04. Небесная механика

Видимое движение планет

Мы рассмотрели движение Земли, Луны и Солнца — это то, что проще всего описать. Представьте, что вы ходите вокруг дерева с собакой. Вам легко не терять из виду дерево и одновременно следить за собакой. А если гуляет несколько человек, и некоторые тоже с собаками? Даже если они ходят вокруг одного дерева, кто-то кого-то обгоняет, кто-то отстаёт, кто-то скрылся за деревом, — тогда сориентироваться уже сложнее.

Аналогично движение других планет Солнечной системы описать сложнее, чем движение Луны и Солнца относительно Земли. Мы-то уже знаем, что в системе отсчёта, связанной с Солнцем, эти движения описать тоже просто: планеты движутся вокруг Солнца по траекториям, близким к круговым. Но понаблюдать за этим всем с Солнца мы не можем, так что стоит разобраться, как это всё выглядит с Земли.

Итак, движение Земли можно представить как сумму двух вращений: вокруг своей оси и по орбите вокруг Солнца. Видимое движение Солнца на небесной сфере определяется этими двумя реальными движениями Земли. Первое определяет суточное движение Солнца по небосклону вместе со звёздами (смену дня и ночи), второе — годовое перемещение Солнца относительно неподвижных звезд (смену сезонов).

Видимое движение Луны на небесной сфере также зависит от вращения Земли, но ещё и от обращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца. Кроме того, поскольку Луна светит отражённым солнечным светом, видимость Луны на небе (фазы) зависит от её положения относительно Земли и Солнца.

Наблюдаемые нами перемещения Солнца и Луны на небосводе достаточно просто понять и описать. Это сумма двух движений. Одно из них быстрое (с периодом 1 сутки) с востока на запад вместе с небесной сферой. Второе движение медленное относительно неподвижных звезд (с периодами 1 год для Солнца и 1 месяц для Луны) с запада на восток. Такое описание вполне можно получить, работая только в системе отсчёта, связанной с Землёй.

Видимое движение каждой из планет на небесной сфере также складывается из вращения вместе с небесной сферой и перемещения планеты относительно неподвижных звёзд, которое определяется вращением планеты вокруг Солнца. Но поскольку наблюдаем мы его с ещё одной движущейся планеты (Земли), видимое движение планеты сложнее движений Луны и Солнца. Оказывается, что на небесной сфере угловые скорости планет непостоянны, а иногда даже меняют знак, т. е. планета как бы движется вспять. В астрономии это попятное движение планет назвали ретроградным.

Ретроградное движение Марса на фоне зодиакальных созвездий обнаруживается на последовательности фотографий.

Последовательность изображений Марса в этой области небосвода получена с помощью телескопа в течение полугода с интервалом 1 неделя.

Учёт подобных аномалий в движении планет требовал усложнения геоцентрической модели мира (в которой считали, что Земля является центром окружностей, по которым движутся планеты). Предлагавшиеся модификации модели были очень экзотичными и умозрительными. Например, предлагалось считать, что Земля находится в центре нескольких прозрачных небесных сфер с разными радиусами, скоростями и осями вращения. Каждое небесное тело располагается на своей сфере. Но и в такой модели для объяснения ретроградного движения требовалось постулировать, что в определенный момент некоторая сфера останавливается и некоторое время вращается в обратном направлении. Модель не спасало даже такое «усовершенствование»: каждая планета движется на двух вложенных одна в другую сферах.

Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы

Во втором веке нашей эры римский астроном Клавдий Птолемей разработал модель Солнечной системы, которая объясняла видимые движения планет и обладала хорошей предсказательной способностью. В ней центром, вокруг которого движутся планеты, считалась Земля (то есть эта модель геоцентрическая), но это движение в модели Птолемея складывается ещё с одним движением.

Птолемей предположил, что каждая планета вращается по своей небольшой окружности, называемой эпициклом. А уже центры эпициклов, в свою очередь, вращаются вокруг Земли по большим окружностям, называемых деферентами.

