04. Электромагнитные колебания. Профильный уровень

Колебательный контур

Вы никогда не задумывались, как мы получаем информацию с МКС или от аппаратов, которые отправлены к разным планетам? А как ваш компьютер или ноутбук подключается к интернету без каких-либо проводов? И не просто подключается, а ещё и обменивается информацией с другим компьютером, который может быть подключён к интернету тоже без всяких проводов.

То есть мы умеем передавать информацию на расстояние без переноса вещества и вообще без самого вещества (в космосе практически вакуум).

Мы уже рассматривали звук, как способ передачи информации без переноса вещества, изучили, при каких условиях он возникает, и назвали его волной. На уроке по ссылке (Механические колебания и волны) мы рассмотрели механические колебания и волны, подробно остановились на модели гармонических колебаний и волн.

Но звук хоть и не сопровождается переносом вещества, распространяется по веществу, так как распространяется смещение частиц вещества.

Но изменяться может не только состояние вещества, но и параметры поля. Мы уже знаем такие примеры: если отпустить чашку, она упадёт на пол, хотя её никто не тянет и непосредственно на неё не воздействует. Это проявление действия гравитационного поля (в данном примере — Земли).

Нас сейчас будет интересовать распространение изменений параметров электромагнитного поля, которое назвали электромагнитной волной. Для её распространения не нужно вещество.

Чуть позже мы поговорим о том, что для распространения электромагнитной волны должны изменяться электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля, и это изменение может быть периодическим. Простая и удобная модель, которая описывает множество реальных случаев, — гармонические волны, которые представляют собой распространение гармонических колебаний. И сейчас давайте начнём с изучения этих колебаний, а к волнам перейдём позже. Если провести аналогию с механическими волнами, то мы сначала рассмотрим колебания струны, а уже потом займёмся изучением звука, который она распространяет.

Колебаниями мы называем изменение состояния некоторой системы, которое повторяется. А под состоянием системы мы понимаем значения физических величин, которыми мы эту систему описываем. При электромагнитных колебаниях мы рассматриваем изменения тока, заряда, электрического и магнитного полей и т. д.

Как мы уже знаем (Электромагнитные волны и свет), такие колебания возможны в электрической цепи, содержащей конденсатор C и катушку индуктивности L. Рассмотрим подробнее такую цепь (её назвали колебательным контуром) и процессы, которые в ней протекают.

Вспомним электрические свойства конденсатора и катушки индуктивности.

Конденсатор представляет собой две проводящие пластины, отделенные друг от друга слоем диэлектрика (это может быть просто воздух). Подключим к пластинам конденсатора источник постоянного тока. Пластина конденсатора, подключенная к положительной клемме источника, приобретает положительный заряд, а другая будет иметь равный ему по модулю отрицательный заряд. Электрическое поле между пластинами направлено против поля источника, и в процессе зарядки оно достигает такой величины, что движение зарядов цепи прекращается. Конденсатор теперь считается заряженным.

Разность потенциалов между пластинами заряженного конденсатора, где C — емкость конденсатора. Величина C зависит от размеров пластин, толщины диэлектрика, его свойств, а физически означает, сколько заряда приобретет конденсатор при увеличении разности потенциалов между его обкладками (пластинами) на 1 вольт.

Единица измерения C — фарад ().

Соединим пластины конденсатора проводом (можем считать его резистором, так как сопротивление провода в любом случае не нулевое). В этом случае конденсатор разряжается, заряды с одной пластины перетекают на другую. При этом может выделяться энергия в виде тепла, искры и т. д. Следовательно, в заряженном конденсаторе имеется запас энергии. Это потенциальная энергия, т. к. она, пока конденсатор заряжен, определяется не движением, а только положением зарядов.

Вспомним, потенциальную энергию мы определяли через работу, которая была выполнена потенциальной силой при приведении системы в данное состояние (Законы сохранения). Давайте определим работу, которую совершил источник питания в процессе зарядки, это и будет потенциальная энергия заряженного конденсатора. Для того, чтобы перенести заряд с одной обкладки на другую при разности потенциалов между ними U, источник совершает работу.

Мы знаем, что, поэтому. Чтобы получить полную работу W нужно просуммировать (проинтегрировать) последнее выражение для заряда, меняющегося от 0 до Q. Этот приём нам знаком, мы неоднократно проводили подобное суммирование (Законы сохранения, Магнитное поле, Электромагнитная индукция).

