09. Волновая оптика. Базовый уровень

Введение

Здравствуйте!

Механические волны ― это колебания, которые распространяются в среде. При этом нельзя выделить частицы волны (например, не существует частиц звука). Есть частицы среды, но в модели механической волны мы их не выделяем.

Со светом дело обстоит иначе. С одной стороны, есть частицы света ― фотоны. С другой стороны, свет ― это колебания поля, или электромагнитная волна (поэтому свет может распространяться и в вакууме).

Как же быть, если свет одновременно можно рассматривать и как поток частиц, и как волну? Существует великий приём, который мы уже многократно использовали: выбирать подходящую модель в зависимости от задачи. Например, когда сталкиваются два шара и нам нужно определить направление их отскока, можно использовать модель материальной точки. Но если шары крутятся, то эта модель уже не подходит. Нужно использовать другую модель ― физическое тело.

Например, если мы хотим пригласить Петю в свою футбольную команду, то будем рассматривать его как футболиста, а если планируем сесть с ним рядом на контрольной ― как знатока физики.

Так же и со светом: в некоторых случаях мы будем рассматривать проявление его волновых свойств, в некоторых — свойств потока частиц, а в некоторых, не вдаваясь в его природу, просто чертить прямые лучи и вычислять по формулам углы, под которыми они распространяются.

Рисование линий и вычисление углов ― это модель геометрической оптики и тема отдельного урока. Даже в этой модели мы при необходимости вспоминали о волновой природе света, например, когда изображение в оптическом приборе получалось с радужным ореолом и нужно было это исправлять.

Сегодня же мы рассмотрим три оптических явления, которые нельзя объяснить методами геометрической оптики или корпускулярной теории света ― это интерференция и  дифракция. Адекватные объяснения этим явлениям дает только волновая оптика, которая рассматривает свет как электромагнитную волну. Вам могут быть знакомы эти понятия из уроков о механических волнах, и сегодня мы о них поговорим подробно.

Интерференция

Давайте начнём с интерференции и рассмотрим её сначала на примере механических волн. Математическая модель та же, но механические волны нагляднее.

Интерференция ― это явление сложения (наложения) в некоторой области пространства волн, приходящих из разных источников, которое может (при выполнении определённых условий) приводить к постоянному по времени распределению в рассматриваемой области амплитуд результирующих колебаний. Позже мы подробно рассмотрим эти «определённые условия».

Две бегущие механические волны, встречаясь в пространстве, не разрушаются и даже не меняются, проходя друг сквозь друга. Например, так ведут себя расходящиеся круговые волны, образованные брошенными в пруд двумя камнями, движения этих волн независимы.

Проходят друг сквозь друга и звуковые волны из двух источников: мы слышим оба звука. В области, где две волны оказываются одновременно, выполняется принцип суперпозиции. Когда две (или больше) бегущие волны встречаются в некоторой области, значение результирующей волны в каждой точке области определяется как сумма значений всех волн в данной точке.

Если в некоторый момент две одинаковые (с равными частотами и амплитудами) волны (а) и (б) приходят в некоторую точку пространства с разностью фаз, равной нулю или кратной 2π (или с разностью хода, равной целому числу длин волн), то при суперпозиции волн (а) и (б) получается волна (в).

Волна (в) имеет ту же частоту, что и волны (а) и (б), и удвоенную амплитуду. Такое поведение волн назвали конструктивной интерференцией.

Итак, условие конструктивной интерференции:

Рассмотрим другой случай. Две волны (а) и (б) имеют одинаковые частоты и амплитуды, но приходят в рассматриваемую точку с разницей фаз π или (2n + 1)  (или с разностью хода, равной нечётному числу полуволн). Эти волны являются взаимно обратными, то есть смещения, которые вызывают эти волны, в любой момент времени равны по модулю и противоположно направлены, их сумма равна нулю ― волны исчезают.

Такое поведение волн назвали деструктивной интерференцией.

Условие деструктивной интерференции:

Таким образом, при наложении волн с одинаковой длиной волны результирующая волна может иметь амплитуду больше амплитуды каждой отдельной волны (конструктивная интерференция) или амплитуду меньше, чем самая малая амплитуда объединяющихся волн (деструктивная интерференция).

