03. Механические колебания и волны. Базовый уровень

Упругие колебания. Пружинный маятник

Вы сидите на берегу залива, а вдали проплывает катер. Через некоторое время возле вас всплеск воды — это дошла волна от катера. Катер далеко, а вода плещется здесь — это до нас дошла та самая вода, которую толкнул катер? Нет, трудно переместить воду на такое расстояние. Оказывается, всё дело в том, что вещество не передвигается: та вода осталась возле катера, а здесь плещется вода, которая и до того была у берега.

Распространяется возмущение — изменение положения частиц вещества, и при этом передается энергия — это и есть волна.

Это замечательно, что можно передавать энергию, не тратя её на перемещение вещества, и это можно использовать. Звук — это тоже механическая волна, и мы научились использовать его для передачи информации. Подойти и похлопать по плечу намного более энергозатратно, чем сказать на расстоянии, не говоря уже о том, что в звук можно вместить больше информации. Есть ещё электромагнитные волны, которые мы тоже научились использовать для передачи информации, и их тоже нужно уметь описывать, чтобы ими управлять.

Вообще наш способ мыслить подразумевает выделять что-то общее в разных объектах. Мы придумали счёт, когда выделили общее между двумя деревьями и двумя камнями: и тех, и тех — два, это и есть общее. И затем, научившись счёту на чём-то одном, мы можем сосчитать что угодно: 2 + 3 рубля, 2 + 3 дня или 2 + 3 апельсина.

Это простой инструмент, который мы создали и применяем для разных задач. В ответвлении вы найдете примеры более сложных инструментов, но суть остаётся та же.

Мы говорили о волнах на воде — представим, что на поверхности воды поплавок, и он прыгает, когда проходит волна. А вот колеблется маятник. Давайте выделим общее в этих явлениях: движение повторяется с некоторой периодичностью.

Поплавок и маятник — не единственные примеры, такая задача возникает часто, когда процесс с некоторой точностью можно считать повторяющимся. Конечно, эти повторения не могут быть абсолютно одинаковыми, но если отличиями пренебречь, такое описание окажется удобным. Можно будет описать один цикл, заодно описав и остальные такие же, и ввести параметры повтора (частоту, период).

Оказывается, у этих движений общее — это не только повторяемость, к ним можно применить похожие физические закономерности и описать их похожими уравнениями.

Среди повторяющихся процессов выделили такие, которые происходят как бы сами собой после некого начального воздействия. Например, мы толкнули качели, и они качаются дальше сами, пока не остановятся. Мы ударили по струне, и она колеблется. Дёрнули груз на пружине, и он дальше «прыгает».

У этих процессов есть кое-что общее, и это общее можно выделить в виде модели, которая получится универсальной. В каждом примере у системы есть равновесное состояние, и при выведении системы из равновесия возникают силы, которые возвращают систему в равновесие. Причем чем больше отклонение от равновесия, тем больше сила.

Плюс система должна обладать инертностью, то есть изменения состояния должны происходить не мгновенно.

Оказывается, все колебания, которые соответствуют названным условиям, протекают по синусоиде: функцияполучается в результате математических расчетов, и экспериментально для реальных систем x(t) получается близким к синусоиде. Такие колебания назвали гармоническими.

Эта модель с достаточной точностью подходит для описания множества реальных явлений. Модель можно уточнить, например, учитывая потери энергии или, наоборот, добавление энергии — и получим затухающие колебания или колебания, поддерживающиеся извне. А это ещё больше расширит круг решаемых задач. Более того, колебания могут распространяться в среде в виде волн, и для их описания тоже удобно использовать уже готовые концепции и термины. Давайте начнем с простого — разберемся подробнее с моделью гармонических колебаний.

Простейший колебательный процесс — это движение тела массы m по горизонтальной поверхности без трения под действием упругой силы (созданной пружиной). Такую систему называют пружинным маятником.

Сила, с которой на тело действует пружина, подчиняется закону Гука: F = -kx, где x — смещение конца пружины (тела m) от положения равновесия (x = 0), k — жесткость пружины. Знак минус означает, что сила действия пружины всегда направлена противоположно смещению.

Предположим, что вначале тело m было сдвинуто вправо на расстояние A и отпущено.