Полная работа W равна площади прямоугольного треугольника с катетами Q и, т. е..

Следовательно, энергия электрического поля заряженного конденсатора.

Поскольку напряжение на обкладках конденсатора , энергию можно выразить и через напряжение

.

Свойства катушки индуктивности мы изучали на одном из предыдущих уроков (Электромагнитная индукция), напомним их вкратце.

Энергию магнитного поля, запасаемую в катушке индуктивности, можно условно считать кинетической энергией, т. к. она зависит от движения (электрического тока, т. е. движения зарядов). Вспомним еще, что ЭДС самоиндукции

Кроме того, индуктивность L  является в электрических цепях инерционной характеристикой, аналогичной массе в механике. Почему это важно — об этом подробнее в ответвлении.

Колебательный контур LC

Соединим конденсатор (C) и катушку индуктивности (L) в простую электрическую систему. Такую схему называют колебательным контуром или LC-цепью (по обозначению составляющих элементов). Чтобы в системе начались колебания, нужно сначала включить внешний источник тока (на схеме — источник ЭДС) и зарядить конденсатор.

При таком положении переключателя ток i течет к конденсатору и переносит положительный заряд на верхнюю обкладку, отрицательный — на нижнюю. Ток течёт, пока конденсатор не зарядится. Тока через катушку нет.

Вначале ток максимален, а затем постепенно уменьшается (по мере того как при накоплении заряда возникает электрическое поле, направленное против поля источника). Ток прекращается, когда напряжение на обкладках конденсатора станет равным ЭДС источника.

Итак, в процессе зарядки конденсатора ток в цепи уменьшается от начального максимального до нуля, а напряжение на обкладках конденсатора увеличивается от нуля до максимального. В конденсаторе запасена электрическая энергия

.

Рис. 4. Заряженный от внешнего источника конденсатор LC-контура (слева). Зависимость тока в цепи (красный) и напряжения на конденсаторе (синий) от времени. Момент t = 0 соответствует началу зарядки незаряженного конденсатора от внешнего источника

Рассмотрим теперь процесс разряда конденсатора, который в рассматриваемой системе начинается при выключении источника.

При таком положении переключателя источник тока отключен, конденсатор C и катушка индуктивности L образуют замкнутую цепь, мы её договорились называть колебательным контуром.

Сначала конденсатор заряжен до максимального заряда и максимального напряжения на обкладках, поэтому в катушке индуктивности начинает протекать ток. Сила тока вначале минимальна и лишь постепенно увеличивается до максимального значения.

Причина этого связана с явлением самоиндукции — вспомните, ток в катушке не нарастает мгновенно (та самая инерционность, о которой мы уже говорили). Почему сила тока увеличивается постепенно и как это объяснить с помощью явления самоиндукции — мы подробно изучали на уроке, который вы можете вспомнить по ссылке (Электромагнитная индукция).

В процессе разрядки конденсатора уменьшается его заряд, а также напряжение на его обкладках и энергия электрического поля. Одновременно с этим постепенно увеличиваются сила тока и энергия магнитного поля тока поля катушки.

По закону сохранения энергии полная энергия в системе равна сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке индуктивности, и она не изменяется.

В тот момент времени, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля внутри него станет равной нулю, а энергия магнитного поля будет максимальной, максимальной будет и сила тока.

Различными потерями, которые неизбежны при практической реализации, мы при рассмотрении «идеальной» модели пренебрегаем.

В это время напряжение на обкладках конденсатора и, следовательно, разность потенциалов на концах катушки индуктивности равны нулю, но ток в цепи не прекращается. Причина опять в явлении самоиндукции, ток не прекращается мгновенно, он к этому времени только успел увеличиться до максимума. Как только ток начнет уменьшаться, будет уменьшаться и магнитный поток в катушке, значит, появится, которая будет препятствовать причине, вызвавшей уменьшение потока (выполняется закон Ленца). Следовательно, будет направлена так, чтобы поддерживать ток в цепи. Мы помним, что конденсатор к этому моменту разряжен, но дальнейшее протекание тока — это движение заряда, и этот заряд накапливается, конденсатор заряжается. Полярность конденсатора будет уже противоположна той, что была изначально. Положительные заряды накапливаются на нижней пластине, а отрицательные заряды — на верхней. Индукционный ток будет течь до тех пор, пока конденсатор вновь не зарядится до максимального заряда.