В такой модели векторное сложение скоростей двух вращений даёт результат, в котором для видимого движения планеты есть ретроградные участки.

Подобрав для каждой планеты радиусы эпицикла и деферента и скорости вращений, Птолемей получил простую модель, которая довольно точно предсказывала положения планет. Но, как это бывает с любой идеализированной моделью, астрономы часто отмечали расхождения таких предсказаний с реальными наблюдениями. В основном эти расхождения вызывались тем, что все планеты в модели Птолемея двигались с постоянной скоростью по окружностям. Это простая для описания фигура, к тому же были в то время была в силе философская идея совершенства круга. Смоделировать эффекты эллиптичности орбит с помощью кругов не получается. Это настолько усложнило модель, что использовать её на практике было бы затруднительно. Как она стала выглядеть — об этом подробнее в ответвлении.

Моделирование орбит планет в геоцентрической системе.

Чтобы учесть эффекты эллиптичности орбит, в модель внесли изменения. Каждая планета вращается по эпициклу, центр эпицикла вращается вокруг Земли по большой окружности — деференту. Тогда решили, что центр деферента каждой планеты тоже движется по своей окружности вокруг точки, называемой эквантом. Все экванты смещены относительно Земли. Такая модель сложна для вычислений, однако многие наблюдаемые процессы она позволяла описать достаточно точно.

Несмотря на свою сложность, геоцентрическая модель Солнечной системы Птолемея служила людям до XVI века, когда ей на смену пришла гелиоцентрическая модель Солнечной системы Коперника. Модель Коперника сначала имела меньшую предсказательную силу, чем модель Птолемея, но она была значительно проще и понятнее. Во времена Коперника ученые уже разделяли мнение монаха-философа Уильяма из Оккама (это название его родной деревни): «Не нужно множить сущности без необходимости». Этот принцип научного подхода называется «бритва Оккама».

Николай Коперник предложил считать, что все планеты, в том числе Земля, вращаются вокруг Солнца, поэтому модель назвали гелиоцентрической (helios — по-гречески «солнце»).

Коперник не отказался от идеи совершенства круга, и орбиты всех планет в его модели — не эллипсы, а идеальные окружности. Это было естественное простое предположение, пока не были проведены расчёты. Поэтому превзойти в точности предсказаний Птолемееву модель Коперник сразу не смог.

Коперник был далеко не первым ученым, предложившим поместить Солнце в центр Солнечной системы. Еще в III веке до нашей эры это предлагал грек Аристарх с острова Самос. Но его предложение было отвергнуто. Аргументы критиков гелиоцентрической модели были очень серьёзны. Они утверждали, что если бы Земля вращалась вокруг Солнца, то менялось бы расположение звезд на небесной сфере: ведь в разных точках орбиты мы смотрим на звёзды с разных ракурсов. Это явление называется звёздным параллаксом. Возможны два случая: некоторые звёзды находятся на меньшем расстоянии от Земли, чем другие; или же все звёзды лежат на небесной сфере на одинаковом расстоянии от Земли.

В случае на рисунке 6 за полгода видимое положение звезды изменяется. Но звёзды считались неподвижными! В случае, представленном на рисунке 7, за полгода изменяются видимые угловые расстояния между звёздами. То есть меняются размеры и форма созвездий.

Конечно, небесная сфера — это только модель того, что мы видим. На самом деле звезды находятся на разных и очень больших расстояниях от Земли (в миллионы и миллиарды раз больше размеров орбиты Земли). Поэтому в реальном масштабе углы, приведенные на рисунках, очень малы (менее 1 угловой секунды), измерить их имевшимися астрономическими приборами было невозможно.

Поэтому логика критиков была верна: в гелиоцентрической модели должен наблюдаться звёздный параллакс, и он действительно наблюдается. Но во времена Коперника его просто не могли обнаружить. Поэтому с гелиоцентрической системой мира смогли согласиться на таком уровне: «мы не уверены, насколько она истинная, но если она позволяет удобно и просто описать небесные явления — будем использовать». Это в целом правильный подход к любой модели.