Тело m будет двигаться к положению равновесия x = 0. В этом положении на тело уже не действует упругая сила, но оно приобрело скорость и продолжает двигаться влево по инерции.

При движении тела влево от положения равновесия пружина будет сжиматься и действовать на тело с силой упругости, направленной вправо, т. е. тело будет тормозить.

Когда при движении влево тело остановится, оно будет находиться в положении x = -A, и пружина будет действовать на него с силой, направленной вправо.

Тело начнет движение вправо, опять пройдет через положение равновесия x = 0и продолжая движение по инерции, вернется в исходное положение x = A.

После этого процесс повторится.

Поскольку в этой модели нет трения и других диссипативных (неконсервативных) сил, движение будет продолжаться бесконечно. Эту форму движения мы уже назвали гармоническими колебаниями.

Сила упругости, действующая на тело в направлении его движения, подчиняется закону Гука, и она подходит под описание, о котором мы говорили в начале урока: сила пропорциональна смещению от точки равновесия и всегда направлена в сторону точки равновесия. При таких условиях и возникают гармонические колебания.

Мы ввели три основных понятия для всех периодических движений:

Амплитуда A — максимальное смещение от положения равновесия. В отсутствии трения гармоническое колебание совершается между положениями x = A и x = -A.

Период T — время, за которое осуществляется один полный цикл колебания.

Частота f — полное число колебаний за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду ().

Ускорение объекта, совершающего гармонические колебания, можно найти по закону Гука и второму закону Ньютона F = ma.

Во время колебаний ускорение, скорость и координата всё время изменяются. Связывать их мгновенные значения мы научились на уроках математики с помощью специального инструмента — производной. Ускорение равно производной скорости:, а скорость — это производная координаты:. Таким образом, ускорение — это производная производной, или производная второго порядка от координаты:.

Перепишем предыдущее уравнение:

Это дифференциальное уравнение гармонической колебательной системы (или осциллятора, от латинского oscillo — качаться), здесь физическая величина пропорциональна второй производной этой же величины. Такие уравнения обычно записывают немного в другом виде, чтобы упростить решение:

где.

Решать такие уравнения мы пока не умеем — запишем готовое решение для случая, когда x(0) = 0:

Где ω, как мы уже отмечали, равно — циклическая частота колебаний , а A — амплитуда колебаний.

Пружины, удовлетворяющие закону Гука, называют идеальными. У реальных пружин масса, внутреннее трение и меняющаяся жёсткость нарушают простую зависимость силы от смещения и влияют на характер движения. Здесь нам приходится решать, можем ли мы пренебречь этими процессами, или нам достаточно точности простой модели.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях пружинного маятника.

Работа силы, приложенной к идеальной пружине, при её сжатии или растяжении может быть «возвращена», т. е. пружина совершит в точности такую же работу при возвращении в положение равновесия. Идеальная пружина является консервативной системой.

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины, где x — удлинение или сокращение длины пружины, это выражение мы получали в младших классах (Законы сохранения).

Во время колебаний пружинного маятника полная энергия системы сохраняется, но постоянно происходит перераспределение потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза.

Когда пружина полностью сжата, полная энергия системы — это потенциальная энергия

пружины (A — амплитуда).

Когда маятник проходит точку равновесия, потенциальная энергия пружины равна 0 (x = 0), кинетическая энергия груза m равна (v — максимальная скорость груза).

Когда пружина полностью растянута, полная энергия — это опять потенциальная энергия пружины и т. д.

В любом промежуточном положении полная энергия пружинного маятника равна сумме потенциальной и кинетической энергий, и она постоянна:.

Рассмотрим подробнее, как меняются со временем положение, скорость и ускорение при гармонических колебаниях пружинного маятника.

Положение пружинного маятника в момент времени t, т. е. функцию x(t) будем считать такой:

где.

Период T — время, за которое осуществляется один полный цикл колебания, следовательно,. Откуда (f — частота колебаний).

Скорость и ускорение груза в момент времени t можно определить, взяв производную выражения, это удобно и быстро.

Можно сделать по-другому: воспользоваться законом сохранения энергии и сведениями из тригонометрии, ответ получим тот же.

