08. Элементы теории волн. Профильный уровень

Волновое движение

Можно ли руководить космическими полётами, зная одно уравнение: 

? Некоторые задачи это уравнение, конечно, позволяет решить. Но возникает множество более сложных задач: ускоренный взлёт, реактивное движение, наложение движения ракеты на вращение Земли и другие проблемы. Для этих задач нужны новые математические инструменты, которые мы получаем, совершенствуя предыдущие.

Этот подход применим к любым задачам: мы движемся от простого к более сложному. Давайте рассмотрим несколько более сложных моделей для описания волн. Этот урок требует очень хорошего уровня математической подготовки, поэтому местами он очень сложный даже для профильного уровня. Так что, если он окажется сложен для Вас, можно смело его пропускать. Но полезно постараться разобраться хотя бы на каком-то уровне, не вникая подробно в математику.

Вспомним кратко, что мы знаем о волнах.

Волна — это возмущение, переносящее энергию в пространстве без переноса вещества. Механические волны создаются механическими возмущениями (или, если возмущения периодичные, — колебаниями) и распространяются от источника. Основные два вида волн — поперечные и продольные. Поперечную волну можно создать, например, в верёвке, двигая вверх и вниз её свободный конец. Элементы верёвки колеблются при этом в вертикальной плоскости, но волна распространяется от источника, то есть в направлении, перпендикулярном колебаниям. Примером продольной волны является звуковая волна — это последовательность продольных колебаний атомов и молекул, образующих чередующиеся области сжатия и разрежения в среде (например, в воздухе), рис. 1.

Процесс распространения волны зависит от того, где она распространяется. Можно выделить две категории волн: (1) распространяющиеся в неограниченной среде, то есть в среде, которую мы считаем неограниченной (волны на поверхности воды, звуковые волны в воздухе и тому подобное); (2) распространяющиеся в ограниченной области (волна в струне музыкального инструмента, электрические колебания в части проводника и т. п.). Первые волны называют бегущими, вторые — стоячими.

Опишем волну с помощью волновой функции.

Рассмотрим незатухающую бегущую волну, распространяющуюся вдоль некоторой оси. Пусть x — расстояние от источника (координата точки), y — значение возмущения (отклонение значения изменяющейся величины от положения равновесия), которое может быть, например, высотой подъема воды в случае волны на поверхности жидкости или плотностью (либо давлением) в случае звуковой волны. Считаем, что волна движется вправо со скоростью v.

Рис. 2. Состояние волны

Красным цветом изображено состояние волны в начальный момент времени t=0, а синим — её состояние в другой момент времени t>0.

У затухающей волны амплитуда (но не частота, скорость и длина волны) уменьшается при возрастании x и t, то есть при отдалении от источника и по истечении некоторого времени.

В момент t=0 волна описывается уравнением,из которого видно, что в точках, отстоящих друг от друга на целое число длин волн λ, то есть в точках (n — целое число), значения y

 будут одинаковыми.

В момент времени t, поскольку волна движется вправо, в точке x окажется тот участок начальной волны, который был левее на расстоянии vt, то есть

.

Скорость, период и длина волны связаны соотношением, поэтому значения y в точке x

 будут одинаковыми в моменты времени (n — целое).

Волновую функцию можно записать проще, если использовать такие параметры волны, как волновое число и угловую частоту:

 или, если в начальный момент (t=0) в источнике (точке x=0) значение y

 было ненулевым. Параметр θ называется начальной фазой колебаний (источника).

Рассмотрим случай, когда волна распространяется в ограниченной области, например, в струне или в резонаторе музыкального инструмента. Здесь особенность состоит в том, что волна отражается от границ области, которую мы рассматриваем, и в каждую точку этой области будут приходить две волны. Одна волна прямая (от источника), другая — отражённая.

Они движутся в разные стороны, но частоты и амплитуды у них одинаковые, их волновые функции имеют вид: и. В каждой точке x отклонения y, вызванные каждой волной, сложатся, найдём их сумму в каждой точке x:

Можно рассмотреть это уравнение волны как уравнение колебаний, а множитель перед этим косинусом, то есть — это амплитуда этих колебаний. Получается, в разных точках x мы получим гармонические колебания, и амплитуда этих колебаний изменяется от точки к точке в соответствии с функцией.

