02. Свободные электромагнитные колебания в контуре (Порохов Д. А.)

Свободные электромагнитные колебания

Периодические или почти периодические колебания заряда, тока и напряжения в цепи называются электромагнитными колебаниями.

В более общем смысле определение можно выразить так:

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения напряженности электрического поля (Е) и магнитной индукции (В).

Как и любые периодические процессы, электромагнитные колебания протекают в колебательной системе. Колебательная система, в которой происходят электромагнитные колебания, называется колебательным контуром.

Простейший колебательный контур состоит из соединенных конденсатора и катушки индуктивности (рис. 1). В таком колебательном контуре могут протекать свободные электромагнитные колебания.

Свободные колебаниями называются такие, которые протекают в системе за счет запаса энергии самой системы, без поступления ее извне.

Рассмотрим процесс электромагнитных колебаний в простейшем контуре (рис. 2).

Контур состоит из конденсатора, соединенного с катушкой, переключателя, который переключает конденсатор на источник постоянного тока, за счет которого он может зарядиться, либо на катушку. Будем следить за изменениями напряжения на конденсаторе при помощи цифрового вольтметра, который подсоединим в цепь между обкладками конденсатора. График зависимости напряжения на обкладках конденсатора будет отображаться на мониторе компьютера.

Запустим программу отображения напряжения на обкладках конденсатора в реальном времени (рис. 3).

Мы видим, что в начальный период напряжение на конденсаторе отсутствует, при замыкании конденсатора на источник постоянного тока на обкладках конденсатора появляется постоянное напряжение. Перебросим конденсатор на катушку индуктивности – мы видим, что что-то в цепи произошло и напряжение на конденсаторе опять стало нулевым.

Как же изменялось напряжение на обкладках конденсатора, когда мы перебросили заряженный конденсатор на катушку? Увеличим интервал графика, где происходит изменение напряжения (рис. 4):

Мы видим, что происходили периодические изменения напряжения на обкладках конденсатора, то есть происходил колебательный процесс. В начальный период времени напряжение составляло чуть больше 8 вольт, как только мы замкнули конденсатор на катушку – напряжение на обкладках конденсатора начало падать и упало до нуля. Конденсатор начал перезаряжаться, и напряжение стало с противоположным знаком, конденсатор перезарядился, напряжение опять стало падать, прошло через нуль, конденсатор вновь зарядился так, как он был заряжен изначально, то есть прошел цикл зарядки – перезарядки конденсатора.

Проанализируем те процессы, которые происходили в колебательном контуре.

В начальный момент времени, перед тем как мы замкнули конденсатор на катушку, на конденсаторе было некоторое напряжение, как только мы замкнули конденсатор на катушку – начался разряд конденсатора (рис. 5).

Конденсатор не может мгновенно разрядиться: как только в цепи появился электрический ток, который пошел через катушку – вокруг катушки возникло магнитное поле, соответственно, возникла самоиндукция. Ток самоиндукции препятствует мгновенному разряду конденсатора, который начинает постепенно разряжаться, электрическое поле в диэлектрике начинает убывать. При этом ток индукции возрастает, магнитное поле нарастает и достигает своего максимума тогда, когда конденсатор полностью разрядится (рис. 6).

ЭДС индукции заставляет двигаться заряды в цепи, создает индукционный ток, и конденсатор начинает перезаряжаться. Происходит перезарядка конденсатора, то есть на той пластине, где был знак «+», образовывается знак «-», и где был «-», становится «+». Начинает нарастать электрическое поле конденсатора, магнитное поле убывает (рис. 7).

При этом убывает ток в цепи, поскольку электрическое поле конденсатора препятствует дальнейшему продолжению движения зарядов. Когда поле достигает своего максимального значения энергии – электрический ток прекращается.

Далее процесс разворачивается в обратном направлении – конденсатор вновь начинает разряжаться, и опять он не может сделать это мгновенно, так как возникают явления самоиндукции в катушке и индукционный ток препятствует разряду конденсатора. Конденсатор разряжается и в момент, когда электрическое поле в конденсаторе исчезает – магнитное поле достигает своего максимума и поддерживает индукционный ток, который заставляет опять заряжаться конденсатор. В момент, когда магнитное поле исчезает, электрическое поле достигает своего максимума – пластины вновь будут заряжены так, как они были заряжены в начальный момент.

Таким образом, мы с вами рассмотрели один цикл электромагнитных колебаний в контуре. Этому циклу соответствует время одного периода (рис. 8).

Математическое описание процессов

Опишем математически процессы, которые мы рассмотрели. В начальный момент времени вся энергия системы была сосредоточена в электрическом поле конденсатора.

Энергия электрического поля конденсатора определяется квадратом заряда на пластинах конденсатора, деленным на удвоенную электроемкость:

Когда вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, энергия магнитного поля катушки равна:

Для произвольного момента времени сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки есть величина постоянная, то есть мгновенное значение энергии электрического поля плюс мгновенное значение энергии магнитного поля есть все время величина постоянная:

Если мы возьмем производную по времени, то производная от постоянной величины по времени даст ноль. Тогда мы получим, что сумма производных мгновенных значений электрического поля и магнитного дадут ноль:

Возьмем производную по времени и производную мгновенного значения магнитного поля:

Вспомним, что мгновенное значение электрического тока есть первая производная заряда по времени, значит, вторая производная заряда будет производная тока, подставив эти значения в предыдущее выражение, после сокращения получим, что сумма второй производной заряда и заряда, умноженного на произведение L·C, равна нулю:

Мы получили дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний. Решением такого уравнения является гармоническая функция равная произведению максимального значения заряда или амплитуды заряда, умноженная на:

Это будет решением дифференциального уравнения, если мы предположим, что циклическая частота гармонических колебаний будет равна обратному значению корня произведения индуктивности на электроемкость катушки:

Мы знаем, что период колебания есть величина обратная циклической частоте:

Тогда, подставив значения, получим формулу:

Это формула Томсона, определяющая период свободных гармонических колебаний в колебательном контуре, период свободных электромагнитных колебаний будет определяться произведениемна корень из произведения индуктивности катушки на электроемкость конденсатора.

Заключение

Подведем итоги: в электрической цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, возможно протекание свободных электромагнитных колебаний. Механизм этих колебаний заключается в том, что энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля и обратно, при этом происходят перезаряд конденсатора и периодически изменяются значения заряда на обкладках конденсатора, напряжения и тока. Эти колебания носят гармонический характер, они могут описываться дифференциальным уравнением, и из решения этого дифференциального уравнения следует, что период свободных электромагнитных колебаний определяется индуктивностью и электроемкостью конденсатора.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.

2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.

3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Naexamen.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «Fizmat.by» (Источник)

3. Интернет-портал  «Festival.1september.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Какие величины могут периодически изменяться в электрических цепях?

2. Из чего состоит простейший колебательный контур?

3. Что определяет формула Томсона?