Теперь проанализируем, как образуется та или иная разность фаз или разность хода. Результат сложения двух волн, приходящих в некоторую точку P от двух источников S1 и  S2, зависит от разности фаз между ними. Если расстояние от S1 до P равно d1, а расстояние от S2 до P равно d2, то разность хода этих волн в точке P равна

. Если разность хода равна целому числу волн ( n = 0, 1, 2 , …), то одна волна отстаёт от другой на целое число периодов, то есть сдвиг фаз равен 2πn и интерференция в точке P ― конструктивная (гребни и впадины волн совпадают). Следовательно, амплитуда результирующего колебания в точке P будет максимальной. Если разность хода волн в точке P равна нечётному числу полуволн, n = 0, 1, 2, … , то сдвиг фаз между волнами равен (2n + 1)π и интерференция является деструктивной. Следовательно, в точке P будет минимум.

Если разность хода в некоторой точке принимает некоторое промежуточное значение (между λ и λ/2), то результирующее колебание также будет иметь промежуточное значение амплитуды (между максимальным и минимальным значением).

В области, в которую приходят две волны, возникает устойчивое распределение амплитуд колебаний, которое называется интерференционной картиной. Перед вами интерференционная картина волн на поверхности воды. Источники волн ― синхронно колеблющиеся предметы.

Световые волны также интерферируют друг с другом, но интерференционную картину наблюдать труднее, так как длины волн слишком малы (от 4 ∙ 10-7 м до 7 ∙ 10-7 м).

На примере механических волн мы увидели, что нужно для наблюдения устойчивой интерференционной картины, но интерференционная картина для световых волн из-за малой длины волны более чувствительна, например, к смещению источников волн.

Давайте чётко определим условия, которые должны выполняться для возникновения интерференционной картины:

Если указанные условия выполнены, то источники волн называют когерентными. Когерентности источников нетрудно добиться в случае механических волн, например звуковых. Можно два расположенных на некотором расстоянии друг от друга громкоговорителя присоединить к одному усилителю. Оба громкоговорителя будут возбуждать звуковые волны одинаковой частоты и с одинаковой фазой.

Если так же расположить два источника света, то интерференции не будет, так как световые волны испускаются источниками независимо. Даже если атомы источника излучают свет одной длины волны, разность фаз не сохраняется, так как световые волны излучаются «обрывками» (цугами) длиной порядка нескольких метров. А при огромной скорости света это означает, что приблизительно каждые Δt = 10-8 с фаза излучения изменяется. Из-за этого меняется разность фаз цугов волн, приходящих от разных источников. Интерференционная картина будет изменяться так же часто, и её невозможно увидеть. Поэтому обычные источники света некогерентны.

Так как добиться когерентности волн от двух источников практически невозможно, можно использовать одну волну. Мы знаем, что по принципу Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно рассматривать как новый источник сферических волн, используем это.

Световую волну от источника монохроматического излучения (одной длины волны) направим через узкую щель. Прошедший через щель свет падает на экран с двумя другими узкими щелями, симметрично расположенными относительно первой. Первая щель выступает в роли источника сферических волн, она нужна для того, чтобы создать волновой фронт, который одновременно достигает двух других щелей. Световые волны, идущие от двух щелей, когерентны, потому что они образуются из единого источника, а конструкция со щелями нужна только для того, чтобы разделить исходный пучок на две сферические волны. Любое случайное изменение в свете источника, например изменение фазы, будет происходить одновременно в двух отдельных волнах. Появляется возможность создавать и наблюдать интерференционную картину.

Более современным и на сегодня самым распространённым способом демонстрировать интерференцию является использование в качестве источника когерентного излучения лазера. Лазер создает яркий монохроматический пучок когерентных световых волн шириной в несколько миллиметров. Этим пучком можно одновременно освещать сразу несколько щелей и получать интерференционную картину, видимую даже в хорошо освещённом месте.

