09. Оптика. Геометрическая оптика. Профильный уровень

Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света в однородной среде

Когда мы смотрим на ложку в стакане воды, то видим её «излом».

Чтобы объяснить причину этого излома, нам достаточно простой модели: в однородной среде свет распространяется по прямой (здесь нам наконец-то пригодилась идеальная геометрическая прямая и её свойства), а на границе сред отражается и/или преломляется.

Раздел физики, работающий с такой моделью, назвали геометрической оптикой (так как большинство задач, которые он помогает решить, сводятся к геометрическим).

Такой подход позволяет рассчитать и сконструировать множество оптических приборов — от очков и контактных линз до фотоаппаратов, проекторов и микроскопов, а также объяснить такие заболевания, как близорукость и дальнозоркость.

Но любая модель имеет границы применимости, так как модель — это упрощение, мы всегда чем-то пренебрегаем. Мы можем обнаружить, например, что с помощью микроскопа получается изображение с радужным «ореолом» (см. рис. 4), или что пучок света после прохождения призмы становится широким и разноцветным (см. рис. 5), — то есть мы сталкиваемся с явлениями, которые наша модель описать не может. Именно поэтому мы ищем новые модели для описания этих явлений.

Двести-триста лет назад свет считали потоком частиц.

Тогда торжествовали механистические представления о мире, и такой подход был понятен. Позже учёные описали электромагнитные волны и подтвердили, что свет — это электромагнитная волна.

В XX веке разработали квантовую теорию, о ней нам ещё предстоит поговорить подробнее. Обсудим развитие представлений о природе света в ответвлении.

Итак, мы смогли описать свет с помощью разных моделей: можно описывать свет как электромагнитную волну (а электромагнитные волны мы подробно рассмотрели), можно чертить линии, не вдаваясь в природу света, и т. д.

Если мы применили модель геометрической оптики, это не значит, что свет стал каким-то особым, «геометрическим» и потерял свойства электромагнитной волны. Это всё тот же свет, и модели не должны друг другу противоречить. Наоборот, мы можем найти между ними связь и, например, объяснить законы геометрической оптики с помощью волновой модели.

Этим сегодня и займёмся: разберём законы геометрической оптики (кое-что достаточно будет вспомнить из младших классов), попутно объяснив их с помощью модели света как электромагнитной волны.

Достигший границы свет может отразиться от неё, пересечь границу и пройти в другую среду или разделиться: частично отразиться и частично пересечь границу.

Если нам важно только направление распространения света, то любой световой пучок, толщина которого неважна, можно считать множеством световых лучей. Световой луч можно изображать лучом геометрическим, ведь нам неважна его толщина, только направление распространения.

Другое определение светового луча можно получить из понятия волнового фронта, которое мы применяем к волнам. Волновой фронт — это пограничная волновая поверхность, отделяющая возмущённую среду от невозмущённой. Наглядно волновой фронт можно увидеть на примере механической волны (см. рис. 1), но это понятие применимо и к электромагнитной волне. Так вот, световые лучи — это лучи, перпендикулярные волновому фронту.

Указывая направление распространения света, световой луч тем самым указывает направление переноса электромагнитной энергии волны.

Интуитивно может показаться, что свет проходит любое расстояние мгновенно, то есть распространяется с бесконечной скоростью. Это сейчас мы уже знаем, что видим Солнце таким, каким оно было около 8 минут назад — именно столько идёт солнечный свет до Земли.

Скорость света была впервые измерена в XVII веке. Она оказалась конечной, но столь большой, что многовековое заблуждение неудивительно.

Первым измерил скорость света датский астроном Олаф Кристенсен Рёмер в 1676 году.

Как он это сделал, вы можете узнать в ответвлении. Полученное им значение 230 000 км/с всего на 20 % отличается от принятого сейчас значения 299 792 458 м/с.

Законы отражения и преломления света

Мы ежедневно наблюдаем вокруг, как свет отражается (в зеркале, например) и преломляется (ложка в стакане воды).

И даже рассматривали законы отражения и преломления света (Геометрическая оптика). Они были сформулированы без доказательства, но ничто не мешает их вспомнить и сразу применить для решения задач. К решению задач мы приступим чуть позже, а сначала, как договорились, объясним эти законы, рассматривая свет как волну.

Для этого нам понадобится геометрический метод, сформулированный Гюйгенсом. Ему ещё не была известна электромагнитная природа света, но он предполагал, что свет — это какая-то форма волнового движения, и его упрощённая волновая модель адекватно описывала основные аспекты распространения света.

Принцип Гюйгенса — это инструмент геометрического построения волнового фронта в некоторый момент времени исходя из знания положения волнового фронта в предшествующий момент.

