

Физическая часть решения задачи. Запишем, чему равна полная механическая энергия маятника:

1. Нам надо найти полную энергию системы, и амплитуда колебаний задана в условии. Состояние системы, когда отклонение максимально (то есть равно амплитудному значению А), опишем с помощью уравнения:

Уже всё есть для того, чтобы проделать вычисления, подставив значения в СИ:

.

2. Во втором вопросе задачи описано состояние системы, в котором отклонение груза от положения равновесия равно. Это промежуточное положение, его мы описали уравнением:

Так как полную энергию мы уже вычислили, у нас есть все значения, чтобы вычислить скорость. Также нужно найти кинетическую и потенциальную энергию системы. Для потенциальной энергии мы записали:

а для кинетической:

Итак, выразим скорость:

Вычислим, подставив значения в СИ:

И вычислим значения энергии:

Получили все ответы, задача решена.

Задача 2

Математический маятник подвесили к потолку лифта и измеряют период его колебаний. По сравнению с маятником в неподвижном лифте период маятника в лифте, движущемся с постоянной скоростью: (а) увеличится, (б) уменьшится, (в) не изменится? А что будет с периодом, если лифт ускоряется при движении вверх: (а) увеличится, (б) уменьшится, (в) не изменится?

Анализ условия. В задаче описан математический маятник и период его колебаний в разных условиях.

Период колебаний маятника мы находим с помощью уравнения:

он определяется длиной нити маятника и ускорением свободного падения.

Длина нити не изменяется, по условию задачи это всё один и тот же маятник. А что с ускорением свободного падения? Вспомните, как мы получали уравнение для периода колебаний математического маятника, при необходимости можете посмотреть соответствующий раздел урока по ссылке (Математический маятник. Дополнения модели). Там мы описывали движение груза под действием силы тяжести и силы натяжения нити в инерциальной системе отсчёта. Когда лифт движется с постоянной скоростью — это как раз случай инерциальной системы отсчёта. Силы на груз действуют те же, что и в неподвижном лифте, и законы механики выполняются так же. Поэтому в лифте, который движется с постоянной скоростью, период колебаний маятника не изменяется.

Когда лифт движется с ускорением, связанная с ним система отсчёта не является инерциальной. Да, лифт всё так же находится на Земле, в том же доме, и ускорение свободного падения там не меняется. Но груз внутри лифта может показаться тяжелее или легче в зависимости от направления ускорения лифта (рис. 3).

Как будто либо на груз действует дополнительная сила, кроме силы тяжести, либо ускорение свободного падения изменилось. Мы на уроках механики вводили силу инерции: силу, которая возникает в системах отсчёта, движущихся с ускорением. Эта сила по модулю равна и направлена противоположно ускорению системы отсчёта.

Наш лифт движется вверх, значит, сила инерции направлена вниз.

То есть на груз действует не просто сила тяжести , а сумма сил или. Получается, во всех расчетах к ускорению свободного падения прибавилось ускорение лифта, и конечная формула примет вид:

Так как знаменатель дроби увеличится, вся дробь уменьшится, значит, период колебаний маятника уменьшится.

Задача 3

На рисунке приведены графики двух колебаний (см. рис. 6). Для каждого из колебаний найдите период, частоту и амплитуду. Для графика колебаний а запишите уравнение зависимости.

Задача 3

В условии заданы графики колебаний . Мы умеем извлекать из них информацию: по оси показано отклонение системы в каждый момент времени, и мы можем выбрать момент максимального отклонения и определить амплитуду. А по оси времени мы можем определить временны́е характеристики колебаний — период и частоту.

Зная эти характеристики, легко записать уравнение вида. Приступим.

На графиках хорошо видна амплитуда — максимальное отклонение по оси. Для колебаний а амплитуда равна 8 см — как видим, это максимальное отклонение от положения равновесия (которое у нас в точке ноль). Амплитуда колебаний b равна 4 см (одна клеточка на рисунке 6).

Период колебаний — это время, за которое осуществляется один полный цикл колебаний, после чего процесс повторяется. Давайте начнём отсчёт из точки 0. На рис. 8 мы видим полный цикл колебаний; стрелкой указан момент времени, когда он заканчивается — 6 клеток. На оси подписано, что 5 клеток соответствуют одной секунде, значит, одна клетка равна 1/5 = 0,2 с, а период колебаний a равен 1,2 с.

Рис. 8. Определение периода колебаний по графику

Полный цикл колебаний b отмечен на рисунке 8 (б), период колебаний соответствует 8 клеткам или.

Частота — величина, обратная периоду:

Вычислим частоты двух колебаний по уже известным периодам:

Наконец, запишем функцию

Амплитуда у нас уже есть, циклическая частота равна. График своей формой повторяет график функции синус, он тоже начинается в точке (0; 0), начальная фаза в этом случае равна нулю. Запишем, подставив значения в СИ:

Все ответы получены, задача решена.

Ответ: Аa = 8 см; Аb = 4 см; Та = 1,2 с; Тb = 1,6 с; νа = 0,833 Гц; νb = 0,625 Гц.