Эксперимент Юнга

Томас Юнг первым продемонстрировал интерференцию световых волн. Он проводил свой эксперимент тем способом, который описан выше, то есть с помощью экранов со щелями S1 и S2, которыестановятся когерентными источниками сферических волн.

Свет, распространяющийся от источников (щелей) S1 и S2, создаёт на просмотровом экране изображение, состоящее из чередующихся светлых и тёмных полос, называемых интерференционными.

Если световые волны от щелей приходят в такую точку на экране, где происходит конструктивная интерференция, то точка светлая.

В случае деструктивной интерференции точка тёмная.

Светлая полоса, состоящая из светлых точек, обозначена на рисунке словом «max», тёмная, состоящая из тёмных точек, словом «min».

Рассмотрим подробнее образование светлых и тёмных областей на просмотровом экране.

На рис. 12 (а) в точку P, находящуюся на равном расстоянии от источников S1 и S2, волны приходят в фазе, так как они излучались в фазе и прошли равные расстояния (щели S1 и S2 симметричны относительно Р). Поэтому точка P находится в светлой полосе.

Волны на рис. 12 (б) «стартуют» в фазе, но до точки Q верхней волне нужно пройти расстояние ровно на одну длину волны больше, чем нижней. В точку Q обе волны придут в фазе, поэтому Q находится в следующей светлой полосе.

Точка R на рис. 12 (в) лежит между точками P и Q. Волне от источника S1 до точки R нужно пройти расстояние на половину длины волны больше, чем волне от S2. Поэтому волны прибывают в точку R в противофазе, следовательно, точка R лежит в тёмной полосе.

Для количественного описания результатов эксперимента Юнга воспользуемся чертежом, на котором укажем необходимые размеры.

Расстояние между щелями S1 и S2 равно d, расстояние между экранами ― L.

Точка Q находится посредине между щелями, отрезок перпендикулярен просмотровому экрану, P находится на расстоянии y от линии QO.

Расстояния, которые проходят волны от щелей до точки P, равны r1 и r2.

Будем считать, что волны, идущие от S1 и S2, имеют одинаковые амплитуды и начальные фазы, а их разность хода. Здесь сделано предположение, что волны движутся параллельно, что приблизительно верно, если.

Если разность хода равна целому числу длин волн, то в точке P имеет место конструктивная интерференция (max).

Число называется порядком интерференционного максимума. Центральная светлая полоса, которая соответствует углу (m = 0), называется максимумом нулевого порядка, следующие два максимума по обе стороны от центрального с ― максимумами первого порядка и так далее.

Когда разность хода волн δ равна нечётному числу полуволн λ/2, волны приходят в точку P со сдвигом по фазе 180° и интерференция между ними деструктивная. Следовательно, тёмные полосы (минимумы освещённости) будут там, где

Если m = 0, то разность хода δ = λ/2, а ― это углы направлений на две тёмные полосы вокруг центрального максимума освещённости. При m = разность хода δ = 3λ/2, а углыθт задают направления на следующие тёмные полосы и так далее.

Из чертежа можно получить и значения расстояний до всех светлых и тёмных полос от точки O. Для этого, кроме предположения, понадобится и условие. Обычно оба эти предположения выполняются, так какрасстояние L, как правило, бывает около 1 метра, d ― порядка долей миллиметра, λ ― порядка долей микрометра.

При выполнении этих условий угол θ на чертеже очень мал, и мы можем считать, что. Тогда из треугольника OPQ получаем:

Определяя sin θ из записанного выше условия максимумов, мы получаем расстояния до светлых полос от точки O:

Аналогично расстояния до тёмных полос:

Итак, ещё раз повторим условия формирования интерференционных максимумов и минимумов и предположения, которыми мы руководствовались при их математическом описании (см. рис. 16).

Разделить одну световую волну на две волны, способные к интерференции, можно и другими способами, например с помощью зеркала.

Световые волны от источника S достигают точки Pдвумя путями: непосредственно (красная линия) и отразившись от зеркала (синяя линия). Отражённый луч можно считать идущим от мнимого источника S' (отражение в зеркале реального источника). На экране, расположенном на большом расстоянии от источника, наблюдается интерференционная картина.