В модели Коперника очень просто объясняется ретроградное движение планет, например, движение Марса, о котором мы сегодня упоминали. Орбиты Земли и Марса лежат в близких плоскостях, поэтому с Земли движение Марса видно на фоне Зодиакального пояса созвездий. Земля движется ближе Солнцу и быстрее, она обгоняет Марс на круг каждые 780 дней. Пунктирные линии соединяют положения Земли и Марса на своих орбитах в одинаковые даты; вдоль этих линий мы и смотрим на Марс. Продолжение пунктирных линий до небесной сферы даёт траекторию видимого движения Марса.

Теория Коперника объясняет и многие другие факты, например, почему Меркурий и Венера всегда видны на небольших угловых расстояниях от Солнца. В модели Коперника орбиты этих планет меньше орбиты Земли, поэтому угол между направлением от Земли к планете и от Земли к Солнцу ограничен. Это проще понять с помощью рисунка. 

Вот как выглядят орбиты Меркурия, Венеры и Земли. Орбиты лежат в близких плоскостях. Меркурий ближе других планет к Солнцу (0,39 а.е.), Венера — планета, следующая по расстоянию от Солнца (0,72 а.е.). Земля, естественно, находится на расстоянии 1 а.е. от Солнца. Наблюдатель на Земле видит Меркурий на угловом расстоянии от Солнца не более 28°, а Венеру — не более 47°. Эти углы определяются средними расстояниями планет от Солнца. Из-за ограниченности этих углов земной наблюдатель видит, что эти две планеты восходят и заходят близко от Солнца, на утренней и вечерней заре (днём рядом с ярким Солнцем их не видно).

Кстати, по наблюдаемым значениям таких углов Коперник смог определить размеры орбит всех планет. Для внутренних планет (Меркурия и Венеры), которые ближе к Солнцу, чем Земля, это делалось так.

Когда угол между направлениями на планету и на Солнце максимален, прямая Земля-планета касается орбиты планеты. Касательная всегда перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания. Зная угол α, нетрудно вычислить катет прямоугольного треугольника в астрономических единицах (а это и есть радиус орбиты планеты).

Вернёмся к рисунку, где отмечены значения α для Меркурия и Венеры. Вычислите по ним радиусы орбит для этих планет и сравните их со справочными данными.

Радиусы внешних планет вычислить немного сложнее.

Можно построить такой же треугольник, только теперь Земля будет внутренней по отношению к той планете, которую мы рассматриваем, и с Земли Солнце и исследуемая планета видны на угловом расстоянии 90° (рис. 11). Нам же нужен один из острых углов треугольника. Разберёмся, как его можно найти.

Сначала нужно дождаться момента, когда внешняя планета окажется на небесной сфере в точке, противоположной Солнцу, например, когда она восходит в момент захода Солнца. В это время угол между направлениями на планету и Солнце равен 180°. Затем нужно найти время t, за которое этот угол станет равен 90°. Зная периоды обращения планеты и Земли вокруг Солнца и, мы сможем найти, какую часть своей орбиты они проходят за время t, т.е. и. Умножив эти дроби на 360° (полный оборот), получим углы, на которые повернулись вокруг Солнца Земля и планета. Угол β равен их разнице.

Далее поступаем так же, как и для внутренних планет, но ищем гипотенузу прямоугольного треугольника.

Задача 1.

Задача. В 2012 году 3 марта Марс находился в противоположном Солнцу направлении, а 8 июня — в направлении 90° от Солнца. Зная периоды обращения Земли (365 дней) и Марса (687 дней), найти радиус орбиты Марса в а.е.

Анализ условия.

В задаче описано движение Марса и Земли вокруг Солнца. Поскольку речь идёт о радиусах орбит, подразумевается, что орбиты представляют собой окружности. Как в этой модели найти радиус орбиты Марса — мы только что рассмотрели в уроке. Решим задачу в рассмотренной модели.

Начертим рисунок: Марс находится от Земли в противоположном Солнцу направлении. Этот момент был 3 марта 2012 года.

Рассмотрим момент 8 июня: с 3 марта до 17 июня прошло 106 суток.