Согласно принципу Гюйгенса, все точки заданного волнового фронта считаются источниками вторичных сферических волн, которые распространяются от источников со скоростью, характерной для данного типа волн и данной среды. Через некоторое время волновой фронт занимает положение касательной поверхности вторичных волн. Принцип Гюйгенса можно применять к любому волновому движению, а не только к свету. Мы применяли его на предыдущих уроках, когда описывали дифракцию механических волн.

На рис. 17 AA' — начальный фронт плоской волны.

Изображены вторичные волны от трёх источников (их можно нарисовать сколько угодно, мы ограничимся тремя). Центры окружностей (вторичных волн) расположены в этих источниках.

Через время волны распространяются от источников на расстояние (c) — скорость света, — время движения фронта), это будут радиусы окружностей волновых фронтов вторичных волн.

Проведём касательную поверхность к вторичным волнам BB'. Мы рассмотрели три источника вторичных волн, но если рассмотреть их больше, касательная приблизится к плоскости — получили новый волновой фронт через время.

На рис. 18 вы видите то же для сферической волны, мы видим, куда распространяется волна за время.

Итак, с принципом Гюйгенса разобрались, приступим к объяснению законов отражения и преломления.

Начнём с закона отражения света.

Рассмотрим три луча из пучка света, падающего на отражающую поверхность. Линия AA' — это изображение волнового фронта падающего света. Пока луч 3 движется от точки A' до точки C, луч 1 в точке A даёт начало вторичной сферической волне радиусом AD. По принципу Гюйгенса такая же вторичная волна распространяется и из точки A'.

Поскольку две вторичные волны, имеющие радиусы A'C и AD, распространяются в одной и той же среде, их скорости одинаковы и равны . Следовательно, .

Из принципа Гюйгенса следует, что волновой фронт отражённой волны — это CD касательная плоскость ко всем отражённым вторичным волнам.

Дальнейшее рассуждение будет чисто геометрическим.

Обратите внимание, что прямоугольные треугольники ADC и AA'C имеют равные катеты AD и A'C и общую гипотенузу AC.

Углы падения и отражения принято измерять от нормали к поверхности в точке падения луча. Они равны указанным на чертеже углам  и  (равенство углов с взаимно перпендикулярными сторонами).

Имеем sin = и sin  = . Так как правые части равны, то sin = sin  и, следовательно, = . Это и есть закон отражения света.

Луч падающий, луч отражённый и нормаль к отражающей поверхности лежат в одной плоскости, причём угол падения равен углу отражения.

Что лучи лежат в одной плоскости — это тоже можно показать, используя принцип Гюйгенса, но это громоздкая задача в трёхмерном пространстве, поэтому пропустим этот шаг.

Мы рассмотрели лучи 1 и 3. Можно применить это к любой паре лучей из данного пучка, например задействовать луч 2 или любой другой, — для всего пучка полученный закон будет справедлив.

Применим данную модель к закону преломления света.

Изобразим на рисунке два луча 1 и 2, которые принадлежат пучку света, падающему из прозрачной среды 1 на поверхность прозрачной среды 2 под углом  к нормали. Скорость распространения света в средах отличается, она равна и. Линия AA' — это изображение волнового фронта падающего света.

За время луч 1 пройдёт от точки A до точки B, а луч 2 — от точки A' до C.

Радиус вторичной волны с источником в точке A равен

Расстояние A'C равно .

Угол а угол (углы с перпендикулярными сторонами). Из прямоугольных треугольников и находим:

Поделив эти равенства, получим:

Вспомните: ещё не рассматривая волновые свойства света, мы вводили показатель преломления среды n, который определяется через скорость света в среде. Скорость света в среде меньше скорости света в вакууме в n раз,. Подставим скорости света и в наше отношение:

Или

Это и есть закон преломления света.

1. Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости (снова пропустим доказательство).

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина, постоянная для этих двух сред, равная относительному показателю преломления второй среды относительно первой(только что это получили).

Показатель преломления среды относительно вакуума называется абсолютным показателем преломления этой среды, он показывает, во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в среде:.

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления принято называть оптически менее плотной. Абсолютный показатель преломления для воздуха  мало отличается от 1, то есть от показателя преломления для вакуума:. Именно поэтому при решении задач его обычно принимают равным 1.

Скорость света в среде (и показатель преломления) зависит от её физических свойств: температуры, плотности и т. п., а также от длины волны падающего света. Для красного света показатель преломления меньше, чем для жёлтого, и т. д.; самый большой — для фиолетового света.

Можно считать, что в пучке свет одной длины волны (такой свет называют
монохромным — дословно «одноцветным»), или можно совсем не обращать внимания на длину волны. Тогда стоит взять какое-то одно значение коэффициента преломления. В приведены данные для жёлтого света.

Дисперсия. Полное внутреннее отражение

Давайте применим закон преломления света и начертим ход лучей в треугольной призме.