Если по разнице хода волн от двух источников рассчитать положения светлых и тёмных участков, то они оказываются обратными тому, что наблюдается в эксперименте Юнга. Так, в точке P', которая находится на равных расстояниях от источников, вместо светлого пятна (разность хода равна 0) будет располагаться тёмное.

Причина этого в том, что, оказывается, электромагнитные волны при отражении от поверхности среды с бóльшим показателем преломления n изменяют фазу на 180°, что соответствует разнице хода в половину длины волны. Таким образом, хотя определённая геометрическим способом разница хода равна нулю, волны приходят в точку P' в противофазе и интерференция в ней оказывается деструктивной.

Интерференция в тонких плёнках

Рассмотрим ещё один пример интерференции: интерференцию в тонких плёнках.

Оказывается, благодаря интерференции мы видим радужную окраску мыльных пузырей или плёнки бензина на поверхности воды в луже. Эти интерференционные картины наблюдаются даже при обычном солнечном освещении. Как связана радужная окраска и интерференция? Откуда же берутся необходимые для интерференции две когерентные волны? Давайте разбираться. Две когерентные волны ― это отражённый от двух поверхностей плёнки падающий свет. Вот как это выглядит для плёнки мыльного пузыря (см. рис. 18).

На плёнку почти перпендикулярно ей падает свет с длиной волны λ. Плёнка имеет постоянную толщину d, её коэффициент преломления n.

Определяя, какой будет интерференция между двумя отражёнными волнами, необходимо учитывать следующие два факта.

1. Отражённая от внешней поверхности Aсветовая волна 1 меняет фазу на 180°, так как свет отражается от границы с оптически более плотной средой (n ― показатель преломления вещества плёнки относительно воздуха). Волна 2, отражённая от внутренней поверхности плёнки В, сдвига фазы не приобретает, так как свет отражается от границы с менее плотной средой (воздухом).

2. Внутри плёнки световая волна имеет другую длину волны. Вы помните, что мы вводили коэффициент преломления как отношение скоростей света в средах, а так как частота при переходе между средами сохраняется, длина волны уменьшается в  раз. Сдвиг волн по фазе на 180° эквивалентен разности хода, равной половине длины волны в более плотной среде, то есть.

Необходимо также учесть тот факт, что волна 2 до встречи с волной 1 на поверхности A проходит дополнительно расстояние 2d. Например, если, то волны 1 и 2 накладываются в фазе и происходит конструктивная интерференция.

Общее условие конструктивной интерференции:

общее условие деструктивной интерференции:

Поскольку в солнечном свете присутствуют все длины волн, интерференционная картина является радужной.

Мы приняли приближение, что свет внутри плёнки распространяется перпендикулярно поверхности и проходит расстояние . Но когда мы смотрим на плёнку, мы видим разные её точки немного под разными углами, и свет, распространяясь внутри плёнки под некоторым углом, проходит расстояние чуть больше, что повлияет на интерференционную картину для разных длин волн. Мы это вычислять не будем, но это тоже причина, по которой мы под разными углами видим интерференционные максимумы разных цветов.

Ещё один способ увидеть интерференционную картину ― положить плосковыпуклую линзу на плоское стекло, об этом способе вы узнаете в ответвлении.

Ещё в одном ответвлении вы ознакомитесь с применениями интерференции в технике.

Дифракция

Дифракция ― отклонение волн от прямолинейного распространения. Дифракцию механических волн пронаблюдать легко. Мы слышим звуки из соседней комнаты; небольшой камень, торчащий из воды, не мешает распространению морской волны. Дифракция наблюдается в любых волновых процессах, нужно только, чтобы размер препятствия был сравним с длиной волны. Поэтому телевизионный сигнал (ультракороткие радиоволны) распространяется прямолинейно, и если телебашня находится за горизонтом, принять её сигнал вы не сможете ― рельеф оказывается слишком большим препятствием. А радиоволны с длиной волны порядка километров распространяются на сотни и тысячи километров, даже немного огибая земную поверхность.

Рассмотрим явление дифракции на примере механических волн.