Из постоянства полной механической энергии

следует:

Выразим скорость:

Из двух вариантов, обозначенных знаком «±», выбрали тот, который правильно описывает физический процесс: когда в самом начале координата максимальна и начинает уменьшаться, это значит, что скорость направлена против оси x, и её проекция отрицательна.

Из второго закона Ньютона ускорение

Вот так выглядят графики положения, скорости и ускорения, по ним вы можете проследить, как они меняются в разные моменты времени. Например, видно, что в момент максимального отклонения скорость равна нулю, а ускорение максимально, и направлено оно противоположно отклонению. Затем скорость увеличивается, тело движется к положению равновесия, где скорость по модулю максимальна, а ускорение равно нулю: тело в этот момент движется по инерции — и так далее.

Математический маятник. Дополнения модели

Другой простой пример механической системы, совершающей периодическое движение, — это маятник, состоящий из небольшого груза массы m, подвешенного на легкой (в модели считающейся невесомой) и нерастяжимой нити. Если отвести груз в сторону и отпустить, он будет качаться по одной и той же дуге. Будет ли это движение гармоническим, т. е. по закону синуса? Ответ зависит от того, будет ли возвращающая сила подчиняться закону, подобному закону Гука, т. е. зависеть линейно от смещения и быть всегда направлена в сторону точки равновесия.

Ответ — да, если мы будем рассматривать только небольшие отклонения маятника. Что значит «небольшие отклонения»? Это отклонения на такой угол , для которого можно приблизительно считать

, это нужно для простоты решения уравнений. Такой маятник называется математическим, в отличие от реальных (физических) маятников, для которых нельзя пренебречь массой подвеса, его упругостью, наличием больших отклонений и т. п.

Груз движется по дуге s длиной .

Возвращающая силанаправлена по касательной к дуге, а по модулю

Для небольших углов, поэтому приближенно можно считать, что

т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению S (как в законе Гука).

По второму закону Ньютона линейное ускорение a равно силе F, деленной на массу m, т. е.

По-другому это записывается как — уравнение гармонического осциллятора.

Мы уже знаем, что решение такого уравнения

где A — наибольшее отклонение маятника (амплитуда), а — угловая частота. Соответственно, период колебаний математического маятника

Мы рассмотрели простые системы без потерь энергии и без поступления энергии извне. Колебания в таких идеальных моделях продолжаются бесконечно долго: какое бы время мы ни подставили в уравнения x(t) и v(t), получим результат. В реальных системах эти потери и поступления есть, и иногда если их не учесть, это приведет к большой ошибке в расчётах. В реальных механических колебательных системах, например, силы трения замедляют движение (уменьшают механическую энергию системы), поэтому колебания не могут продолжаться бесконечно. Такие колебания называются затухающими.

Затухают колебания математического маятника, если учесть, что на самом деле нить в любом таком маятнике может хотя бы немного растягиваться; синус угла отклонения равен углу только приближенно; есть трение в точке подвеса, сопротивление воздуха и
т. д. Поэтому в реальном мире такой маятник непременно остановится, пусть и не скоро. Колебания в пружинном амортизаторе автомобиля, который на небольших промежутках времени можно считать пружинным маятником, замедляются уже через 2-3 колебания после того, как автомобиль проехал через небольшую кочку.

Другой пример колебательной системы — качели. Если их толкнуть, они будут колебаться, и с некоторой степенью точности к ним можно применить модель математического маятника. Но в реальности этот маятник не может долго колебаться без приложения к нему силы. Обычно ребенка раскачивают на качелях родители, прикладывая время от времени силу. Период силы совпадает с периодом колебаний качелей, и направление силы совпадает с направлением движения качелей, поэтому с каждым колебанием амплитуда увеличивается или, по крайней мере, сохраняется. Если направление приложенной силы не совпадает с направлением движения качелей, то колебания, напротив, будут уменьшаться.

Аналогичный, но автоматизированный, процесс происходит в часах, в которых существует запас энергии в пружине, гальваническом элементе или поднятой гире. В часах имеется механизм, который использует эту энергию для совершения работы по подталкиванию маятника в определенных его положениях.

Такие колебания, амплитуда которых сохраняется в течение долгого времени за счет внешних воздействий, называются вынужденными.