Луч сначала преломляется на одной границе раздела сред (грань AB), а затем на второй (грань BC). Задача сводится к применению закона преломления в первый раз и во второй.

Давайте обозначим угол между указанными гранями  и назовём его преломляющим углом призмы. А угол, на который в итоге отклоняется луч, то есть угол между лучами 1 и 2, обозначим , его и будем искать. Решим задачу в ответвлении.

Получаем результат, что угол  отклонения луча зависит от преломляющего угла γ призмы, показателя преломления  материала призмы и угла падения .

Зафиксируем угол   для данной призмы и зададим угол . Вспомните, что мы говорили о коэффициенте преломления: даже в случае с одним и тем же веществом он немного отличается для света разных длин волн (или частот).

Изменение n в видимой части спектра у трёх материалов, которые часто используются в оптике, представлено на следующих графиках:

Коэффициент преломления обычно уменьшается при увеличении длины волны.

Это означает, что фиолетовый свет (λ 400 нм) преломляется сильнее, чем красный (λ650 нм), когда переходит из воздуха в более плотную среду.

Получается, что если в задаче о призме падающий свет будет содержать в себе свет разных цветов, то есть разных длин волн, то в уравнение для угла отклонения нужно будет подставить разные показатели преломления. Получим, что угол отклонения тем больше, чем меньше длина волны (чем больше частота).

Это явление преломления света разных длин волн под разными углами назвали дисперсией. В более широком понимании дисперсия — это зависимость некоторого параметра (в данном случае — показателя преломления) от длины волны (или частоты) излучения.

Представим, что на призму падает солнечный (белый) свет, являющийся комбинацией всех видимых длин волн. Ввиду дисперсии (различия коэффициентов преломления n) лучи света разных длин волн отклонятся на разные углы.

На выходе из призмы лучи разной частоты разделятся по цветам, образуя то, что мы называем спектром видимого света.

В полученном спектре сверху вниз цвета располагаются в порядке уменьшения длин волн (красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый).

Собственно, этот опыт и демонстрирует, что белый свет содержит в себе свет всех видимых длин волн. Именно поэтому мы и видим окружающий мир разноцветным, когда он освещён белым светом.

Предметы из всех длин волн белого света отражают лишь некоторые, этот свет и воспринимают наши глаза. Разные предметы, разные поверхности отражают свои длины волн, поэтому мы их воспринимаем в разных цветах.

Интересное оптическое явление может происходить, когда из среды с большим показателем преломления свет падает на границу со средой с меньшим показателем преломления.

На рисунке направления преломлённых и отражённых лучей обозначены цифрами.

Падение света из среды с большим показателем преломления на границу со средой с меньшим показателем преломления. Луч 5 иллюстрирует явление полного внутреннего отражения

Преломлённые лучи (2, 3) образуют с нормалью больший угол, чем падающие, так как. При определённом угле падения, называемом критическим, преломлённый луч (4) направлен параллельно границе раздела сред, то есть его угол преломления равен 90°. Он уже практически не попадает в среду 1.

При углах падения больше луч (5) полностью отражается (преломлённого луча нет). Это явление назвали полным внутренним отражением.

Таким образом, все лучи с углами падения больше критического полностью отражаются от поверхности раздела, как если бы она была идеально отражающей. Для этих лучей, естественно, угол падения равен углу отражения.

Критический угол можно найти из закона преломления, приняв угол преломления равным 90°: .

Если среда 2 — воздух, среда 1 — алмаз (n = 2,42), то .

Для стекла (кронгласа) n = 1,52 и .

Малый критический угол и особая огранка определяют особый блеск бриллиантов.

Можно использовать это явление в оптике, применяя границу раздела двух сред в качестве идеального зеркала, чтобы направить луч туда, куда нам нужно. Например, если для стекла критический угол равен 41°, то луч под углом 45° полностью отразится. На рисунках вы видите несколько примеров, как это использовать.

Паника под водой

Явление полного внутреннего отражения может стать причиной паники во время ныряния.

Зная показатель преломления воды, можно вычислить критический угол. Попробуйте проделать это самостоятельно, вы получите результат около 49°.

Это значит, что, находясь под водой и смотря вертикально вверх, мы будем видеть то, что находится над водой (рис. 57). При взгляде немного в сторону, под углами до 49° к вертикали, мы всё ещё будем видеть мир над поверхностью — можем проследить ход лучей. Нам удобно проводить лучи от ныряльщика к предметам над поверхностью, но, конечно, чтобы ныряльщик их видел, свет должен распространяться в обратном направлении, мы применили обратимость хода лучей.

Так вот, при взгляде под углами, превышающими критический угол 49°, поверхность воды будет выглядеть для ныряльщика зеркальной. А это бóльшая часть поверхности воды, не считая пятна над головой с угловым размером:  Может возникнуть неприятное ощущение закрытого пространства, хотя на самом деле поверхность воды открыта, а в 98° вмещается полный обзор во всех направлениях над поверхностью воды.