Период обращения Земли 365 дней, значит, за это время Земля прошла часть оборота, равную 106/365, а если принять полный оборот 360°, то Земля относительно Солнца повернулась на

Период обращения Марса 687 дней, значит, за это время он прошёл часть оборота, равную 106/687, и в градусах это будет. То есть Земля «опередила» Марс на. Начертим это на рисунке. По условию сказано, что Марс виден в 90 градусах от направления Солнца, то есть треугольник Марс-Солнце-Земля — прямоугольный.

Из треугольника легко связать радиус орбиты Марса с радиусом орбиты Земли:

А так как за астрономическую единицу был принят как раз средний радиус орбиты Земли, то мы получили радиус орбиты Марса в астрономических единицах: 1,52 а.е.

На самом деле минимальное расстояние от Марса до Солнца равно 1,38 а.е., а максимальное — 1,67 а.е., т. е. орбита Марса явно не явно круг, и поэтому модель Коперника была недостаточно точной. Но всё-таки приняли её, потому что основная её идея, что планеты движутся вокруг Солнца, подтвердилась практическими наблюдениями. Их провёл Галилео Галилей, который наблюдал в сделанный своими руками телескоп фазы Венеры, подобные фазам Луны. Наблюдение фаз Венеры в телескоп явно доказывало, что Венера вращается вокруг Солнца, а не вокруг Земли. Рисунок «А» соответствует гелиоцентрической модели Солнечной системы, а рисунок «В» — геоцентрической.

Кстати, используя свой телескоп, Галилей открыл существование спутников у планет (в частности, у Юпитера), наблюдал рождение новой звезды, описал рельеф Луны и т. п.

Почему фазы Венеры являются доказательством.

Когда мы видим какой-либо объект благодаря тому, что он освещается Солнцем, мы можем наблюдать его фазы. Это зависит от того, какой стороной он в данный момент повёрнут к Солнцу, и какой — к нам, наблюдателям.

Вспомним, как мы подробно разобрали движение Луны. Она вращается вокруг Земли, и выпуклую фазу (фазу, в которой освещено больше половины видимой стороны) мы видим, когда угловое расстояние от Луны до Солнца больше 900.

А от Венеры до Солнца максимальное угловое расстояние составляет 470, тем не менее, выпуклую фазу Венеры мы наблюдаем. Это происходит, когда Венера находится за Солнцем (рисунок). Такое поведение Венеры может быть объяснено в гелиоцентрической модели; на рисунке вы видите, как Венера освещается Солнцем и как мы её видим с Земли.

Законы небесной механики

В XVI веке датский астроном Тихо Браге, используя самые точные для того времени инструменты, сделал множество интересных наблюдений. Например, он определил расстояние до кометы, наблюдал рождение новой звезды, создал уникальный атлас звездного неба. Но главное его достижение — это регулярные записи точных координат планет за несколько десятков лет.

Сам Браге не разделял взглядов Коперника и продолжал считать Землю центром Вселенной, но после смерти Браге на основе материалов многолетних наблюдений астронома его помощник Иоганн Кеплер сделал очень важное открытие. Кеплер доказал, что планеты движутся не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Кроме того, он связал период обращения планеты с размерами её орбиты.

Это открытие теперь формулируется как три закона Кеплера:

1. Орбита планеты — это эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

и — фокусы эллипса; — большая полуось, — малая полуось.

Большая полуось a равна среднему расстоянию планеты от Солнца. Эксцентриситет, для эллипса

2. Скорость движения планеты меняется таким образом, что за равные интервалы времени, линия, соединяющая Солнце и планету, как бы «заметает» равные площади.

Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу. Кратчайшее расстояние до Солнца в перигелии, наибольшее в афелии

3. Квадраты периодов (P) обращения планет относятся как кубы больших полуосей (a), т. е.

Отсюда следует, что 

Постоянная С одинакова для всех тел планетной системы, её значение зависит от принятых единиц измерения времени и расстояния. Если время мерить в земных годах, а расстояние в астрономических единицах, т. е. в средних расстояниях от Земли до Солнца, то для любой планеты Солнечной системы период обращения планеты P и большая полуось a его орбиты связаны соотношением 

Задача 2.

