05. Переменный ток. Профильный уровень

Резистор в цепи переменного тока

Вы вылезаете из холодной воды и пытаетесь согреться, растёршись полотенцем. Как вы это делаете? Короткими движениями. Мы умеем описывать этот процесс с помощью модели энергии без учета кровообращения: считаем, что механическая энергия движения превращается в тепловую энергию. Можно взять очень длинное полотенце и долго тереть им в одном направлении, по всей длине, но нам не важно направление: пусть оно меняется, главное, что энергия превращается. А удобнее тереть, конечно, привычным нам полотенцем.

Аналогичная ситуация возникает, когда мы что-то пилим. В принципе, можно было бы обойтись очень длинной пилой, но нам не хватило бы длины рук. Поэтому мы двигаем пилу вперёд-назад.

По похожим причинам в бытовой электрической сети используется переменный ток. Для простых приборов, таких как лампа накаливания или обогреватель, не важно, постоянный ток или переменный: энергия превращается при любом направлении тока. Для приборов, для которых всё же нужен постоянный ток, есть простые способы выпрямления переменного тока (Электрический ток в полупроводниках). Но переменный ток проще получать на электростанциях (мы уже изучили устройство генератора), транспортировать, преобразовать (это мы сегодня разберём), поэтому его и используют. Сегодня мы разберёмся, каким законам он подчиняется и как математически описывать его протекание в цепи.

Рассмотрим простейшую цепь переменного тока, которая состоит из источника (генератора) переменного тока и различных приборов-потребителей электричества. Выходное напряжение генератора переменного тока меняется по закону синуса:

,

где u — мгновенное значение напряжения, Umax — максимальное значение напряжения, f — частота, с которой меняется напряжение, измеряемая в герцах (циклическая частота). Будем рассматривать простые электрические цепи, в которых к генератору подключен резистор, конденсатор или катушка индуктивности. Генератор переменного тока обозначают на схеме символом, похожим на форму графика изменения напряжения — синусоиду. Нас будет интересовать сопротивление, сила тока, напряжение и другие характеристики таких цепей.

Начнём с резистора. Когда мы изучали протекание через резистор постоянного тока, мы связывали силу тока и напряжение с помощью закона Ома для участка цепи. При переменном токе напряжение в разные моменты времени принимает разные значения. Электрическое поле распространяется в проводнике со скоростью света, поэтому можно считать, что ток мгновенно принимает значение, в любой момент времени пропорциональное напряжению по закону Ома:

Обратите внимание, что средние значения тока и напряжения за один цикл колебаний равны нулю. Это потому, что ток течет попеременно в разных направлениях (полпериода в одном направлении и полпериода в другом). Изменение направления тока не влияет на работу, выполняемую при протекании тока, потому что столкновения электронов с атомами, от которых резистор нагревается, происходят независимо от направления тока. Поэтому скорость рассеяния электрической энергии (превращения её в тепло), т. е. мощность, потребляемая резистором,, всегда положительна ( в квадрате ).

Однако количественно тепловой эффект переменного тока с амплитудой отличается от теплового эффекта, если бы протекал постоянный ток с силой тока. Так происходит потому, что переменный ток достигает максимального значения только в определенные моменты, а сила постоянного тока всегда одинакова.

Для переменного тока вводится специальное значение силы тока — среднеквадратичное значение силы тока или действующее значение силы тока (также называемое иногда эффективным). Действующее значение силы тока равно величине постоянного тока, при котором в проводнике выделялось бы такое же количество теплоты, как при данном переменном. Поясним: при переменном токе с амплитудой 1 А выделяется столько же теплоты, сколько выделилось бы при постоянном токе приблизительно 0,71 А, это значит, что действующее значение такого переменного тока 0,71 А.

Вычислить действующее значение тока можно по формуле:

Аналогично вводится понятие действующего значения напряжения переменного тока:

Для действующих значений силы тока и напряжения переменного тока выполняется закон Ома:

Почему в формулах деление именно на? Об этом подробнее в ответвлении.