Явление полного внутреннего отражения используют в волоконной оптике, где свет проходит по гибким прозрачным стеклянным или пластиковым нитям.

Благодаря полному внутреннему отражению свет следует изгибам волокна.

Пучок таких тонких прозрачных волокон может использоваться как оптическая линия для передачи информации.

В оптических волокнах очень малы потери световой энергии, при полном внутреннем отражении потерь нет (весь свет остаётся в волокне), потери могут быть только при отражении на концах волокна или из-за поглощения света материалом волокна.

Кабели из стекловолокна используются в медицине, например при исследовании пищеварительного тракта. Обычно кабель состоит из двух пучков волокон: один ― для освещения места исследования, другой ― для передачи изображения.

Рис. 59. Стекловолокно для исследования пищеварительного тракта

Но наиболее широкое применение волоконная оптика нашла в современных телекоммуникациях.

Миллиарды километров оптических линий передают радио- и телевизионные сигналы, обеспечивают колоссальный телефонный и интернет-трафик. Успех волоконной оптики в телекоммуникационной индустрии определяется тем, что она может передавать значительно больше информации, чем металлические провода.

На уроке об электромагнитных волнах и радиосвязи (Электромагнитные волны) мы обсуждали, что высокая частота излучения позволяет обеспечить широкую полосу пропускания, поэтому у оптических линий полоса пропускания гораздо шире, чем при связи на радиочастотах. Оптические волокна предпочтительнее медных проводов ещё и потому, что они являются диэлектриками и в них не могут возникать помехи («шумы») из-за влияния внешних магнитных и электрических полей.

Конструкция оптоволокна

Оптоволокно — это не просто прозрачная нить.

Оптоволокно покрыто защитной оболочкой ― просто чтобы туда не попадал посторонний свет. Так как в основе работы оптоволокна лежит полное внутреннее отражение на границе двух сред, между оболочкой и сердцевиной, по которой проходит сигнал, добавляют покрытие. Сердцевину оптоволокна делают из материала с бóльшим коэффициентом преломления, чем у покрытия. Оптоволокно эффективно проводит только тот свет, лучи которого падают на торец и находятся в приёмном конусе.

Если угол

 больше угла приёмного конуса, то свет будет не только отражаться от границы между сердцевиной и покрытием, но и преломляться (уходить в покрытие).

Линзы

Преломление света ― это замечательный инструмент для того, чтобы управлять лучами так, как нам нужно. Это можно использовать для того, чтобы сконструировать оптические приборы.

Понятно, что от одного луча, который меняет направление, пользы мало. Нам нужно менять ход множества лучей, исходящих от предмета, чтобы получить его изображение (такое, какое нам нужно).

Эту задачу помогает осуществить простейший оптический прибор ― линза.

Линзой называют прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями.

Рис. 64. Сферические поверхности, образующие линзу

Если линза толще посередине, чем по краям, она называется выпуклой и бывает таких типов:

Линзы, которые посередине тоньше, чем у краёв, называются вогнутыми. Они бывают таких типов:

Мы уже подробно обсуждали линзы и учились строить изображения, которые можно получить с их помощью. Вы можете освежить это в памяти, посмотрев урок по ссылке.

Вспомним кратко: мы описывали линзы с помощью модели тонкой линзы.

Рис. 71. Модель тонкой линзы (толщина линзы AB много меньше радиусов R1 и R2и расстояния от линзы до предмета)

Линзу можно считать тонкой, если её толщина l = AB много меньше по сравнению с радиусами R1и R2 её сферических поверхностей и по сравнению с расстоянием от линзы до рассматриваемого предмета. Такая модель позволяет применять ряд упрощений, с ней и будем работать.

Точки A и B, вершины сферических сегментов, расположены так близко друг к другу, что их можно считать совпадающими с точкой O, которую называют оптическим центром линзы. Луч, проходящий через оптический центр, не меняет своего направления (он немного смещается, но именно этим можно пренебречь, считая линзу тонкой).

Линию , проходящую через центры сферических поверхностей, называют главной оптической осью.

Любую другую прямую, проходящую через оптический центр O, называют побочной оптической осью.

Если линза является тонкой, то можно не учитывать её точный тип: вогнуто-выпуклая, плоско-выпуклая и т. п. Важно лишь знать, выпуклая она или вогнутая.

Световые лучи, исходящие из какой-нибудь точки предмета (источника), после преломления в линзе снова направлены так, что они проходят через одну точку (изображение), независимо от того, через какую часть линзы прошли лучи. Если после выхода из линзы лучи сходятся, они образуют действительное изображение.