Дальше процесс мог бы повторяться бесконечно, если бы в цепи не было потерь энергии. Это может быть нагревание проводов, протекание заряда через диэлектрик в конденсаторе и т. д. Но в идеальном контуре LC в модельном случае колебания бесконечны.

Свободные электромагнитные колебания

Мы рассмотрели процесс электромагнитных колебаний на качественном уровне: нам понятно, что ток в катушке возрастает, заряд конденсатора тем временем уменьшается и т. д. — с этим разобрались. Но математического описания этого процесса, нужного для решения задач, мы пока не получили. Давайте этим займёмся.

Запишем полную энергию колебательного контура как сумму энергий электрического и магнитного поля. Полная энергия колебательного контура сохраняется, так как действуют только потенциальные силы. Запишем:

т. е. энергия электрического поля конденсатора и магнитная энергия катушки индуктивности периодически превращаются друг в друга. Здесь  и — максимальный ток через катушку и максимальный заряд конденсатора, в соответствующие моменты времени. А I и Q — это просто значения тока и заряда в некоторый отдельно взятый момент времени. Их часто обозначают малыми i и q, чтобы не путать с максимальными значениями.

Когда мы имеем дело с величинами, значения которых всё время изменяются, нам удобно применять инструмент математики — производную, так как производная некоторой переменной по времени — это скорость изменения этой переменной.

Полная энергия колебательного контура W не изменяется, она равна константе — значит, её производная по времени равна нулю. Запишем:

В левой части уравнения производная суммы равна сумме производных:

         (*)

Здесь переменные, которые зависят от времени, — это ток I и заряд Q, а L

 и C — постоянные коэффициенты. Возьмём производные каждого слагаемого:

Получили, что первое уравнение теперь выглядит так:

Вспомним, что сила тока — это скорость изменения заряда, то есть. Тогда уравнение принимает вид

Разделив обе части на I, получаем:

Производная равна второй производной заряда. Подставляя это в уравнение, получаем:

Обозначим постоянный коэффициент как, то есть получится.

Это дифференциальное уравнение: мы получали такие же уравнения для пружинного и математического маятников, мы их тогда называли уравнением гармонического осциллятора. Там вместо заряда было механическое перемещение или координата, на решение это никак не влияет. Решать такие дифференциальные уравнения мы не умеем, поэтому, как и для механических колебаний, запишем готовое решение.

Если за начальный момент времени принять момент, когда конденсатор заряжен до, решением уравнения будет:

Это гармоническое колебание (то есть по синусоиде) с амплитудой, циклической частотой, а значит периодом –.

Записанное нами уравнение для периода свободных колебаний колебательного контура выделяют отдельно, ему даже дали название: формула Томсона. Видно, что период (а, значит, и частота) свободных колебаний определяются только параметрами системы: ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки. Поэтому эту частоту часто называют собственной частотой данного контура, мы к этому еще вернемся.

Колебания тока и напряжения на обкладках конденсатора тоже являются гармоническими

Как видите, ток в этой цепи «запаздывает» относительно напряжения на четверть периода — это соответствует нашим качественным описаниям процесса, где мы говорили об инерционности тока в катушке.

Это идеальная модель, в ней нет потерь энергии, и колебания протекают бесконечно: мы можем в уравнения подставить какое угодно время t и получим результат. Но «какое угодно» время нам и не нужно. В реальных колебаниях мы рассматриваем ограниченное количество циклов, и на протяжении этого ограниченного времени модель может неплохо совпасть с реальностью.

Но часто бывает, что потерями энергии даже на небольшом промежутке времени пренебречь нельзя. Тогда модель нужно дополнить: можно считать, что в цепи есть сопротивление R и основные потери идут на выделение теплоты в этом сопротивлении (в проводах, резисторе или в чём-нибудь ещё, что есть в цепи).

Количество теплоты можно посчитать, применив закон Джоуля — Ленца:

Так как сила тока изменяется, вычисления усложняются, но это всё равно можно посчитать и получить затухающие колебания: похожие на те, что вы видите на графике . У таких колебаний период тоже будет отличаться от идеального случая. Он будет немного больше, что логично: при наличии сопротивления заряд в системе будет двигаться медленнее, и цикл колебаний будет занимать больше времени. Но для простых расчетов формулы Томсона нам будет достаточно.

Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Колебания в контуре затухают постепенно: каждый раз в начале очередного колебания, когда конденсатор становится полностью заряженным, заряд на нем оказывается несколько меньше, чем в начале предыдущего колебания. Если в эти моменты в колебательный контур вводить дополнительный заряд, то колебания в нем будут затухать медленнее, а если этот дополнительный заряд будет в точности компенсировать потери за период, то колебания будут незатухающими. Вспомните, похожим образом мы поступали, когда в нужный момент подталкивали качели (Механические колебания), тоже компенсируя потери энергии на трение. Такие колебания мы называли вынужденными — здесь есть внешнее «вмешательство» в процесс, выполняется работа внешних сил.

В случае с электромагнитными колебаниями добавлять заряд нужно тоже в определённые моменты времени. Например, если мы добавим положительный заряд на пластину, когда она заряжена отрицательно, это уменьшит модуль заряда пластины (похоже на то, как если бы мы толкнули качели против их движения). Чтобы работа внешних сил шла на увеличение энергии колебаний, частота действия вынуждающей силы должна совпадать с частотой свободных колебаний в данном контуре, или другими словами, с собственной частотой контура.

Случаи, когда поступающая энергия почти компенсирует или в точности компенсирует потери, мы упомянули. Рассмотрим, что будет, если добавка энергии будет превышать потери. Тогда амплитуда колебаний вырастает, и это явление, как и в механике, называют резонансом.

Как можно обеспечить периодическое внешнее воздействие?

Представим, что мы можем периодически на короткое время переводить ключ на схеме в положение «вкл.» . В нашей схеме делать это надо тогда, когда верхняя пластина конденсатора заряжена положительно, в этом случае заряд конденсатора будет пополняться. Если же включать источник в то время, когда верхняя пластина отрицательна, то, как мы обсудили, будет просто уменьшаться заряд отрицательной пластины, т. е. конденсатор будет разряжаться.

На практике частота электромагнитных колебаний обычно составляет килогерцы, мегагерцы или больше, а это миллионы переключений ключа в секунду — это нереализуемо. Поэтому периодическое подключение источника питания обеспечивают электронные устройства, которые подают напряжение к конденсатору в одну половину периода и отключают подачу напряжения в другую половину периода, либо меняют полярность подаваемого напряжения каждые полпериода.

Может быть другой вариант: вынуждающее воздействие — это тоже электромагнитные колебания, например, вызванные принятой антенной волной. И опять же, если их частота совпадает с собственной частотой колебательного контура, амплитуда колебаний в контуре резко возрастает.

До каких значений возрастает амплитуда? В идеальном колебательном контуре, без учёта потерь энергии, она возрастала бы бесконечно. Действительно, энергия добавляется, а потерь нет — ей остаётся только увеличиваться. Даже если учесть потери энергии, всё равно поступление энергии в каждом цикле колебаний больше, чем потери — должно быть бесконечное увеличение амплитуды. Но посмотрите на уравнение для выделяющейся теплоты: она пропорциональна квадрату силы тока. То есть при увеличении силы тока, а значит и амплитуды колебаний, потери тоже увеличиваются, и с некоторого момента времени поступающей энергии будет хватать ровно на то, чтобы их компенсировать. Как быстро этот предел наступит — зависит от коэффициента, сопротивления R.

Покажем это на графике зависимости амплитуды колебаний от частоты внешнего воздействия. При частотах, далёких от собственной частоты колебаний, амплитуда мала, а при совпадении частоты воздействия с собственной частотой контура амплитуда колебаний возрастает до некоторого предела, который в нашей модели определяется сопротивлением R в цепи.

При совпадении частоты внешнего воздействия с частотой собственных колебаний LC-цепи наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний тока — явление резонанса

В технике резонанс используется для того, чтобы «выбрать» для обработки колебания только нужной нам частоты — вынуждающее действие на других частотах просто не будет вызывать в данном контуре колебания с заметной амплитудой. Так, изменяя собственную частоту колебательного контура радиоприёмника, мы настраиваем его на приём сигнала нужной нам частоты.

Список использованных источников:

Рис. 1–11. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.