Механические волны

Задача 4

Поезд, движущийся со скоростью 10 м/с, издает сигнал с частотой 500 Гц. Звук какой частоты услышит наблюдатель, к которому приближается поезд? Температура окружающего воздуха 24 °С.

Анализ условия. В задаче описан звук, который распространяется от движущегося источника (поезда) к наблюдателю. Мы знаем, что при движении источника звука или наблюдателя происходит сдвиг частоты слышимого звука, это явление назвали эффектом Доплера. Будем использовать формулу для сдвига частоты. Эта формула содержит скорость звука. Скорость звука зависит от температуры воздуха. Скорость при температурах, близких к комнатным, мы примерно знаем, но в условии дано точное значение температуры, значит, предполагается, что мы вычислим скорость звука при данной температуре. Уравнение для этого у нас тоже есть.

При движении источника звука к наблюдателю слышимая наблюдателем частота звука равна:

здесь — это частота звука, который услышит наблюдатель, а — частота звука, испускаемого источником, она задана в условии. и — скорость звука и скорость источника.

Если Вы не помните готовую формулу, её легко вывести. Как именно — можете вспомнить, просмотрев фрагмент урока по ссылке об эффекте Доплера (Звуковые волны).

Скорость звука при заданной температуре равна:

Здесь — это скорость звука при температуре 0 °С или 273 К, температуру T нужно подставлять в кельвинах.

Получили простую систему уравнений, которую осталось решить — это будет математическая часть решения задачи.

Подставим скорость звука из второго уравнения в первое:

Все необходимые значения у нас есть, осталось их подставить (не забывая перевести температуру в шкалу Кельвина) и получить ответ:

Получили ответ: наблюдателю издаваемый поездом звук будет казаться чуть выше, чем от неподвижного поезда. Задача решена.

Задача 5

Самолёт летит горизонтально с постоянной скоростью. Когда наблюдатель слышит, что самолёт находится над ним, он видит самолёт под угломк горизонту. Найдите скорость самолёта.

Анализ условия. В задаче описан самолёт, как его видит и слышит наблюдатель, то есть речь идёт о том, как свет и звук распространяются от самолёта к наблюдателю. Скорость света равна 300 000 км/с, и на расстояниях нескольких километров можно считать, что свет распространяется мгновенно. А вот скорость звука в воздухе намного меньше. Её значение не задано, давайте примем её равной 340 м/с. Поэтому, чтобы звук преодолел расстояние в несколько километров от самолёта до наблюдателя, нужно время. За это время самолёт успевает заметно переместиться. Для решения задачи нам нужно сделать рисунок и начертить, как двигался самолёт и распространялся звук. Сделаем это в физической части решения задачи.

Физическая часть. Наблюдатель слышит, что самолёт находится над ним, значит, звук достиг наблюдателя строго сверху. Значит, в момент, когда самолёт испустил этот звук, он находился вертикально над наблюдателем, отметим это на рисунке 9.

За некоторое время t звук достиг наблюдателя; запишем пройденное звуком расстояние:

За это же время t самолёт уже успел сместиться, он движется горизонтально. Его перемещение за это время равно:

В условии сказано, что самолёт в этот момент виден наблюдателю под углом 60° к горизонту, отметим на рисунке.

На этом физическая часть решения задачи закончилась, осталось решить математическую задачу: у нас есть прямоугольный треугольник, выражения для его катетов мы записали, нужно их как-то связать. Нам задан угол, а другой угол треугольника равен, так как линия, связывающая наблюдателя и самолёт в первый момент времени, вертикальна, перпендикулярна земле.

Из тригонометрии мы знаем, как связать два катета прямоугольного треугольника:

Осталось подставить  и из первых двух уравнений:

.

Выразим скорость самолёта, заменив tg на ctg, используя формулы приведения, и вычислим:

Получили ответ: скорость самолёта равна 196 м/с или около 707 км/ч. Задача решена.

Электромагнитные колебания и волны

Задача 6

На рисунках приведены графики изменений напряжения на конденсаторе колебательного контура и силы тока в катушке этого контура. Найдите ёмкость конденсатора, индуктивность катушки этого контура и длину принимаемых радиоволн, если этот колебательный контур — часть приёмника.

Анализ условия.

У нас есть графики, по которым легко определить амплитуды напряжения и силы тока — это максимальные значения функций. Также можно найти период колебаний — это время, за которое осуществляется один полный цикл колебаний.

Эти графики описывают один и тот же колебательный процесс, поэтому период на разных графиках должны получить один и тот же.

Нам нужно найти ёмкость конденсатора и индуктивность катушки; будем связывать их с величинами, которые нашли по графикам.

На графике для напряжения видно, что амплитуда напряжения (то есть максимальное значение, которого достигает напряжение, отклоняясь от 0) равна 12 В. Аналогично этой процедуре, по второму графику находим амплитуду силы тока: 0,5 А.