Рис. 72. Получение действительного изображения

Если такие лучи расходятся, то пересекаются в одной точке не сами лучи, а их продолжения. Изображение при этом называется мнимым.

Рис. 73. Получение мнимого изображения

Мы выделяли два типа линз: собирающие и рассеивающие.

Выпуклые линзы являются собирающими.

Рис. 74. Ход лучей в собирающей линзе

Любую из них можно представить себе состоящей из призм (а это то, что мы умеем описывать, — ход лучей в треугольной призме мы рассмотрели).

Каждая из таких призм отклоняет падающие лучи к основанию, поэтому все лучи, проходящие через линзу, отклоняются в сторону её главной оптической оси.

Лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси, пересекаются в точке F на главной оптической оси, точку F называют главным фокусом линзы. Таких фокусов два, с обеих сторон линзы.

Рис. 75. Ход пучка параллельных лучей, направленных параллельно главной оптической оси линзы

В однородной среде главные фокусы располагаются на равных расстояниях от линзы. Это расстояние называют фокусным расстоянием линзы и обозначают буквой F.

Если пучок параллельных лучей направлен под углом к главной оптической оси линзы, то пересечение преломлённых лучей произойдёт не в главном фокусе, а в другой точке.

Рис. 76. Ход пучка параллельных лучей, направленных под углом к главной оптической оси линзы

Эта точка лежит в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус. Эта плоскость называется фокальной плоскостью.

И в обратном направлении, поместив точечный источник света в фокусе линзы или в любой другой точке фокальной плоскости, после преломления получим пучок параллельных лучей.

Рис. 77. Лучи, исходящие из фокуса линзы или из любой другой точки фокальной плоскости, после преломления становятся параллельными

Если сместить источник дальше от фокуса, лучи за линзой становятся сходящимися и дают действительное изображение.

Рис.

Рис. 78. Лучи от источника, находящегося за фокусом, дают действительное изображение

Когда источник находится ближе фокуса, преломлённые лучи расходятся и изображение получается мнимым.

Рис.

Рис. 79. Лучи от источника, находящегося ближе фокуса, дают мнимое изображение

Вогнутые линзы, находящиеся в менее плотной среде по сравнению с материалом линзы, являются рассеивающими.

Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, линза делает расходящимся. Продолжения преломлённых лучей пересекаются в главном фокусе рассеивающей линзы.

Рис. 80. Ход пучка параллельных лучей в рассеивающей линзе

48.gif

В этом случае главный фокус является мнимым и расположен на расстоянии F от линзы. Другой мнимый фокус находится по другую сторону линзы на таком же расстоянии (если среда по обе части линзы одна и та же).

Рис. 81. Два фокуса рассеивающей линзы

Фокусное расстояние рассеивающей линзы считается отрицательным.

Величину, обратную фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы и обозначают буквой D.

D =.

Если линза собирающая ― D > 0, если рассеивающая ― D < 0. Оптическую силу линз выражают в диоптриях (дптр). Оптической силой в 1 дптр обладает линза с фокусным расстоянием 1 м.

Давайте вспомним, как мы строим изображения, полученные с помощью тонкой линзы.

Свойства тонкой линзы определяются расположением её фокусов, следовательно, зная её фокусное расстояние и расстояние до источника света, можно найти расстояние до изображения, не рассматривая ход лучей внутри линзы. Именно поэтому не обязательно на чертежах изображать сферические поверхности линзы, достаточно указать её место и тип (собирающая или рассеивающая); обозначения вы видите на рис. 82.

Если в данной точке находится изображение предмета, значит, в ней сходятся все лучи, исходящие от предмета. Нам не нужно отслеживать ход всех лучей, нам достаточно отследить ход нескольких лучей — тех, которые отследить проще всего.

Обычно построение изображения в линзе начинают с указания на главной оптической оси двух точек F (главных фокусов) с обеих сторон линз, расстояние от линзы до каждого фокуса равно f.

В целях единообразия предмет, для которого строится изображение, помещают на рисунке слева от линзы. При построении изображения предмета особенно полезны три вида лучей (иногда их называют «удобными»), которые идут от некоторой точки предмета (часто от его вершины). На рисунке (см. рис. 84) обозначим их цифрами 1, 2, 3.

Рис. 84. Ход различных типов лучей в собирающей и рассеивающей линзах

Мы рассмотрели только ход лучей, идущих от предметов, находящихся на расстоянии от линзы больше фокусного f, но меньше двойного фокусного 2f.

В конкретных задачах на построение изображений предмет может располагаться на других расстояниях от линзы. Но во всех случаях для построения изображения используются именно такие лучи.

Чтобы получить изображение любой точки предмета, достаточно построить траектории только двух из трёх «удобных» лучей (конечно, нумерации придерживаться не обязательно). Два луча, вышедшие из одной точки предмета, пересекутся в соответствующей точке изображения.