Конденсатор в цепи переменного тока

Рассмотрим конденсатор в цепи переменного тока.

Обкладки конденсатора разделены диэлектриком, поэтому заряд между обкладками конденсатора не перемещается, ток через конденсатор в цепи постоянного тока не течёт.

Однако сразу после включения ток в цепи с конденсатором некоторое короткое время течёт: заряд не перемещается через диэлектрик, но он поступает на обкладки конденсатора и там накапливается. Это происходит до тех пор, пока конденсатор не зарядится до напряжения, равного ЭДС источника.

Если в цепи постоянного тока с конденсатором ток протекает короткое время после включения, то в цепи переменного тока всё время происходят такие, можно считать, включения и выключения. Значит ли это, что в такой цепи ток протекает? Давайте рассмотрим подробнее.

Напряжение на конденсаторе создаётся источником и меняется всё по тому же закону:

Заряд на нём в любой момент пропорционален напряжению:

Сила тока — это производная заряда по времени. Вычислим её:

Как видим и из математической записи функций, и из их графиков, ток и напряжение в такой цепи уже не будут колебаться в одной фазе: разность фаз равна, и максимумы тока и напряжения не будут достигаться в одно время. Ток опережает напряжение: сначала протеканию тока ничего не препятствует, и работа по перемещению заряда мала (а напряжение — это как раз характеристика работы по перемещению заряда). А по мере того как конденсатор заряжается, то есть заряд накапливается и напряжение возрастает, ток уменьшается.

Вернёмся к полученному уравнению: множитель перед функцией синус — это максимальное значение функции, её амплитуда. То есть амплитуды силы тока и напряжения связаны соотношением:

Это соотношение выполняется и для действующих значений, которые в √2 раз меньше амплитуд, т. е.

Получается, если не знать, что в сети есть конденсатор и измерять только силу тока и напряжение (их амплитуды или действующие значения), то всё будет выглядеть так, будто в цепь включен резистор: приложили переменное напряжение Ć наблюдаем переменный ток. И по закону Ома можно вычислить сопротивление этого воображаемого «резистора»: разделить напряжение на силу тока.

Приравнивать конденсатор к резистору мы не будем, но аналогию проведём: обозначим коэффициент пропорциональности так:

чтобы можно было записать аналогично закону Ома:

 назовём ёмкостным сопротивлением, т. е. сопротивлением конденсатора переменному току.

Теперь мы видим, что чем ниже частота, тем больше сопротивление конденсатора. И при приближении частоты к нулю (когда ток постоянный) сопротивление неограниченно растёт — всё сходится с теорией, постоянный ток через конденсатор не протекает. Сопротивление конденсатора зависит также от ёмкости конденсатора, что тоже совпадает с нашим пониманием физических процессов: чем больше ёмкость конденсатора, тем больший заряд он может накапливать при заданном напряжении, и, значит, тем больший ток будет протекать при накоплении этого заряда. А больший ток при заданном напряжении соответствует меньшему сопротивлению.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Рассмотрим катушку в цепи переменного тока.

В цепи постоянного тока у любой катушки индуктивности есть сопротивление R, ведь это обычный проводник, свёрнутый в виде спирали. Обычно это сопротивление стараются сделать поменьше, как и сопротивление соединительных проводов, и им мы при расчётах цепей переменного тока будем пренебрегать. На фоне чего пренебрегать — сейчас увидим.

Из-за явления самоиндукции, которое мы подробно изучили на предыдущих уроках (Электромагнитная индукция. Часть 3. Самоиндукция, индуктивность), ток в катушке не изменяется мгновенно. При включении постоянного напряжения ток увеличивается постепенно, как будто что-то «сопротивляется» этому увеличению. А в цепи переменного тока напряжение всё время включается и выключается, и будет наблюдаться то самое явление самоиндукции.