Задача. Большая полуось орбиты движения Марса вокруг Солнца  равна 1,524 а.е. Найдите период обращения Марсавокруг Солнца.

Анализ условия.

В задаче описано движение двух планет (Земли и Марса) вокруг Солнца. Периоды обращения вокруг Солнца и большие полуоси их орбит связывает третий закон Кеплера. Просто применим этот закон и вычислим период обращения Марса, то есть длительность года на этой планете:

Большая полуось орбиты Земли приблизительно равна одной астрономической единице. А периоды вращения давайте для удобства выразим в земных годах. Тогда:

Подставим значения и вычислим:

Длительность года на Марсе равна приблизительно 1,88 земного года.

Третий закон Кеплера формулируется относительно, он позволяет сравнивать периоды и большие полуоси для разных планет. Установленные Ньютоном три закона механики и закон всемирного тяготения позволили сформулировать третий закон Кеплера абсолютно (в обычных физических величинах), то есть связать физические величины между собой (а не только найти их отношения для разных планет). Стало понятно, что законы Кеплера относятся не только к планетам Солнечной системы. Они выполнимы для любых объектов, движущихся в поле тяготения массивного тела, т. е. для спутников планет (в том числе искусственных), экзопланет (спутников звезд), звезд в галактиках и т. п.

Более того, в механике Ньютона второй закон Кеплера — это следствие закона сохранения момента импульса, а первый закон Кеплера обобщается: в гравитационном поле тело может двигаться по кривым конических сечений (эллипс, парабола, гипербола). В гравитационном поле сохраняется полная энергия тела.

Законы механики и разработанный Ньютоном раздел математики (дифференциальное исчисление) позволяют очень точно рассчитывать и предсказывать движение любых тел в гравитационном поле. Например, существование Нептуна в середине XIX века было открыто «на кончике пера», то есть с помощью расчётов.

Открытие Нептуна.

Движение 7-й планеты Солнечной системы, Урана, несколько отклонялось от орбиты, предсказываемой небесной механикой. Было сделано предположение, что отклонения вызывало притяжение неизвестного массивного небесного тела, которое двигалось за орбитой Урана. Точные расчеты показали, когда и в какой части небосвода следует искать это тело. Наведенные туда телескопы обнаружили восьмую планету, названную Нептуном.

Еще более высокая точность нужна для расчёта орбит искусственных спутников и межпланетных станций, в том числе для управления ими. Автоматические станции садились на Марс, Венеру, на комету и т. п., а орбитальные космические полеты стали рутиной. Рисунок 15 иллюстрирует, сколько спутников выведено на околоземные орбиты с начала космической эры, т. е. с запуска первого в истории человечества советского искусственного спутника Земли (4 октября 1957 года).

Механика и математика Ньютона используются не только для расчёта пассивного движения тел в поле тяготения, но и полета ракет. Кстати, реактивная тяга ракет объясняется третьим законом Ньютона: «действие равно противодействию». Изучение астрономии поспособствовало выводу Ньютоном закона всемирного тяготения.

Ньютон нашел, что центростремительное ускорение, с которым Луна обращается вокруг Земли, меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли (9,8 м/с2) в 3630 раз. Это число близко к квадрату расстояния от центра Земли до центра Луны, выраженному в радиусах Земли: 60,32 = 3636. Отсюда Ньютон заключил, что сила, удерживающая Луну на орбите вокруг Земли, имеет ту же природу, что и сила тяжести и что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Определение расстояний и размеров в Солнечной системе

Обсудим сегодня ещё один вопрос: как впервые были определены расстояния и размеры в Солнечной системе.

Понятно, что сейчас указанные расстояния и размеры определяются не теми методами, что в античности, и измерены намного точнее. Оценки, полученные античными учеными, приведены здесь для того, чтобы показать силу человеческого разума. Научный (математический) подход и разумные рассуждения позволяют даже без сложных и точных измерений получать важные знания о Вселенной.