Рис. 86. Построение «удобных» лучей в собирающей линзе

Построим изображения предмета в собирающей линзе при разных расстояниях от предмета до линзы. Это мы умеем делать с младших классов, повторим в ответвлении.

Построение изображений с помощью тонкой линзы

1. Построим с помощью собирающей линзы изображение предмета, который находится на расстоянии от линзы.

Оказывается, полученный результат зависит от того, на каком расстоянии от собирающей линзы поместить предмет, и эти результаты можно по-разному использовать. Вы это увидите дальше, когда попробуете разные варианты, а пока решим задачу для расстояния F < d< 2F.

Построим изображение верхней точки предмета. Изображение этой точки будет там, где лучи, исходящие из точки предмета, снова сойдутся в одной точке. Чтобы найти эту точку, где сойдутся все лучи, достаточно найти, где пересекутся хотя бы два луча.

Один луч, направление которого мы точно знаем, это луч 1, который проходит через оптический центр линзы и не меняет направление.

Проведём ещё один луч параллельно главной оптической оси (см. рис. 87, луч 2), потому что знаем, что он после преломления линзой пройдёт через главный фокус линзы (все лучи светового пучка, параллельного главной оптической оси, проходят через главный фокус, они там пересекаются).

В точке, в которой лучи пересекутся, будет изображение верхней точки предмета. Изображение нижней точки предмета будет на главной оптической оси, так что изображение предмета перпендикулярно оси, как и сам предмет. Расстояние меньше f.

Используем тот же подход: найдём изображение верхней точки предмета. Чтобы найти это изображение, достаточно найти, где пересекутся хотя бы два луча, исходящие от предмета.

Проведём первый луч через оптический центр линзы, он не меняет направление.

Проведём второй луч параллельно главной оптической оси — он после преломления пройдёт через главный фокус линзы.

Теперь нужно найти точку пересечения лучей. Как видим, лучи расходятся, они не пересекутся. Проведём их продолжения пунктиром. На самом деле лучи в этом направлении не идут, но они направлены так, как будто они исходят оттуда. Точка их пересечения и будет изображением верхней точки предмета.

Опустим перпендикуляр на главную оптическую ось и получим изображение предмета.

Лучи реально не пересекаются, нет реальной точки, где они сходятся и где мы получим изображение точки. Лучи направлены так, как будто они идут из этой точки, как будто в этой точке есть предмет. Наши глаза это так и воспримут: мы увидим сквозь линзу изображение вот такого предмета. Такое изображение называется мнимым.

3. Расстояние больше 2f.

Аналогично первым двум построениям проведём так называемые «удобные» лучи. Первый луч — параллельный главной оптической оси, он после преломления пройдёт через главный фокус. Второй луч проведём через мнимый фокус, и он после преломления будет направлен параллельно главной оптической оси. Достаточно двух, но давайте рассмотрим третий ― его проведём через оптический центр линзы, он не поменяет направление. Все лучи сойдутся вот в этой точке

Мы рассмотрели три типичных случая для собирающей линзы. Давайте проделаем то же для рассеивающей линзы. Здесь результат будет похожим для любых расстояний от предмета до линзы.

Один луч проведём без преломления через оптический центр линзы. Ещё один луч проведём параллельно главной оптической оси. Он после преломления будет направлен так, чтобы его продолжение проходило через мнимый фокус линзы. Начертим это продолжение.

Получим, что лучи после прохождения линзы направлены так, будто исходят из точки пересечения — там и будет изображение.

В рассеивающих линзах независимо от расстояния от предмета до линзы изображение всегда мнимое, то есть лежащее на той же стороне от линзы, что и предмет, и это изображение всегда прямое и уменьшенное.

Рассмотрим немного более сложный случай, когда нужно построить изображение вот такой точки (см. рис. 92, точка S), расположенной на главной оптической оси. Трудность состоит в том, что все три нужных для построения луча сливаются.

Рис. 92. Как найти изображение точки S, лежащей на главной оптической оси?

Тогда определим ход произвольного луча SB, попадающего на линзу в некоторой точке B.

Для построения преломлённого луча проведём побочную оптическую ось PQ, параллельную лучу SB. Затем построим фокальную плоскость и найдём точку C пересечения побочной оптической осью фокальной плоскости. Через эту точку и пройдёт преломлённый луч BC. Два луча исходят из точки S―SB и SO. После преломления они расходятся, следовательно, изображение S1 точки S будет в данном случае мнимым.

Формула тонкой линзы. Оптические приборы

Мы научились строить изображения, полученные с помощью собирающих и рассеивающих линз. Мы получали увеличенные и уменьшенные изображения — а во сколько раз они увеличены или уменьшены? Можно ли это как-то вычислить, желательно без построения изображения?

Оказывается, можно один раз решить такую геометрическую задачу, получить решение в общем виде и потом использовать готовый результат для решения других задач.