Из приведенной формулы видно, что в точках  , т. е. при

, y=0 всегда (при любых t). Эти точки называются узлами.

В точках, где, то есть при, y(x) колеблется с максимальной амплитудой равной 2A. Эти точки называются пучностями (антиузлами). Это распределение пучностей и узлов не меняется со временем: где были узлы и пучности, там они и остаются. Поэтому такую волну назвали стоячей, именно так выглядит стоячая волна в струне.

Мы рассмотрели волну, отражённую от одной границы области, в которой она распространяется. Но часто мы имеем дело со случаем, когда с противоположной стороны тоже есть граница, и в данную точку приходит ещё одна отражённая волна. Например, струна музыкального инструмента закреплена с обоих концов, и волна отражается от обеих границ.

В такой системе будут поддерживаться стоячие волны только в том случае, если все отражённые волны будут приходить в данную точку в одинаковой фазе. Это выполняется при условии, что на длине струны укладывается целое число n полуволн, то есть целое число узлов.

Мы пришли к ответу, почему струна издаёт именно такой звук, на какой она настроена! Если по струне ударить, из всех волн, которые могли бы возникнуть в струне, останутся только те, которые удовлетворяют условию, то есть определённый набор длин волн, а значит и частот, что и определяет звучание.

Возьмём элемент среды с координатой x.

Его вертикальное отклонение мы уже обозначили y. А его вертикальная скорость движения равна производной отклонения этого элемента по времени, считаем, что все остальные величины постоянны.

.

Вертикальное ускорение — производная скорости по времени, аналогично:

.

В эти выражения входят так называемые частные производные функции нескольких переменных по одной переменной (в этом случае — по t) при постоянных значениях других переменных (x).

Аналогично можно вычислить производную уравнения y(x,t) по координате x, считая теперь время постоянным. То есть мы рассматриваем как бы «застывшую» волну, как на стоп-кадре.

 и.

Обратим внимание на то, что и имеют общую часть,. Выразим её из обоих уравнений:

.

Скорость волны, поэтому.

Это выражение назвали волновым уравнением, и волновые функции

 являются его решением. Теперь, даже не решая это уравнение, мы будем знать: если какой-то процесс описывается уравнением такого вида (вторая производная величины по координате пропорциональна второй производной этой же величины по времени) — то этот процесс представляет собой волну.

Система уравнений Максвелла

Джеймс Максвелл вывел теоретически, что электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля в области пространства, не содержащей электрических зарядов и токов, подчиняются волновому уравнению, то есть распространяются в пространстве в виде волны (электромагнитной). Делая это предсказание, он основывался на законах электромагнетизма, в то время уже установленных. Рассмотрим их по порядку.

Законы Гаусса

Рассмотрим положительный заряд q в центре сферы радиусом r.

Силовые линии электрического поля идут от заряда, и пересекают сферу. Вектор напряжённости электрического поля в точке пересечения перпендикулярен элементу поверхности сферы. Чтобы было удобно задавать положение плоскости в пространстве, обычно проводят перпендикуляр единичной длины, его называют нормаль; итак, вектор параллелен нормали.

Мы уже вводили понятие потока для вектора магнитной индукции. Давайте аналогично запишем поток вектора через небольшой элемент сферической поверхности, он равен,

здесь — скалярное произведение векторов и. Так как длина — единица (мы так договорились), произведение векторов позволит учесть только угол между ними.

Чтобы найти поток вектора напряжённости электрического поля через всю сферическую поверхность, можно разбить эту поверхность на малые участки, вычислить поток через каждый такой участок и сложить. Понятно, что делать это «вручную» слишком громоздко, таких участков может быть огромное количество. Этот приём записывают математически как интеграл и обозначают следующим образом:

Есть приёмы вычисления таких интегралов, мы их пока не знаем, поэтому давайте сейчас это уравнение воспринимать как сокращённую запись «сумма потоков вектора через малые элементы сферической поверхности... и т. д.». И ответ мы сразу записали, уже вычисленный до нас.