Если передача колеблющемуся объекту энергии (выполнение работы внешними силами) происходит синхронно с колебаниями, и передаваемая энергия больше, чем требуется для преодоления трения и т.п., то энергия и амплитуда колебаний могут вырасти во много раз. Такое явление называется резонансом.

Волны

Что объединяет волну на воде, волну из костяшек домино, звук, «волну света» по гирлянде? Во всех этих случаях распространяется возмущение, но не перемещается его носитель. Когда в воду бросили камень где-то поодаль, плескаться начало у берега, но сюда притекла не та вода, которую толкнул камень, — просто распространилось возмущение. И в остальных случаях: воздух не перемещается от динамика к уху, светящаяся лампочка не движется вдоль гирлянды. Такие процессы распространения возмущения мы назвали волнами. Мы уже говорили в младших классах о механических волнах и при каких условиях они распространяются (Механические волны. Звук).

Если возмущение не одиночное, а периодическое (то есть колебания), оно тоже будет распространяться в виде волны. И такая ситуация возникает часто, потому что волны распространяются в упругой среде, и в такой среде часто даже одиночное воздействие вызывает колебания. Мы бросили камень — поверхность воды колеблется некоторое время; ударили по струне один раз — она колеблется, и т. д. Конечно, колебания могут быстро затухнуть, но некоторое время их можно описывать как периодический процесс.

Именно такие волны, источником которых являются колеблющиеся объекты, мы и рассмотрим. Поэтому в описании таких волн будем использовать понятия, разработанные для гармонических колебаний.

Звуковые волны, например, могут возбуждаться колебаниями голосовых связок или гитарной струны. Колебания электронов в антеннах создают радиоволны с аудио-, видео- или цифровым сигналом — о них будем говорить отдельно.

Итак, если бросить в воду камень, то возмущение поверхности воды породит волны, которые движутся от места падения камня. Если на воде плавает лист, он будет колебаться вверх и вниз при прохождении волн, но не изменит своего положения в горизонтальной плоскости. Это означает, что волны (или возмущения) на воде движутся так, что не увлекают за собой воду.

«Бросая камешки в воду, смотря на круги, ими образуемые», мы на самом деле наблюдаем только изменения водной поверхности. Для существования таких волн требуется вода, для существования волн в струне требуется струна. Звуковые волны — это перемещение изменений плотности воздуха. То есть нужна среда, и перемещение возмущений в этой среде мы и изучаем. В случае электромагнитных волн средой является электромагнитное поле, вещество для распространения не нужно.

Для существования механической волны требуются: (1) источник возмущения; (2) среда распространения возмущения; (3) физическая связь или механизм влияния соседних участков среды друг на друга. Все волны несут энергию и импульс, но механизмы переноса различаются.

Выделим два простых типа волн — поперечные и продольные.

Самый простой способ наблюдать волну — это сдвинуть в вертикальном направлении свободный конец веревки, привязанной к стене.

Возмущение (поднявшаяся вверх часть веревки) распространяется вправо к стене, горизонтально.

Каждый элемент веревки движется только в вертикальном направлении, перпендикулярном распространению волны. Такие волны называются поперечными.

Другой тип волн — продольные. У них возмущения колеблются в направлении распространения волны. Такие волны распространяются вдоль пружины, если концом пружины совершать колебания, направленные вдоль пружины. Примером также являются звуковые волны, в них возмущения — это чередующиеся области высокого и низкого давления.

В одной и той же среде могут существовать и продольные и поперечные волны, например в воде или в Земле (сейсмические волны). Вот как можно в одном эксперименте наблюдать и поперечную и продольную волну.

Рассмотрим параметры волны, с помощью которых будем описывать ее математически.

Рассмотрим длинную струну, на одном конце которой специальное устройство возбуждает гармонические колебания в вертикальном направлении с фиксированной частотой f. Тогда по струне распространяется поперечная волна. Каждый элемент струны также совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости. Поэтому каждый элемент веревки можно считать гармоническим осциллятором, колеблющимся с той же частотой, что и источник колебаний.

Интервалы времени между рисунками T/4 — четверть периода колебаний T, его же считаем и периодом волны. А частоту колебаний — частотой волны, поскольку все точки среды колеблются с одинаковыми периодом и частотой.

