05. Решение задач на основное уравнение корпускулярно-волнового дуализма микромира

Задача 1

Чему равна длина волны де Бройля электрона при скорости . Варианты ответа: 1. 2. 3. 1 нм. 4. 2 нм.

Дано:  – скорость электрона;

 – масса электрона.

Найти:

 – длину волны

Решение

Для решения задачи применяем уравнение де Бройля:

 ,

где  – постоянная Планка.

Подставляем в данное уравнение числовые данные:

Ответ: 1.

Задача 2

Найти среднюю длину волны атома водорода при температуре .

Дано:  – масса атома водорода;

 – под средней скоростью подразумевается средняя квадратичная скорость;

;

.

Найти:  – длину волны

Решение

Уравнение корпускулярно-волнового дуализма де Бройля: ,

где  – постоянная Планка.

Из курса молекулярной физики известно, что средняя квадратичная скорость равна:

,

где  – универсальная газовая постоянная

Следовательно, длина волны равна:

Ответ:

Задача 3

Найти длину волны электрона, ускоренного разностью потенциалов .

Дано:  – заряд электрона;

 – масса электрона;

;

;

 – напряжения ускоряющего электрического поля;

 – скорость света.

Найти:  – длину волны

Решение

Для решения задачи применяем уравнение де Бройля:

Из курса электродинамики известна формула работы электрического поля, которая идет на повышение кинетической энергии электрона:

Из этого уравнения выражаем скорость, которую получает электрон в электрическом поле:

Если провести расчёт, то можно увидеть что при напряжении  скорость электрона намного меньше скорости света, а при напряжении  и  – больше скорости света, и в таком случае решать задачу с помощью данной формулы нельзя.

1. Вычислим длину волны для первого напряжения.

;

 ;

;

 – нерелятивистское выражение для импульса

Подставляем его в уравнение де Бройля:

2. Для выведения формулы импульса в релятивистском случае вспомним выражение полной энергии из раздела «Основы теории относительности».

 – конечная энергия

 – начальная энергия

То есть ускоряющее электрическое поле совершило работу  и из-за этого произошло изменение массы. Для того чтобы выбрать способ решения (релятивистский или нерелятивистский), необходимо оценить изменение массы:

Если  будет мало по сравнению с массой покоя электрона, то можно использовать нерелятивистскую формулу для импульса.

Если  соизмерима с массой покоя электрона, то используем релятивистский способ решения, который основан на следующем соотношении (из раздела «Основы теории относительности»):

Из этого выражения необходимо выразить импульс

;

Так как

То:

Подставляем выражение для импульса в уравнение де Бройля:

В данную формулу подставляем физические постоянные:

Мы получили формулу вычисления длины волны электрона в релятивистском случае при любом значении напряжения.

3. Для напряжения

 длина волны электрона равна:

Для напряжения

 длина волны электрона равна:

 Ответ:

Список литературы

1. Г. Я. Мякишев, А. З. Синяков. Физика: Оптика. Квантовая физика. 11 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики – М.: Дрофа, 2002.

2. Касьянов В. А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2005.

3. Анциферов Л. И. Физика: Электродинамика и квантовая физика. 11 кл. – М.: 2004.

Домашнее задание

1. Определите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов .

2. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна ?

3. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.