Из закона Кулона . Подставив в выражение для потока, получим, что 

. Константа Кулона,  поэтому. (1)

Такая формулировка закона Кулона называется законом Гаусса (1).

Мы рассмотрели задачу для точечного заряда и сферической поверхности, но оказывается, что закон Гаусса верен для любой замкнутой поверхности (не обязательно сферической) и для любого числа зарядов внутри неё, и это математически доказывается. Если внутри поверхности нет зарядов, то поток вектора

 через неё.

Для потока магнитной индукции формулируется аналогичный закон Гаусса:

. (2)

Равенство этого потока нулю означает, что магнитных зарядов (монополей) в природе нет. Линиям магнитного поля не на чем «сходиться», негде заканчиваться и начинаться, поэтому если взять любую замкнутую поверхность, сколько таких линий в неё «войдёт», столько же «выйдет».

Закон Фарадея

Закон электромагнитной индукции Фарадея гласит, что ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

.

Закон электромагнитной индукции остается верным и без проводящего контура, проводник только обнаруживает ЭДС по возникающему в нём току.

Вспомним, что ЭДС равна работе электрической силы (напряжённости электрического поля) при перемещении единицы заряда, т. е. скалярному произведению(). Следовательно, равна работе при перемещении заряда по замкнутому контуру. Так как на разных участках траектории получаем разные направления поля и перемещения, снова дробим контур на участки и записываем работу как интеграл

.

Такой интеграл назвали циркуляцией вектора по замкнутому контуру, и пока давайте воспринимать его тоже как способ записать кратко длинную фразу «сумма работ электрического поля по перемещению единичного заряда на малых участках замкнутого контура». Тогда закон Фарадея записывается в следующей форме:

. (3)

Закон Ампера — Максвелла

Закон Ампера тоже можно записать в форме циркуляции вектора, но не, а:

Рассмотрим проводник с током и в качестве контура возьмём окружность с этим проводником в центре.

Тогда значение B в каждой точке этой окружности будет одинаковым, его как константу можно вынести за знак интеграла и потом подставить значение:

.

Интеграл — это просто сумма длин всех участков окружности, они каждый раз умножаются на единицу, то есть это длина окружности. Подставим:

.

Интеграл вычисляется по замкнутому контуру, охватывающему проводник с током . Мы взяли окружность, но равенство выполняется для контура любой формы.

Закон Ампера был сформулирован только для постоянного тока, протекающего по проводнику. Такой ток называется током проводимости. Максвелл предложил более общую формулировку этого закона, которая применима и для меняющегося тока, например тока при заряде или разряде конденсатора:

Здесь  — поток вектора напряжённости электрического поля в пространстве между обкладками конденсатора, где нет зарядов и, следовательно, тока проводимости, то есть непосредственно заряд не перемещается. Такой ток назвали током смещения, т. е. меняющееся электрическое поле в конденсаторе эквивалентно току в проводнике — оно также создает магнитное поле.

Закон Ампера — Максвелла записывается следующим образом:. (4)

Этот закон справедлив для контура интегрирования, охватывающего токи и переменное электрическое поле.

Эти четыре уравнения, которые описывают законы электромагнетизма и которые мы только что разобрали, частично дополненные и выраженные в единой математической форме, образуют систему уравнений Максвелла.

. (1)

Это закон Гаусса — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную (абсолютную диэлектрическую проницаемость вакуума).

. (2)

Закон Гаусса для магнитного поля — поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен 0 (магнитных зарядов нет).

. (3)

Закон индукции Фарадея — интеграл напряжённости электрического поля по замкнутой кривой (ЭДС индукции) равен скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этой кривой.

. (4)

Закон Ампера — Максвелла — интеграл магнитной индукции по замкнутой кривой определяется токами проводимости и потоком напряжённости электрического тока, через поверхность, ограниченную этой кривой.