Введём обозначения на чертеже.

Рис. 94. Чертёж

Рис. 94. Чертёж с обозначениями для решения геометрической задачи и вывода формулы тонкой линзы: высота предмета — hп; высота изображения — hи; расстояние от предмета до линзы — d; расстояние от линзы до изображения — p; фокусное расстояние — f

В ответвлении выведем уравнение, которое связывает величины d, p и f. Получим результат

Вывод формулы тонкой линзы

Формулу, связывающую три величины — расстояние d от предмета до линзы, расстояние p от линзы до изображения и фокусное расстояние, — назвали формулой тонкой линзы. Получим её.

Мы сделали чертёж для действительного изображения, полученного с помощью собирающей линзы, и ввели обозначения.

Прямоугольные треугольники (см. рис. 95, выделены фиолетовым) с горизонтальными катетами d и p подобны (у них равны вертикальные углы).

Рис. 95. Подобные прямоугольные треугольники (выделены фиолетовым)

Из их подобия следует:.

Теперь рассмотрим другую пару прямоугольных треугольников по правую сторону от линзы, с горизонтальными катетами f и (p - f), они тоже подобны.

Рис. 96. Подобные прямоугольные треугольники (выделены фиолетовым)

Из их подобия следует:.

Следовательно,, откудаили .

Разделив последнее равенство на pdf, получим формулу тонкой линзы:.

Это уравнение назвали формулой тонкой линзы.

Мы сделали чертёж для собирающей линзы и действительного изображения. Формула верна и для собирающих, и для рассеивающих линз, для действительных и мнимых изображений, нужно только соблюдать принятые соглашения о знаках величин d, p, f.

Расстояние d от предмета до линзы берётся со знаком «+», если предмет действительный, и со знаком «–», если он «мнимый» (это условное понятие применяют, когда лучи, которые падают на линзу, сходятся).

Расстояние p от линзы до изображения берётся со знаком «+», если изображение действительное, и «–», если изображение мнимое.

Рис. 98. Мнимое и действительное изображения

Фокусное расстояние f имеет знак «+», если линза собирающая, и «–», если линза рассеивающая.

Для удобства решения некоторых задач ввели понятие линейного увеличения линзы — это отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета. В рассмотренном примере увеличение m — это отношение hи к hп, то есть m = =.

Рис. 100 Линейное увеличение предмета

Увеличение указывается со знаком «–», если изображение предмета перевёрнутое.

Благодаря способности линз давать увеличенные или уменьшенные изображения, они являются важными частями таких оптических приборов, как проектор, фотоаппарат, микроскоп, телескоп. В глазу тоже есть линза — хрусталик.

Рис. 101 Линза в глазу

Применим формулу тонкой линзы для решения задачи в ответвлении.

Задача 1

У некоего дальнозоркого человека расстояние наилучшего зрения равно 210 см (с этого расстояния он видит предмет наиболее чётко).

Каково должно быть фокусное расстояние у его контактных линз, чтобы он мог читать книгу, держа её в 25 см от глаз?

Проанализируем условие.

В задаче описан дальнозоркий человек, который лучше всего видит предметы на расстоянии 210 см. Значит, чтобы он хорошо видел книгу, контактная линза должна создавать мнимое изображение книги на этом расстоянии. Понятно, что изображение должно быть прямое (иначе невозможно будет читать) и увеличенное (чтобы можно было рассмотреть изображение более чем с двух метров). Нам нужно связать расстояние до книги и до её изображения с фокусным расстоянием линзы — для этого у нас есть формула тонкой линзы. Применим её.

Изображение мнимое, значит, расстояние до него считаем отрицательным: p = -210 см. Книга находится на расстоянии d = 25 см от глаз.

По формуле тонкой линзы получаем:

У нас все единицы заданы одинаково в сантиметрах, можем не переводить в СИ:

Нашли фокусное расстояние, задача решена. Можем определить оптическую силу этой линзы в диоптриях. Для этого разделим единицу на фокусное расстояние в метрах:

Фокусное расстояние получилось положительным, значит, линза собирающая. Книга находится в 25 см от линзы, то есть на расстоянии меньше фокусного. А собирающая линза при d < F даёт как раз мнимое, прямое, увеличенное изображение.

Рис. 104. Построение мнимого изображения в собирающей линзе

Многие оптические приборы (микроскопы, телескопы и т. п.) используют комбинации линз. Построение изображения в устройстве, состоящем из двух линз с совпадающими главными оптическими осями, состоит из двух стандартных построений изображений. Изображение, создаваемое первой линзой, строится так, как будто второй линзы нет.

Рис. 105. Построение изображения в первой линзе

Затем это изображение считается источником для второй линзы, а изображение, создаваемое второй линзой, считается искомым изображением для всей системы.

