18. Лабораторная работа № 4. Выяснение условий равновесия рычага

Условия равновесия рычага

Здравствуйте!

Представьте ситуацию: маленький ребёнок подходит к двери и толкает её, пытаясь открыть. Сначала толкает где-то посередине, и ему тяжело. Поэтому он смещается ближе к краю двери, то есть дальше от петель, и открыть дверь становится легче. Именно в этот момент ребёнок понимает, как работает рычаг. Хотя получить математическое описание этого он сможет только в 7 классе на уроках физики, но уже понятно: чем дальше от точки опоры, тем меньше нужно приложить усилий.

На уроке о простых механизмах, который доступен по ссылке, мы уже рассмотрели общий принцип, которому подчиняются простые механизмы: механическая работа по перемещению чего-либо (или затраченная на это энергия) не изменяется. Это иногда называют золотым правилом механики. И, помня, что работа  (сила , умноженная на перемещение ), мы понимаем, что уменьшить силу можно, увеличив перемещение.

Если нам нужно поднять груза (состоящего из отдельных частей) на метр, мы можем поднять его по кусочку по , совершив перемещение сто раз (рис. 1а).

Можем затащить его на ту же высоту на тележке по наклонной плоскости, совершив по этой плоскости перемещение явно больше метра (рис. 1б). Можем использовать рычаг (рис. 1в), при этом мы получим выигрыш в силе и тоже совершим большее перемещение длинным концом рычага. Можем использовать систему подвижных блоков (рис. 1г), тоже получив выигрыш в силе, но нужно будет вытащить верёвку гораздо больше, чем на метр.

Итак, мы понимаем, как выполняется золотое правило механики для простых механизмов. Мы рассматривали ситуации, когда надо было вычислять выигрыш в силе, который дают простые механизмы, например рычаг. Давайте вспомним основные моменты, а все подробности вы можете освежить в памяти, перейдя по ссылке.

Для описания рычага мы ввели понятие момента силы — это произведение силы на её плечо:

.

Плечо силы — это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила (рис. 2).

В простейшем случае, когда силы направлены перпендикулярно рычагу, плечо силы равно расстоянию от точки опоры до точки приложения силы (рис. 3).

Чтобы рычаг был в равновесии, моменты сил должны быть уравновешены. Для самого простого случая, когда у рычага одна точка опоры и на него действуют две силы, получим соотношение:

.

Его часто записывают в виде пропорции:

.

То есть рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны плечам этих сил. Или, другими словами, во сколько раз одна сила больше второй, во столько же раз её плечо меньше плеча второй силы при равновесии рычага.

Эти силы могут быть приложены по разные стороны от точки опоры, как показано на рис. 4. Такой рычаг назвали рычагом первого рода. Пример — качели-балансир.

В других случаях силы могут быть приложены по одну сторону от точки опоры. Это называют рычагом второго рода (рис. 5). Пример — консервный нож.

Могут быть и более сложные случаи, когда на рычаг действуют три силы и больше или есть несколько точек опоры. Для равновесия рычага, как и в простом случае, моменты сил должны быть уравновешены, но в равенстве будет больше слагаемых. Как строго записать это равенство, мы подробнее разберёмся в старших классах. Пока же будем использовать упрощённый подход.

• Сначала выберем точку, относительно которой будем считать моменты. Удобно брать одну из точек опоры, у нас это — точка на рис. 6.

• Определим, какие силы вращают рычаг по часовой стрелке, а какие — против часовой.

• И, наконец, запишем равенство: сумма моментов сил, которые вращают рычаг по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.

Рассмотрим пример: есть стержень, который лежит на двух опорах, на нём подвешены два груза массами и , а также стержень тянут вверх с силой , как показано на рис. 7. Запишем условие равновесия этого стержня. Точку, относительно которой будем считать моменты сил, можно выбрать любую. Выберем, например, точку опоры слева — точку . Это удобно, если, например, мы ищем силу, с которой стержень давит на правую опору.

Отметим на рисунке силы, которые действуют на рычаг: силы реакции двух опор и , вес грузов и и заданная в условии сила . Запишем плечи сил относительно точки : плечо силы равно нулю, так как эта сила приложена в точке ; плечо силы обозначим ; плечо силы ; плечо силы ; плечо силы — это длина стержня .

Теперь запишем условие: сумма моментов сил, которые вращают рычаг по ходу часовой стрелки, равна сумме моментов сил, которые вращают его против хода часовой стрелки. По часовой стрелке относительно точки стержень вращают силы и (рис. 7). Запишем их моменты, помня, что силы направлены перпендикулярно стержню: .

Эта сумма должна быть равна сумме моментов сил, вращающих стержень против хода часовой стрелки относительно точки , это силы и :

.

Момент силы мы даже не стали записывать — он равен нулю, потому что плечо силы равно нулю. Полученное равенство и будет условием равновесия рычага.

Перед нами сейчас не стояла задача найти неизвестную величину. Мы просто применили изученную модель и показали, как состояние стержня (рычага) можно описать математически в виде уравнения. Дальше из него можно будет выразить то, что нам нужно.

Ещё одну задачу на равновесие рычага решим в ответвлении.

Равновесие рычага с тремя группами грузов. Задача

Условие задачи. На рычаге подвешены четыре груза на расстоянии от точки опоры рычага и ещё четыре таких же груза на расстоянии от точки опоры с другой стороны. На каком расстоянии от точки опоры нужно подвесить два таких груза, чтобы уравновесить рычаг?

Проанализируем условие задачи.

У нас речь идёт о рычаге, уравновешенном тремя силами. Когда сил больше двух, удобно использовать для расчётов моменты сил. Давайте применим эту модель, это будет физической частью решения.

Изобразим силы на рисунке (рис. 1).

На расстоянии к рычагу приложена первая сила , где — масса одного груза. С другой стороны на расстоянии — ещё одна сила . В условии задачи ничего не сказано о том, к какой части рычага нужно приложить третью силу. Но мы понимаем, что без неё рычаг будет перевешивать вправо, так как момент второй силы больше из-за того, что её плечо больше. Поэтому прикладывать третью силу будем к левой части рычага. Отметим на рис. 1 силу (там подвешены два груза) и обозначим её плечо .

Теперь запишем условие равновесия рычага: сумма моментов сил, которые вращают рычаг по ходу часовой стрелки (а это вторая сила), равна сумме моментов сил, которые вращают рычаг против часовой стрелки (первая и третья силы). Получаем:

.

Силы приложены перпендикулярно рычагу, поэтому моменты сил равны по определению:

,

,

.

Осталось подставить моменты сил в первое уравнение и найти неизвестное, это будет математическая часть решения:

.

Разделим обе части уравнения на :

.

Выразим :

.

Вычислим :

.

Мы получили ответ, задача решена.

Итак, мы рассмотрели условия равновесия рычага в различных ситуациях. Давайте проверим, как на практике выполняется математическая модель, которую мы изучили.

Лабораторная работа. Рычаг первого рода

Тема лабораторной работы: «Выяснение условий равновесия рычага».

Сформулируем цель работы, иначе её проведение бессмысленно.

Цель: проверить на опыте условие равновесия рычага; применить момент силы как инструмент для расчёта равновесия рычага.

Для проведения работы нам понадобится рычаг, который мы закрепим на штативе, набор грузов по 50 грамм и динамометр. Записываем их в графу «Приборы и материалы».

В ходе лабораторной работы мы будем уравновешивать рычаг разными комбинациями грузов, подвешивая их на разных расстояниях от точки опоры. Но сначала нужно разместить на штативе сам рычаг (рис. 8).

Как видим, рычаг без грузов оказался не в состоянии равновесия. Это произошло потому, что сам рычаг обладает массой и на него действует сила тяжести. В математической же модели мы считали рычаг невесомым.

Чтобы эта лишняя сила не мешала остальным измерениям, нужно сделать так, чтобы её момент был равен нулю. Тогда в записи условия равновесия она не будет фигурировать. Можно считать, что сила тяжести приложена к одной точке рычага, такую точку называют центром тяжести. Если эта точка будет совпадать с точкой опоры, то плечо силы тяжести (а значит, и момент силы) будет равен нулю.

Реальный рычаг может быть с неоднородностями, из-за чего центр тяжести будет немного смещён, точка опоры тоже может быть смещена. Чтобы это компенсировать, на рычаге есть гайки на концах. Меняя их положение, мы можем сдвигать центр тяжести рычага (рис. 9).

Добьёмся того, чтобы он совпадал с точкой опоры. Теперь рычаг находится в состоянии равновесия. Момент силы тяжести самого рычага равен нулю, и он не будет фигурировать в условии равновесия, когда мы будем подвешивать другие грузы. В дальнейшем, если равновесие нарушится, повторим настройку.

На следующем этапе работы будем уравновешивать рычаг с помощью разных комбинаций грузов. Масса груза равна , значит, он действует на рычаг с силой

.

Взвешиваем этот груз с помощью динамометра (рис. 10) и убеждаемся в том, что вес груза равен , вес двух таких грузов — , а четырёх — .

Этот этап работы разделим на три:

• сначала исследуем рычаг первого рода;

• затем рычаг второго рода;

• а в конце, в ответвлении, уравновесим рычаг тремя силами.

Начнём с того, что подвесим на одну сторону рычага один груз на расстоянии от точки опоры и будем его уравновешивать, подвешивая на другой стороне рычага один, затем два и затем четыре груза (рис. 11).

Давайте вычислим, на каком расстоянии от точки опоры нужно подвесить эти грузы. У нас простой случай с двумя силами, можем использовать формулу:

,

 — это вес первого груза, равный , а  — плечо данной силы, .  — вес грузов на другой стороне рычага (одного, двух или четырёх). Выразим плечо второй силы:

.

Подставим известные значения и вычислим, на каком расстоянии от оси нужно подвесить один груз для равновесия:

.

Для двух грузов подставим :

.

И для четырёх грузов плечо будет равно:

.

Расчёты мы произвели, приступим к эксперименту. Осторожно, придерживая рычаг, подвешиваем груз. С помощью разметки на рычаге контролируем нужное расстояние до точки опоры — . Подвешиваем другой груз с другой стороны рычага. Мы вычислили, что его также нужно подвесить на расстоянии от точки опоры. Подвешиваем, добиваясь равновесия рычага, и видим, что эксперимент подтверждает расчёты (рис. 12).

Создадим таблицу. Её мы будем заполнять, выполняя последующие опыты.

Опыт 1.1. Первой мы договорились считать силу, действующую на левую часть рычага (см. рис. 12, левая часть — для читателя). Запишем: , . Вторая сила (вес груза, подвешенного на рычаг справа) тоже равна , запишем. И плечо этой силы равно .

Опыт 1.2. Теперь возьмём два груза, это значит, что их вес, то есть сила , равна . Мы определили, что для равновесия плечо силы должно быть . Подвесим грузы на этом расстоянии. Действительно, рычаг уравновешен, когда расстояние от грузов до точки опоры равно . Заполняем таблицу:  и  остались те же,  равно ,  равно .

Опыт 1.3. Проделаем то же самое для четырёх грузов, их вес равен . Согласно нашим вычислениям, для равновесия рычага точку приложения силы нужно искать на расстоянии от точки опоры. Уравновешиваем рычаг и убеждаемся в правильности расчётов. Заполняем таблицу:  и  не менялись,  равно ,  равно .

Опыт 1.4. Теперь попробуем ещё одну комбинацию: 3 груза и 4 груза, то есть силы и . Три груза подвесим на расстоянии от точки опоры рычага. А на каком расстоянии нужно подвесить четыре груза? Используем всё то же соотношение для сил и их плеч и вычислим:

,

.

Пробуем уравновесить наш рычаг. Подвешиваем 3 груза при плече силы 20 см и 4 груза на 15 см. Рычаг в равновесии (рис. 13).

Записываем силы и их плечи в таблицу: , , , .

Теперь проведём некоторые простые вычисления, чтобы убедиться в работе нашей математической модели. В таблицу внесены силы и их плечи, при которых в ходе эксперимента наш рычаг уравновешивался. Вычислим моменты этих сил. Момент силы равен произведению силы на плечо:

.

В СИ момент силы измеряют в ньютонах на метр, давайте при вычислениях плечо силы брать в метрах. Момент силы  в первых трёх опытах один и тот же: сила , плечо силы , тогда:

.

Для четвёртого опыта запишем:

.

Вычислим моменты силы  в каждом эксперименте.

В первом эксперименте (1.1): .

Во втором эксперименте (1.2): .

В третьем эксперименте (1.3): .

В четвёртом эксперименте (1.4): .

Внесём все данные в таблицу.

Таким образом, мы подтвердили, что выполняется условие равновесия рычага: моменты сил, действующих на рычаг, уравновешиваются. В каждом из четырёх опытов момент  равен моменту : в первых трёх опытах по , в четвёртом  —  .

Для простого случая с двумя силами мы использовали условие, что приложенные к рычагу силы обратно пропорциональны плечам этих сил, то есть отношение сил  равно отношению плеч . Давайте посчитаем эти отношения для каждого опыта.

В первом опыте силы равны, то есть . Во втором опыте , в третьем опыте  и в четвёртом .

Посчитаем и запишем в таблицу отношение плеч сил для каждого из четырёх опытов:

в первом опыте: ;

во втором: ;

в третьем: ;

в четвёртом: .

Как видим, для каждого из опытов отношение сил действительно равно обратному отношению их плеч: .

Внесём все значения в таблицу.

На второй и третий опыты можно посмотреть и по-другому. В опыте 1.2 вторая сила больше в 2 раза, а значит, плечо должно быть в 2 раза меньше. В опыте 1.3 сила больше в 4 раза, значит, плечо в 4 раза меньше.

Именно эти данные мы и видим в эксперименте, модель работает.

Лабораторная работа. Рычаг второго рода

Теперь исследуем, как наша математическая модель выполняется для рычага второго рода, когда обе силы приложены к одной стороне рычага. В таком случае одна сила должна быть направлена вниз, а вторая — вверх (рис. 14).

Вверх мы будем прикладывать силу с помощью динамометра, это поможет измерять её величину.

Опыт 2.1. Возьмём соотношения сил из опытов 1.3 и 1.4 (см. последнюю таблицу). На расстоянии от точки опоры оставим один груз, который действует на рычаг с силой . Тогда на расстоянии от точки опоры должна быть приложена сила .

Проверяем это на практике. Подвешиваем груз на расстоянии от точки опоры и прикрепляем крючок динамометра на расстоянии от точки опоры. Видим, что приложенная к рычагу сила равна (рис. 15).

Заполняем таблицу: записываем силы 0,5 Н и 2 Н и их плечи — 20 см и 5 см.

Опыт 2.2. В следующем опыте добавим ещё два груза. Теперь уже три груза подвешены на расстоянии от точки опоры рычага. А силу в нужно приложить уже на расстоянии (рис. 16).

Как видим, в этом случае рычаг действительно уравновешен, а динамометр показывает, что сила действительно равна .

Внесём полученные параметры в таблицу.

Случай, когда сила не перпендикулярна рычагу

Мы сегодня рассматриваем простейший случай, когда силы направлены перпендикулярно рычагу. В этом случае плечом силы можно считать расстояние от точки опоры рычага до точки приложения силы. Но что, если сила направлена под углом к рычагу (рис. 1)?

Плечо силы — это минимальное расстояние от заданной точки (в нашем случае — от точки опоры) до прямой, вдоль которой действует сила. Минимальное расстояние — это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Обратите внимание: под каким бы углом, кроме прямого, ни была направлена сила, длина этого перпендикуляра всегда меньше, чем расстояние до точки приложения силы (рис. 2).

Используя инструменты геометрии, это можно строго доказать и вычислить длину этого перпендикуляра (а это и есть плечо силы). Но пока давайте ограничимся тем, что мы увидели на рисунке: когда сила направлена под углом к рычагу, плечо силы уменьшается. Соответственно, чтобы состояние равновесия рычага сохранилось, момент силы должен остаться без изменений. Так как момент силы , при уменьшении плеча сила должна быть больше для сохранения равновесия.

Давайте проверим это на опыте. Возьмём случай, который у нас был (опыт 2.1): один груз уравновешивается силой , направленной вверх. При плечах сил и сила  равна . Как мы только что описали, если направить силу под углом к рычагу, плечо силы уменьшится, и для сохранения равновесия рычага сила должна увеличиться. Давайте попробуем. Отклонение делаем и в одну сторону, и в другую. Как видим, при любом отклонении от прямого угла сила действительно увеличивается (рис. 3).

Можно теперь заново посчитать моменты всех сил. Но ведь значения сил и их плеч мы брали из опытов 1.3 и 1.4. Значит, можем просто переписать из этих опытов значения моментов сил и отношений сил и плеч. Конечно, вы можете самостоятельно провести эти простые вычисления и убедиться, что ошибок нет.

Мы уже говорили, что рычаги первого и второго рода описываются одной математической моделью. В ходе эксперимента мы действительно убедились, что при тех же отношениях сил и плеч равновесие рычага также достигается.

Следующий опыт, с тремя силами, не является обязательным, его мы проделаем в ответвлении.

Равновесие рычага с тремя группами грузов. Эксперимент

В одном из предыдущих ответвлений мы решили задачу о равновесии рычага с тремя группами грузов (рис. 1).

При решении задачи мы использовали уравнение для моментов сил и получили следующие значения:

;

;

.

Проверим на практике, находится ли рычаг в равновесии при такой комбинации сил и их плеч. Подвешиваем четыре груза на расстоянии от точки опоры, затем, придерживая рычаг, ещё два груза с этой же стороны на расстоянии . Теперь подвешиваем четыре груза с другой стороны от точки опоры на расстоянии . Видим, что равновесие действительно достигается при указанных значениях плеч сил (рис. 2). Модель работает.

Давайте попробуем уравновесить рычаг не с помощью груза, а с помощью динамометра, приложив силу вверх. Мы в ходе решения задачи записывали уравнение для моментов сил:

.

Чтобы уравнение осталось без изменений, сила  должна, как и раньше, вращать рычаг против часовой стрелки. Для этого её нужно приложить к правой части рычага, как показано на рисунке 3.

Проделаем это на опыте. Подвешиваем наши грузы, как раньше, а на расстоянии 16 см справа от точки опоры крепим динамометр (рис. 4).

Грузы у нас те же, что использовались в остальной части работы, их вес по . И динамометр, которым мы заменили два груза, показывает силу два по , то есть . Убеждаемся, что рычаг с такой комбинацией сил находится в равновесии.

Сформулируем краткие выводы по проведённой работе.

Мы экспериментально подтвердили, что:

• для рычага, уравновешенного двумя силами, выполняется простое условие равновесия ;

• модель справедлива одинаково для рычагов первого рода и второго рода;

• условие равновесия рычага, использующее моменты сил, выполняется как для двух, так и для большего количества сил.

На этом наш урок окончен, спасибо за внимание!

Список рекомендованной литературы

1. Физика, 7 класс / А. В. Перышкин. — М.: Издательство «Экзамен», 2021. — 240 с.

2. Физика, 7 класс (в 2 частях). Учебник. Ч. 1 / Л. Э. Генденштейн, А. А. Булатова и др.; под ред. В. А. Орлова. — М.: Просвещение / БИНОМ. Лаборатория знаний, 2022. — 128 с.

3. Физика, 7 класс / А. В. Грачев, В. А. Погожев, А. В. Селиверстов. — М.: Издательство ВЕНТАНА-ГРАФ, 2019. —  284 с.

4. Физика. 7 класс. Тетрадь для лабораторных работ / Л. Э. Генденштейн, А. А. Булатова и др. 2-е изд., стереотип. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2020. — 29 с.

5. Физика. 7 класс. Тетрадь для лабораторных работ к учебнику А. В. Перышкина / Н. В. Филонович, А. Г. Восканян. — М.: Просвещение / Дрофа, 2022. — 48 с.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «youtube.com».

2. Интернет-портал «youtube.com».

3. Интернет-портал «youtube.com».

Проверь себя

1. Приведите примеры бытовых устройств и приспособлений, которые можно отнести к рычагам первого и второго рода.

2. Каково условие равновесия рычага?

3. Как может повлиять масса самого рычага на результаты проведённых экспериментов?

4. Может ли рычаг находиться в равновесии, если все силы, пытающиеся его вращать, приложены только с одной стороны от оси вращения?

5. Предположим, мы можем действовать на рычаг только неизменной силой. Как изменится плечо этой силы, чтобы уравновесить рычаг, если угол между силой и рычагом уменьшить вдвое?