Отметим на каждом графике полный цикл колебаний, для удобства – с началом в точке 0 мкс. Как видим, в обоих случаях период получается равен 2 мкс.

Для периода электромагнитных колебаний запишем формулу Томсона:

Ещё мы можем записать значения энергии заряженного конденсатора и катушки с током, они тоже как раз содержат нужные нам ёмкость и индуктивность. Запишем энергию конденсатора в тот момент, когда напряжение на нем максимально — в этот момент сила тока через катушку равна нулю (это видно и на графиках), и энергия заряженного конденсатора равна полной энергии колебаний. Аналогично в тот момент, когда сила тока через катушку максимальна, напряжение на конденсаторе равно нулю, и энергия катушки с током равна полной энергии колебаний. Запишем:

Длину волны можно связать с её частотой или периодом, зная скорость волны. Для электромагнитных волн мы эту скорость знаем: это скорость света C. Запишем:

На этом физическая часть закончилась, осталось решить уравнения. Начнём с самого простого, найдём из третьего уравнения длину волны:

Подставим значения в СИ, период мы уже нашли по графику:

Оставшиеся два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решим её в ответвлении и получим ответ.

Задача 7

Сколько электромагнитных колебаний происходит в электромагнитной волне с длиной 25 см в течение одного периода звуковых колебаний с частотой 800 Гц?

Анализ условия. Количество колебаний за единицу времени — это по определению частота колебаний:

. От частот к длинам волн и наоборот мы можем переходить с помощью уравнения. Давайте применять перечисленные уравнения.

Количество колебаний мы уже связали с частотой электромагнитных колебаний. Мы считаем колебания на протяжении одного периода звуковых колебаний, запишем:

В условии не задана частота, но задана длина волны. Запишем для электромагнитной волны:

Нам не известен период звуковых колебаний, но известна их частота, это обратные друг другу величины:

Получили простую систему уравнений, осталось её решить и получить ответ. Выразим из первого уравнения N:

Выразим из второго уравнения частоту электромагнитной волны:

Подставим её в выражение для N, как и период звуковых колебаний:

Подставим значения в СИ:

Получили ответ: полтора миллиона колебаний.

Задача 8

Входной контур радиоприёмника, настроенный на длину волны 2,99 м, имеет ёмкость 2 пФ и катушку с индуктивностью 1,14 мкГн. Какова индуктивность соединительных проводов, если индуктивности катушки и проводов складываются?

Проанализируем условие.

В задаче описан колебательный контур, период его собственных колебаний мы определяем по формуле Томсона. Если нам нужен не период колебаний, а частота или длина волны, мы легко их связываем: частота равна, а длину волны и частоту связываем, зная скорость волны (в случае с электромагнитными волнами это скорость света). В формуле Томсона L — это суммарная индуктивность, которая содержится в контуре. Обычно это только индуктивность катушки, если пренебрегать индуктивностью проводов. Но в данной задаче оговорено, что.

Запишем уравнения, которые мы договорились применять:

Осталось решить систему уравнений и получить ответ. Подставим частоту из второго уравнения в третье:

Подставим сюда период колебаний из первого уравнения:

Выразим индуктивность проводов:

Возведём обе части в квадрат:

Подставим известные нам значения, переведя их в СИ, и вычислим:

Задача решена.

На этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Физика. Углубленный уровень. 11 кл.: учебник / В. А. Касьянов. ― 6-е изд., стереотип. ― М.: Дрофа, 2019. ― 463 с.

2. Физика. 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, В. М. Чаругин. ― 23-е изд. ― М.: Просвещение, 2014. ― 400 с.

3. Генденштейн Л. Э. Физика 11 класс. В 2 ч.: учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровень) / Л. Э. Генденштейн, Ю. И. Дик. ― М.: Мнемозина, 2014. ― 384 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «youtube.com» (Источник, Источник, Источник, Источник)

2. Интернет-ресурс УчительПро (Источник)

3. Интернет-ресурс «rosuchebnik.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Точка совершает гармонические колебания вдоль оси х с периодом Т = 0,3 с и амплитудой А = 20 см. На сколько отличаются средние скорости точки за интервалы времени, в течение которых она проходит половину амплитуды: а) из крайнего положения; б) из положения равновесия?

2. Пружина под действием подвешенного груза растягивается на 1 см. Груз из этого положения оттянули вниз еще на 1 см и отпустили. Запишите уравнение гармонических колебаний груза.

3. Математический маятник укреплён на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, составляющей угол 10° с горизонтом. Каков период колебаний маятника во время движения, если при колебаниях на покоящейся на земле тележке он равнялся 1 с?

4. В идеальном колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону. Индуктивность контура 0,8 Гн. Найдите электроёмкость конденсатора и максимальные значения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности.

5. Два катера идут встречным курсом со скоростями υ1 = 36 км/ч и υ2 = 54 км/ч. Второй катер даёт сигнал с частотой ν1 = 330 Гц. Найдите отношение частот звука, воспринимаемого капитаном первого катера: а) перед их встречей; б) после встречи катеров.