Все замечали, что музыка, раздающаяся издалека, несколько искажена: в ней не хватает высоких частот. Особенно это заметно, если звук доносится к вам из соседней квартиры. В значительной степени это связано с дифракцией: звуки низких частот (с большой длиной волны) огибают препятствия и достигают ваших ушей полностью, а звуки высокой частоты не могут огибать все препятствия и отражаются от них.

Загородить лодку от морских волн может остров, но спрятаться даже за большим камнем ей не удастся. Волны в тихой гавани или в морском порту обычно хоть и невелики, но в порт всё же проникают. В широкий залив морские волны проходят почти беспрепятственно. Схематически дифракцию морских волн при проходе в порт можно представить так.

Из сравнения рисунков 20а и 20б видно, что дифракция (отклонение от прямолинейного распространения) волн больше при прохождении через узкий вход (при этом высота волн обычно меньше). Из сравнения рисунков 30б и 30в следует, что короткие волны отклоняются от прямолинейного пути меньше (меньше дифракция).

Как и дифракция механических волн, дифракция света происходит при прохождении световой волны через маленькое отверстие на границе препятствий. Например, если свет от далёкого источника (или лазерный луч) проходит через небольшую щель, то, падая на экран, он создает дифракционную картину.

На экране образуется широкая светлая полоса (центральная полоса ― это изображение щели) и ряд менее ярких боковых полос.

Боковые полосы называются вторичными максимумами. Тёмные промежутки между светлыми полосами называются минимумами. Обратите внимание: щель у нас одна, в отличие от предыдущих примеров, когда мы рассматривали интерференцию.

Такую картину нельзя объяснить, оставаясь в рамках геометрической оптики, которая утверждает, что лучи света распространяются прямолинейно и должны создавать на экране чёткое изображение щели.

Ещё интереснее дифракционная картина, возникающая, если между источником света и экраном расположено препятствие.

Между источником (лазером) и экраном помещена небольшая монета.

На экране видна тень монеты и множество концентрических светлых и тёмных колец. Самое удивительное ― это маленькая яркая точка в центре тени монеты.

Образование этой яркой точки в центре тени объясняет принцип Гюйгенса — Френеля, который предсказывает конструктивную интерференцию в этой точке. На краю монеты происходит дифракция световых волн, те из них, которые попадают в центр тени, проходят равные пути. Поэтому центр тени является точкой конструктивной интерференции, и в нём образуется светлое пятно.

Французский физик Френель дополнил принцип Гюйгенса, введя в него понятие интерференции. Принцип Гюйгенса — Френеля утверждает, что каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства определяется интерференцией этих волн.

Рассмотрим теперь подробнее дифракцию света на щели.

Изучая интерференцию, мы предполагали, что щели, например в опыте Юнга, очень узкие, и считали их источниками света, имеющими вид отрезков прямой, то есть не учитывали их ширину.

Рассмотрим теперь дифракцию света на одной щели, имеющей небольшую конечную ширину. Свет, проходящий через такую щель, отклоняется от прямолинейного распространения и формирует на экране дифракционную картину. Такая дифракция называется дифракцией Фраунгофера. В этом случае взаимодействуют волны, идущие от разных частей одной щели, а не от разных щелей, как в опыте Юнга.

Пусть на щель шириной падает плоская световая волна с длиной волны. Все волны, излучаемые по принципу Гюйгенса точками щели, имеют одну фазу.

Рассмотрим две половины щели шириной по и 5 параллельных лучей, идущих под углом θ к направлению падающего света.

Эти лучи указывают одно из направлений распространения вторичных волн.

Разность хода волн 1 и 3, 2 и 4, 3 и 5 равна. Если эта разность хода в точности равна, то две волны каждой пары будут уничтожать друг друга в результате деструктивной интерференции. То же касается всех других пар волн, идущих из точек щели, отстоящих друг от друга на. Таким образом, волны из верхней половины щели интерферируют деструктивно с волнами из нижней части щели, если

 или.

Если повторить операцию, разделив щель не на 2, а на 4 части, то можно получить условие.

При делении на 6 частей получится и так далее.