Запишем выражение для ЭДС самоиндукции,

Это уравнение мы использовали для случая, когда сила тока изменяется равномерно. Здесь же мы пока не знаем, как изменяется сила тока, поэтому будем работать с мгновенными значениями силы тока и их изменением на малых промежутках времени, то есть перейдём в производной:

Эта ЭДС как бы включена навстречу ЭДС генератора переменного тока:

При этом ЭДС самоиндукции всегда должна быть равной напряжению на катушке u, т. е. ЭДС источника. Почему равной? Мы приняли, что сопротивление R проводов катушки равно нулю, поэтому даже малейшая не скомпенсированная разность потенциалов привела бы к неограниченному возрастанию силы тока.

Итак,или

Мы знаем, чему равна производная функции, а нам нужно найти саму функцию. Запишем сразу ответ (это простой случай, ответ можно получить даже подбором), а вы можете его проверить, взяв производную.

Запишем это по-другому, чтобы была функция синуса

откуда видно, что ток отстаёт от напряжения по фазе на. То есть напряжение уже достигло максимума и начало уменьшаться, а ток только начинает увеличиваться — это можно увидеть на графике. Также мы видим, что ток максимален тогда, когда максимально изменение напряжения, и равен нулю на тех коротких промежутках, когда напряжение не меняется (рисунок).

Из полученного уравнения запишем амплитуду тока — это коэффициент при синусе:

Связь между амплитудами тока и напряжения аналогична закону Ома, здесь коэффициент аналогичен сопротивлению. Обозначим его как индуктивное сопротивление — сопротивление катушки индуктивности переменному току:

Закон Ома в такой форме выполнен и для действующих значений тока и напряжения, т. е.

Получается, катушка оказывает переменному току сопротивление, причём это сопротивление пропорционально индуктивности катушки и увеличивается с частотой переменного тока.

Сопротивление R резистора называют активным, а индуктивное и ёмкостное сопротивление — реактивным, оно возникает как «реакция» на изменение поданного напряжения.

Производство, передача и потребление электрической энергии

В быту и промышленности в основном используется переменный ток. Хотя так было не всегда, первые электрические приборы и машины, работали на постоянном токе. У каждой формы электричества есть свои достоинства и недостатки. Так постоянный ток легче запасать впрок, например в аккумуляторах автомобилей и гаджетов, его можно получать устройствами без движущихся частей (солнечными батареями, гальваническими элементами). Но производить постоянный ток в промышленных масштабах и передавать на большие расстояния экономически нецелесообразно: затраты значительно больше, чем при использовании переменного тока.

Вопросы производства электроэнергии (переменного тока) мы уже затрагивали, когда изучали явление электромагнитной индукции, и разобрались с устройством генератора (Электромагнитная индукция. Часть 2. ЭДС индукции в движущемся проводнике). Обсудим кратко, какие могут быть особенности при производстве электроэнергии в промышленных масштабах.

Как мы сказали, производится электроэнергия в основном с помощью электромеханических индукционных генераторов. Различаются электростанции способом приведения во вращение электрогенераторов. На гидроэлектростанции вал генератора вращает водяная турбина, генератор ветровой электростанции вращается огромным пропеллером, генераторы тепловых электростанций вращаются паровыми или газовыми турбинами. Тепло для тепловой электростанции может получаться из самых разных видов топлива, вплоть до ядерного.

Электромеханические генераторы производят, естественно, переменный ток. Причем вполне определённой частоты, в нашей стране принят стандарт частоты переменного тока 50 Гц (в некоторых других странах эти стандарты могут быть другими). Это не значит, что роторы всех электростанций должны вращаться со скоростью 50 оборотов в секунду. Генераторы могут включать устройства, регулирующие частоту тока, но самое простое, благодаря чему частота так велика — это способ намотки обмотки генератора.

Кроме частоты регулируется и напряжение тока. Разные электрогенераторы могут выдавать разное напряжение, и это не стандартные 220 В. Чтобы согласовать напряжение с параметрами единой государственной сети линий электропередач, его изменяют с помощью трансформаторов, об их устройстве поговорим позже.