Рис. 106. Построение изображения во второй линзе

Аналогично строится изображение для системы из трёх и более линз. Полное увеличение системы тонких линз является произведением увеличений отдельных линз.

Кстати, чтобы описать работу комбинации линз, можно не два раза строить изображения, а дважды применить формулу линзы. При этом, конечно, нужно соблюдать соглашения о знаках параметров формулы.

В качестве примера рассмотрим устройство микроскопа и построение изображения в нём (см. рис. 107).

Первая, ближняя к предмету линза называется объективом. Обычно она имеет меньшее фокусное расстояние. Первое изображение, то есть создаваемое первой линзой, является действительным, увеличенным и перевёрнутым. Оно будет предметом для второй линзы (окуляра). Вторая линза имеет большее фокусное расстояние, поэтому для этой линзы предмет (первое изображение) оказывается на расстоянии меньшем, чем её фокусное расстояние. Именно поэтому изображение этого предмета будет мнимым, увеличенным и прямым.

Если увеличение объектива ,а увеличение окуляра,то итоговое увеличение .

Если, например, , а , то .

Телескоп

Телескоп-рефрактор также состоит из двух линз: объектива и окуляра. Но, в отличие от микроскопа, объектив телескопа имеет большое фокусное расстояние. Сначала рассмотрим построение первого изображения.

Первое изображение формируется вблизи фокуса объектива, так как от далёкого предмета лучи идут почти параллельно главной оптической оси (угол  мал). Первое изображение является действительным, перевёрнутым и уменьшенным (!).

Первое изображение рассматривается во второй линзе (окуляре).

Окуляр имеет небольшое фокусное расстояние, его приближают к первому изображению настолько, что оно оказывается ближе к окуляру, чем фокус. При этом чем ближе окуляр к первому изображению, тем больше будет угол, под которым видно конечное изображение. Конечное изображение оказывается мнимым, увеличенным и прямым (относительно первого изображения).

Для телескопов рассматривают не линейное увеличение (размеры предмета и расстояние до него часто неизвестны), а угловое.

Давайте в ответвлении решим задачу, в которой будет система из двух линз.

Обычно на практике линза не даёт вполне чёткого изображения. Кажется, что оно «не в фокусе». Вспомним, когда мы договаривались использовать модель тонкой линзы, мы пренебрегли толщиной линзы, смещением лучей, проходящих даже через оптический центр линзы.

Для задачи изготовления очков такой точности достаточно. Но в более точных приборах уже сказывается то, что всё-таки не все лучи, исходящие из одной точки предмета, соберутся точно в одной точке изображения. Небольшие смещения, которыми мы пренебрегли, играют свою роль. В результате каждая точка изображения получается расплывчатой. Отсутствие точного (точка в точку) соответствия между предметом и его изображением называется аберрацией.

У линз со сферическими поверхностями часто встречаются аберрации, называемые сферическими аберрациями. В идеале все лучи, проходящие параллельно главной оптической оси, после прохождения линзы собираются в одной точке. Однако случается так, что лучи, проходящие вблизи края линзы, преломляются сильнее, чем лучи, проходящие вблизи её центральной части.

Получается, что линза имеет не единственную фокальную точку, поэтому лучи не собираются в точку. Роль фокуса играет наименьший круг, через который проходят все преломлённые лучи, — минимальный геометрический кружок рассеивания.

Сферическую аберрацию можно существенно уменьшить следующим простым образом.

Диафрагма, отсекая лучи, идущие к краю линзы, уменьшает световой поток и делает изображение менее ярким.

Зато центральные лучи точнее фокусируются, поэтому изображение получается чётким.

Напоследок ещё раз проделаем то, что мы уже сегодня делали: рассмотрим задачу геометрической оптики с точки зрения света как электромагнитной волны.

Вспомним, что коэффициент преломления материала линзы зависит от длины волны света, значит, может наблюдаться дисперсия света — свет разных длин волн преломляется линзой под разными углами.

Именно поэтому при освещении белым (солнечным) светом изображение получается многоцветным, так как для каждого цвета свой фокус.

Это явление назвали хроматической аберрацией, изображение получается тоже нечётким, только ещё и с искажёнными цветами.

Фокусное расстояние для лучей фиолетового света меньше, чем для красного.

Фокусы для других цветов лежат между фиолетовым Fф и красным Fк.

Вокруг изображения получается радужная бахрома.

Хроматическую аберрацию можно уменьшить, используя комбинированные линзы. Например, комбинацию из двух линз, выпуклой и вогнутой, с разными преломляющими свойствами.

При тщательном подборе линз можно получить почти одинаковые фокусные расстояния для красного и фиолетового лучей и, следовательно, для лучей всех других цветов.

Такие комбинированные линзы называются ахроматическими, они используются во всех качественных фотокамерах.