Поэтому общее условие деструктивной интерференции для щели шириной a:

Последнее выражение дает направления θ на области с нулевой интенсивностью света (тёмные полосы). Но оно ничего не говорит об интенсивности света в других направлениях, то есть об интенсивности светлых полос, расположенных между тёмными.

Мы не будем определять интенсивность света в светлых полосах, ограничимся рисунком.

Давайте рассмотрим не одну щель, а систему параллельных щелей, расположенных с заданной периодичностью. Такую систему назвали дифракционной решёткой. Дифракционной решёткой может служить, например, стеклянная пластинка с нанесенными на неё параллельными штрихами. Гладкие участки между штрихами выполняют роль щелей для света. У типичной дифракционной решётки на каждом сантиметре около 5000 штрихов, то есть расстояние между штрихами.

На рисунке схематически представлен фрагмент дифракционной решётки, на которую перпендикулярно падает плоская световая волна.

Распределение интенсивностей на экране является совместным эффектом дифракции и интерференции. Каждая щель вызывает дифракцию, а отклонившиеся световые волны затем интерферируют. Кроме того, каждая щель является источником волн, при этом все волны излучаются в фазе. Тем не менее, для некоторого произвольного угла θ, отмеряемого от горизонтальной линии, волны проходят разное расстояние до определённой точки P на экране.

Разность хода волн из соседних щелей равна. Если она равна одной длине волны или целому числу длин волн, волны от всех щелей будут в точке P в одной фазе, и в этой точке будет наблюдаться светлая линия. То есть условие максимумов интерференционной картины для угла θ:

Свет, излучаемый щелью под любыми другими углами, будет почти полностью уничтожаться деструктивной интерференцией с волной от другой щели решётки. Все такие пары в результате дадут минимум интенсивности излучения в этом направлении.

Зная величины d и θ, уравнение дифракционной решётки можно использовать для определения длины волны света. А то, что для разных длин волн получаются разные углы, под которыми наблюдается максимум излучения, можно использовать для разложения белого света в спектр и выделения монохроматичных волн.

На этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Физика. Базовый уровень. 11 класс: учебник / В. А. Касьянов. ― 7-е изд., перераб. ― М.: Дрофа, 2019. ― 288 с.

2. Физика: Базовый уровень: 11 класс: учебник / Г. Я. Мякишев, М. А. Петрова, О. С. Угольников и др. ― М.: Дрофа, 2018. ― 476 с.

3. Физика. 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, В. М. Чаругин. ― 23-е изд. ― М.: Просвещение, 2014. ― 400 с.

4. Генденштейн Л. Э. Физика. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровень) / Л. Э. Генденштейн, Ю. И. Дик ― М.: Мнемозина, 2014. ― 384 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «eduspb.com» (Интерференция) (Источник)

2. Интернет-портал «toehelp.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «youtube.com» (Источник)

4. Интернет-портал «exir.ru» (Источник)

5. Интернет-портал «class-fizika.ru» (Источник)

6. Интернет-портал «eduspb.com» (Дифракция) (Источник)

Домашнее задание

1. В каких случаях приближённо справедливы законы геометрической оптики и можно не учитывать волновые свойства света?

2. Какие вы знаете способы разделения одной световой волны на две волны, способные к интерференции? Отличаются ли интерференционные картины при их использовании?

3. Вы помните игрушку «Мыльные пузыри». Это тонкая округлая рамка, которую опускают в мыльный раствор и затем выдувают пузыри. Объясните, что можно увидеть на рамке до их выдувания, если держать рамку так, чтобы её плоскость была вертикальна, и рассматривать плёнку на рамке в отражённом свете на темном фоне?

4. Задача. Для определения длины волны света использовали дифракционную решётку, имеющую 800 штрихов на 1 см, на которую перпендикулярно её плоскости направили пучок света. Расстояние между третьими максимумами, расположенными на экране слева и справа от центрального, оказалось равным 36 см. Экран расположен параллельно решётке на расстоянии 1,4 м от неё. Определите длину волны света в пучке. Можно считать, что для малых углов sin φ ≈ cos φ.

Список использованных источников:

Рис. 1–19, 30–37. Графический дизайнер Гладких О. Ю.