От электростанции, на которой электроэнергия получена, её нужно доставить до потребителя. Задача кажется простой: соединить проводами и всё. Но проблема в том, что расстояния от электростанции до потребителя могут составлять многие сотни километров, а при такой длине проводов их сопротивление может быть достаточно велико, чтобы привести к существенным потерям.

Основной источник потерь – выделение теплоты в проводах, и её можно вычислить по закону Джоуля — Ленца:

Или выразив силу тока через передаваемую по проводам мощность:

Получается, при передаче электроэнергии с фиксированной мощностью P тепловые потери будут меньшими при большем напряжении (и меньшей силе тока, так как). Увеличение напряжения вдвое снижает тепловые потери в четыре раза.

На практике поступают следующим образом: напряжение генератора электростанции (10–20 кВ) с помощью повышающего трансформатора увеличивают до 500–1000 кВ. Такое напряжение используется в высоковольтных линиях, передающих электроэнергию на очень большие расстояния (тысячи километров).

Для передачи электроэнергии непосредственным потребителям — промышленным предприятиям, жилым комплексам и т. п., — которым требуются более низкие значения напряжения, используются понижающие трансформаторы, которые последовательно понижают напряжение в местных сетях до значений, нужных разным потребителям: 100 кВ, 50 кВ, …220 В.

Элементарная теория трансформатора

Для изменения напряжения переменного тока используют трансформаторы. Давайте разберёмся, как они работают.

Простейший трансформатор переменного тока состоит из двух катушек провода, намотанных вокруг общего сердечника из магнитно-мягкого материала. Катушки имеют разное количество витков. Первичная обмотка (это та, на которую напряжение подаётся от источника) содержит витков, вторичная (та, с которой снимаем полученное напряжение) — витков.

При подаче напряжения  в первичную обмотку в ней возникает ЭДС индукции такой же величины, т. е.

где — поток вектора магнитной индукции. Предположим, что весь поток содержится в сердечнике, следовательно, через каждый виток вторичной обмотки проходит такой же магнитный поток, как и в первичной обмотке, и за любой промежуток времени он изменится одинаково на. Следовательно, напряжение на вторичной обмотке будет равно

Откуда следует:

ЕслиN_{1}\" fontsize=\"\" backgroundcolor=\"\">, тоU_{1}\" fontsize=\"\" backgroundcolor=\"\"> и трансформатор является повышающим, если, то и трансформатор является понижающим.

Все сказанное, естественно, будет верным только для переменного тока. Если в первичную обмотку включен источник постоянного тока, то изменения магнитного потока не будет, а значит, ЭДС индукции не возникнет. Во вторичной обмотке будет кратковременный ток только в момент включения.

Может показаться, что в трансформаторе энергия может возникать из ничего. Например, если трансформатор повышает напряжение 10 В первичной обмотки до 100 В вторичной, то это означает, что каждый кулон заряда, покидающий вторичную обмотку, имеет энергию 100 Дж, а каждый кулон заряда, входящего в первичную обмотку имеет энергию 10 Дж. Но дело в том, что во вторичной обмотке будет проходить в 10 раз меньше зарядов за единицу времени (то есть в 10 раз меньше сила тока), и суммарная работа в идеальном случае останется такой же. Т. е. мощности тока в обмотках будут одинаковыми:

Мы рассмотрели идеальный трансформатор, в котором не было потерь из-за активного сопротивления обмоток (их сопротивление обычно стараются сделать малым, чтобы потери на их нагревание были пренебрежимо малыми по сравнению с передаваемой мощностью). Но в реальных трансформаторах есть и другие потери. Например, в самом металлическом, и, следовательно, проводящем сердечнике при изменении магнитного потока возникают внутренние, так называемые вихревые токи, которые нагревают сердечник (в соответствии с законом Джоуля — Ленца). Такие потери энергии могут достигать 10 %.

С вихревыми токами в трансформаторах борются, например, используя ферритовые (непроводящие ток) сердечники или сердечники, не цельные, а набранные из железных изолированных друг от друга пластин.

Список использованных источников:

Рис. 1–5. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.