Наибольшее отклонение элемента струны вверх и вниз от равновесного положения — это амплитуда волны A.

Расстояние между двумя ближайшими точками струны, совершающими одинаковые движения, назвали длиной волны λ.

Скорость волны, то есть расстояние, на которое распространяется волна за единицу времени. Если за ∆x примем длину волны λ, тогда ∆t = T, следовательно,. Поскольку (частота), имеем важное для волн соотношение, которое верно для всех типов волн.

Решим в ответвлении задачу.

Что будет, если две волны «встретятся»? Если сталкиваются тела, они взаимодействуют, отклоняются от первоначальной траектории — вы это видели не раз. Но волна — это распространение возмущений, отклонений среды, а отклонения не сталкиваются, они складываются в каждой точке. Если из-за одной волны точка отклонилась на 2 см, а из-за второй — ещё на 3 см в том же направлении, то суммарное отклонение составит 5 см.

Рассмотрим случай, когда две волны с одинаковыми амплитудами и частотами в некоторый момент времени проходят через общий участок среды. Если они не отличаются начальной фазой, то результирующая волна будет иметь удвоенную амплитуду.

В этом случае говорят, что встретившиеся волны были в одинаковой фазе, а результат их объединения называется конструктивной интерференцией.

Если две встречающиеся волны находятся в противофазе, т. е. там, где у одной волны гребень, у другой — впадина, и наоборот, то волны «уничтожают» друг друга, то есть результатом сложения будет отсутствие колебаний (см. рис. 7). Такое объединение волн называется деструктивной интерференцией.

Сформулируем требование к волнам, чтобы наблюдалась устойчивая интерференционная картина: волны должны быть одинаковой частоты и должны приходить в данную точку с постоянной разностью фаз. Волны, которые удовлетворяют этим требованиям, назвали когерентными (от лат. cohaerens — «находящийся в связи»).

На практике в одних точках участках пространства интерференция конструктивная, в других — деструктивная. Поэтому интерференционная картина бывает сложной. Например, как в пруду во время дождя, когда много источников волн и волны имеют разные амплитуды.

Звуковые волны

Мы сегодня уже несколько раз упоминали звук, давайте поговорим о нем подробнее. Мы говорили, что это такая же продольная механическая волна, как и другие, но упоминаем о нем как будто отдельно. Так что это, обычная волна или какая-то особенная?

Её особенность в том, как мы ее воспринимаем. Как мы воспринимаем любые колебания и их распространение — волны? Если колеблется что-то непрозрачное, их можно увидеть, разве что кроме вибраций с совсем малой амплитудой и большой частотой. Многие такие вибрации ещё можно почувствовать наощупь.

Колебания с некоторыми частотами мы воспринимаем по-особенному: они у нас вызывают слуховые ощущения. А именно, колебания с частотой приблизительно от 20 Гц до 20 000 Гц. Именно эти колебания, а также колебания с частотами чуть выше 20 000 Гц и чуть ниже 20 Гц относят к звуку.

Любые звуковые волны (от звука реактивного двигателя до писка комара) своим источником имеют вибрирующие объекты. Звуковые волны являются продольными и могут распространяться в разных средах (газ, жидкость, твёрдое тело). Рассмотрим для примера звуковую волну от камертона.

Колебания ножек камертона последовательно сжимают и разрежают воздух в объёме, примыкающем к камертону. Области сжатия, где плотность воздуха выше нормальной, и разрежения, где плотность меньше нормальной, движутся от камертона в виде волны.

В продольных звуковых волнах молекулы газа движутся вперед и назад по линии распространения волны.

У звуковых волн различают три области частот, в зависимости от восприятия их ухом человека. Средний человек воспринимает звуковые волны в диапазоне частот от 20 до 20 000 Гц — это воспринимаемые человеческим ухом волны. Волны с частотой меньше 20 Гц мы не слышим, они называются инфразвуковыми, волны с частотой большей 20 кГц (ультразвуковые) мы тоже не слышим. К звуку их можно отнести потому, что с точки зрения физики волны с частотой 15 Гц и 25 кГц принципиально не отличаются и описываются одной моделью. Тем более что инфразвуковые и ультразвуковые волны слышат некоторые животные.