Эти четыре уравнения плюс выражение для силы, действующей на заряд со стороны электрического и магнитного полей, полностью описывают электромагнитные взаимодействия:

. (5)

Здесь  — векторное произведение, то есть вектор величины, перпендикулярный и, — это вектор, величина которого при умножении на заряд определяет силу Лоренца. Помните, когда мы её изучали, мы записывали выражение для её модуля, и объясняли, как определить её направление — это можно сделать по правилу левой руки. С помощью математического инструмента — векторного произведения — это можно записать коротко и математически строго.

Отметим симметричность уравнений Максвелла, т. е. тот факт, что магнитное и электрическое поля входят в уравнения одинаковым образом.

Уравнения (1) и (2) имеют одинаковый вид при q=0, уравнения (3) и (4) при также похожи (отличаются только постоянным множителем).

Если найти зависящие от времени решения системы уравнений Максвелла и, то окажется, что они удовлетворяют волновому уравнению, то есть являются периодическими функциями. Исходя из этого, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн.

Из уравнений (1–4) следует, что меняющиеся поля и индуцируют друг друга и тем самым обеспечивают распространение волны. Векторы и перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны.

У волны, изображенной на рисунке, электрическое поле всегда лежит в плоскости XY, а магнитное поле — в плоскости XZ. Такие волны, у которых поля колеблются в определенных плоскостях, называются линейно поляризованными.

На рисунке изображена волна, источник которой расположен в начале координат. Представим себе множество волн с источниками в разных точках плоскости yz, распространяющихся параллельно оси x

 и имеющих одинаковые начальные фазы. Такое множество волн называется плоской волной, а поверхность, которая содержит точки одинаковых фаз этих волн, называется волновым фронтом.

Волновой фронт плоской волны — плоскость. Точечный источник излучает волны во всех направлениях, и волновой фронт (множество точек с равными фазами) является сферой, поэтому волна, излучаемая точечным источником, называется сферической.

Энергия, переносимая электромагнитными волнами

Распространение волн сопровождается переносом энергии. Мы об этом уже говорили. Причем можно не ставить целью передачу непосредственно энергии в больших количествах – можно передавать информацию, зашифрованную в физических параметрах: той же энергии, давлении (если речь идёт о механических волнах), напряжённости электрического поля (в случае электромагнитных волн). Но даже если не считать передачу энергии первоочерёдно важной задачей, она всё равно будет сопровождать распространение волны, и с этим приходится считаться.

Непосредственно вблизи мощных источников электромагнитного излучения, таких как антенны радиостанций, радиолокаторов, передаваемая энергия может представлять опасность, и её нужно контролировать. В отдалении от радиостанции об опасности излучения речь уже не идёт, но возникает другой вопрос: достаточна ли энергия электромагнитной волны, чтобы приёмник принял её и расшифровал сигнал?

Давайте обсудим энергетические характеристики электромагнитных волн. Выберем поверхность произвольной площади S, перпендикулярную направлению распространения волны.

Энергию, переносимую волной через эту площадь за единицу времени, назовём потоком энергии электромагнитной волны:

Энергия за единицу времени — это мощность, поэтому эту величину ещё называют потоком мощности.

Разделив эту величину на площадь поверхности S, получим плотность потока энергии (или плотность потока мощности) электромагнитной волны:

.

Мы ввели характеристики, которыми удобно описывать энергию волны, но пока непонятно, как их связать с параметрами, которые мы умеем измерять и которые нам привычны — например, с напряжённостью электрического поля  или с магнитной индукцией.

Вспомним («Электромагнитные волны»), мы связывали магнитную индукцию

 с плотностью энергии магнитного поля. Здесь есть и электрическая, и магнитная составляющая поля, и в таком случае плотность энергии электромагнитного поля можно вычислить по формулам:

.

За время, распространяясь со скоростью света c, волна пройдёт расстояние. И через площадь S пройдёт излучение, которое находится в объёме.

По определению плотность энергии — это энергия, содержащаяся в объёме V:

.

Тогда в выражение для плотности потока излучение, которое мы записали чуть раньше, подставим, выраженную через плотность энергии:

.

И, наконец, запишем плотность электромагнитной волны через напряжённость электрического поля:

.

Такой величиной пользоваться неудобно, потому что напряжённость E меняется со временем по синусоиде, приобретая каждый момент новые значения. А, значит, и поток энергии будет изменяться, тогда есть смысл говорить о мгновенных значениях. Но нас больше интересуют усреднённые значения: сколько джоулей энергии проходит через каждый квадратный метр площади за секунду. Поэтому введём интенсивность электромагнитной волны как среднее значение плотности потока энергии электромагнитной волны:

.

А как найти среднее значение квадрата напряжённости E, если она колеблется по синусоиде? Не будем здесь это вычислять, а вспомним, что похожую задачу мы уже решали для тока и напряжения, которые тоже менялись по синусоиде при переменном токе. Мы тогда вычислили их действующие значения:

.

Здесь аналогично, при амплитуде напряжённости:

.

И тогда интенсивность электромагнитной волны:

.

То есть интенсивность пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля:

.

А как интенсивность зависит от расстояния до источника волн? С одной стороны, по закону сохранения энергия не должна никуда исчезать. Но опыт подсказывает, что в отдалении от излучателя (будь то Солнце, антенна радиостанции или базовая станция мобильной связи) интенсивность излучения всё же уменьшается. Давайте разбираться.

Интенсивность мы задали как среднюю плотность потока энергии:

.

Давайте возьмём сферическую волну — будем считать, что энергия распространяется одинаково во всех направлениях.

Тогда можно взять не небольшой элемент площади, а всю площадь сферы, которая окружает излучатель, и через неё будет проходить вся мощность излучения источника.

.

Считая постоянным, получили, что интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния:

.

Это и есть то убывание интенсивности с расстоянием, о котором мы говорили.

Да, закон сохранения энергии работает, потерь энергии мы не учитывали, но эта энергия распределяется по всё бóльшей площади сферы.

Допущение, когда излучение распространяется одинаково во всех направлениях, с хорошей точностью описывает звёзды. Что касается антенн, их стараются проектировать так, чтобы излучение было направленным.

Нет смысла излучать волны, направленные от антенны станции мобильной связи куда-нибудь в небо, где нет абонентов, разумнее сосредоточить излучение ближе к горизонтальной плоскости. Тогда зависимость

 будет похожа на, но с разными коэффициентами в разных направлениях — это всё тоже можно вычислить, если усовершенствовать математическую модель, как мы неоднократно делали.

На этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Физика. Углубленный уровень. 11 кл.: учебник / В. А. Касьянов. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2019. — 463 с.

2. Физика. 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений и школ с угл. изуч. Физики (профильный уровень) / пол ред. А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. — 12-е

3. изд. —  М.: Просвещение, 2011. — 416 с.

4. Генденштейн Л. Э. Физика 11 класс. В 2 ч.: учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровень) / Л. Э. Генденштейн, Ю. И. Дик. — М.: Мнемозина, 2014. — 384 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «youtube.com» (Источник, Источник, Источник, Источник, Источник, Источник)

2. Интернет-ресурс «Квант» (Источник, Источник)

Домашнее задание

1. Ультразвуковая (УЗ) очистка в водных средах является одним из самых эффективных способов удаления технологических загрязнений с поверхности оптических деталей. Ультразвуковой излучатель, работающий на частоте 43 кГц создаёт колебания амплитудой 0,5 мм. Определите фазу колебаний частиц среды в ванной с водным раствором ПАВ, используемых для отмывки деталей, через 1 с после включения излучателя на расстоянии 2 см от него и амплитуду скорости колебаний частиц среды, считая, что длина волны постоянна и равна 3,5 см. Колебания источника волн осуществляются по закону синуса и при t=0

    фаза колебаний источника равна нулю, волну считать плоской.

2. Как формируются стоячие волны? Чем они отличаются от бегущих волн? Приведите примеры их наблюдения.

3. Интенсивность излучателя радиоволн в ночное время уменьшают в 1,5 раза. Как изменяется средний квадрат индукции магнитного поля этих волн в точке, находящейся на расстоянии 1 км от излучателя по сравнению с дневным временем? Волну считать сферической.

4. Как проявляются законы Гаусса для силовых характеристик электростатического и магнитного полей?

5. Что такое ток смещения, чем он отличается от тока проводимости? Приведите примеры его возникновения.