В III веке до нашей эры Аристарх Самосский, используя геометрические методы, оценил относительные размеры Земли, Луны и Солнца и расстояния от Земли до Луны и Солнца.

Он заметил, что если мы видим Луну, освещённую точно наполовину (в первой или третьей четверти), то направления от наблюдателя на Луну и от Солнца на Луну образуют угол 90°.

Аристарх с доступной ему точностью измерил угол α (рис. 16), он оказался немного меньше 90°.

Зная α, он определил, что отношение гипотенузы к меньшему катету равно 20. То есть от Земли до Солнца в 20 раз дальше, чем до Луны.

Аристарх ошибся в 20 раз. На самом деле, это отношение не 20, а 400. Но, тем не менее, в течение 2000 лет это была единственная разумная оценка.

Из наблюдения полных солнечных затмений было известно, что угловые размеры Луны и Солнца приблизительно одинаковы и равны 0,50. Откуда Аристарх заключил, что диаметр Солнца в 20 больше диаметра Луны. Затем Аристарх оценил относительные размеры Луны и Земли. Наблюдая прохождение Луны по тени Земли, он оценил, что диаметр Луны составляет 0,35 диаметра Земли. Это довольно близко к известному сейчас значению 0,27.

Итак, Аристарх считал, что Луна в 3 раза меньше Земли, а Земля в 20 раз меньше Солнца. Это значительно отличается от точных современных измерений, но качественно он не ошибался. Солнце действительно самый большой объект в Солнечной системе. Поэтому Аристарх был первым, кто предположил, что, возможно, Земля обращается вокруг Солнца.

Реальный, а не относительный размер Земли, как вы знаете, очень точно определил Эратосфен приблизительно в то же время, когда работал Аристарх.

Эратосфен знал, что Солнце далеко от Земли и значительно больше, и поэтому можно считать солнечные лучи параллельными. Ему было известно также, что в полдень дня летнего солнцестояния обелиск в его родном городе Александрия отбрасывает тень, то есть Солнце не находится в зените. А в городе Сиена в это время Солнце как раз бывает зените (оно освещает дно глубокого колодца).

В Александрии Эратосфен измерил угол между направлением на Солнце и вертикалью (обелиском).

Этот угол оказался приблизительно 7°, т.е. 1/50 полной окружности. Следовательно, расстояние от Александрии до Сиены составляет 1/50 окружности Земли.

Солдаты знали, что переход из Александрии в Сиену был длиной 5000 стадий, поэтому Эратосфен оценил окружность Земли в 50×5000 = 250 000 стадий. Это очень близко к 40 000 км.  После этого из относительных величин, определенных Аристархом, можно было оценить размеры и расстояния в системе Солнце, Земля, Луна.

Как видите, модели физики, математики, в частности геометрии, применимы к разным объектам природы, в том числе к небесным телам. В этом их сила.

Список литературы

1. Чаругин В. М. Астрономия для 10–11 классов: учеб. для общеобразоват. организаций. — М.: Просвещение, 2018. — 144 с.

2. Астрономия: учебник для 11-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения (базовый и повышенный уровни) / И. В. Галузо, В. А. Голубев, А. А. Шимбалев. — Минск: Народная асвета, 2021. — 207 с.

3. Левитан Е. П. Астрономия: учебник для 11 класса общеобразоват. учрежд. — М.: Просвещение, 2005. — 224 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «youtube.com».

2. Интернет-портал «Астрономия».

Домашнее задание:

1. Какое движение планет в астрономии называют ретроградным?

2. Благодаря каким открытиям произошел отказ от геоцентрической системы?

3. Средний период обращения Юпитера вокруг Солнца 11,86 г, а Венеры — 0,62 г. Найдите большую полуось орбиты движения Юпитера вокруг Солнца, если большая полуось Венеры 0,723 а.е.

4. Какой греческий ученый впервые определил реальные размеры Земли?

Список использованных источников:

Рис. 1–16. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.

Рис. 17. Иллюстратор Андреева А. С.