Звук распространяется во всех упругих средах. Наибольшая скорость звука в твёрдых телах (несколько тысяч м/с), т. к. в них расстояние между молекулами небольшое и они сильнее взаимодействуют при передаче импульса. Меньше всего скорость звука в газах (несколько сотен м/с), так как там плотность небольшая и расстояния между молекулами велики, поэтому возмущение передается медленнее. В жидкостях скорость звука средняя (1–2 тысячи м/с).

Поскольку скорость звука в среде связана с движением молекул, она существенно зависит от температуры среды. Например, скорость звука в воздухе можно вычислить по формуле:

,

где 331 м/с — это скорость звука в воздухе при температуре 0 ⁰С, а T — абсолютная температура в кельвинах.

Давайте в качестве упражнения найдем скорость звука в воздухе при комнатной температуре (20 ⁰С). Не будем оформлять этот вопрос в качестве задачи, просто подставим комнатную температуру в готовое уравнение. Переведем 20 ⁰С в кельвины, это будет 20 + 273 = 293 K. Подставим:

Повторим замечательное свойство волн: колебания, а вместе с ними и энергия, передаются без перемещения вещества. Мы это используем, передавая информацию через звуки, и это понятно. Давайте введем энергетические характеристики звуковой волны: энергию и интенсивность.

Средняя интенсивность I звуковой волны на данной поверхности определяется как скорость, с которой энергия пересекает эту поверхность, делённая на площадь поверхности:

Единица измерения в СИ: ватт на метр квадратный (Вт/м2).

Интенсивность I можно выразить по-другому:где — мощность проходящего через поверхность звука в ваттах.

Самый слабый различимый человеческим ухом звук частотой 1 000 Гц имеет интенсивность около (конечно, это индивидуально для каждого человека). Эта интенсивность называется порогом слышимости. Самый громкий звук, который способно выдержать ухо, имеет интенсивность около (болевой порог).

Таким образом, самый громкий из доступных нам звуков в 10¹² раз громче самого слабого, но ещё различимого ухом. Но это не значит, что наши ощущения этих звуков отличаются в 10¹² раз. Наше ощущение громкости звуков пропорционально логарифму громкости. Относительная интенсивность звука называется уровнем громкости, выражается децибелах и определяется так:

Постоянная (порог слышимости), I — интенсивность звука, β уровень интенсивности в децибелах (дБ). При таком определении уровень интенсивности порога слышимости равен 0 дБ, а для болевого порога. Такой уровень интенсивности звука иногда бывает недалеко от колонок на рок-концертах.

Решим в ответвлении задачу.

И напоследок рассмотрим интересный эффект, который возникает, когда источник звука и приёмник звука (или другой механической волны) движутся друг относительно друга.

Звук сирены, установленной на отдаляющегося от нас автомобиля, кажется нам более низким, чем у стоящего автомобиля, а звук сирены приближающегося автомобиля — более высоким. Это явление назвали эффектом Доплера. Такой эффект изменения частоты (длины волны) наблюдается для всех видов волн. Давайте разберемся, как получается такое восприятие.

1. Движущийся наблюдатель

Имеется точечный источник звука с частотой, длиной волны, а скорость звука .

Неподвижный наблюдатель обнаружит прохождение фронтов звука за секунду. Пусть наблюдатель движется на велосипеде навстречу источнику звука со скоростью, а источник звука неподвижен,. За время t он проедет путь. И на этом пути он обнаружит дополнительные фронты звука в количестве. Если поделить это выражение на t, получится количество дополнительных фронтов звука, обнаруживаемых за секунду,. Следовательно, движущийся наблюдатель будет слышать звук повышенной частоты. Заменив, получим

Если наблюдатель удаляется от источника, частота слышимого им звука становится меньше:.

2. Движущийся источник

Волновые фронты, приходящие к наблюдателю A, сближены, потому что источник движется в направлении приходящей к A волны. Поэтому длина волны, измеряемая наблюдателем A, меньше длины волны покоящегося источника. За время, равное периоду T, источник проходит расстояние и длина волны уменьшается на эту величину, т. е. наблюдатель A измерит длину волны.

Поскольку, наблюдаемая A частота будет равна

Наблюдаемая частота увеличивается, когда источник движется к наблюдателю. Когда источник удаляется, частота уменьшается: