14. Простые механизмы

Введение

Здравствуйте!

Человеческие возможности ограничены: нагруженную тачку вряд ли можно поднять вертикально вверх. А вот заталкивать её по наклонной поверхности с небольшим наклоном гораздо легче (см. рис. 1)

Но для такого подъёма потребуется больше времени.

Мы постоянно решаем задачу поиска компромисса между потраченным временем и приложенной силой: что лучше – набрать побольше и сделать меньше ходок или не перегружать себя, но сходить туда-обратно больше раз?

Быстрее всего подняться на 5 этаж – по вертикальной лестнице. Но усилие для преодоления каждой ступеньки будет очень большим. Поэтому мы проходим более длинный путь, но на каждый шаг тратим меньше сил (см. рис. 2)

Пандусы для колясок делают с небольшим углом наклона – путь, который надо проехать в таком случае больше, но усилие нужно прикладывать меньше (см. рис. 3)

Наша сила ограничена – если для перемещения тела нужна большая сила, то путей решения два: разбить задачу на несколько частей или уменьшить требуемую силу, используя различные механизмы.

Простые механизмы

Мы уже знакомы с механизмами, которые позволяют изменять создаваемое давление: нож, лыжи и т.д (см. рис. 4)

Для изменения прикладываемой силы люди тоже придумали различные механизмы, которые назвали простыми.

Примеры таких механизмов каждому знакомы: когда папа садится на качели ближе к центру, а вы – дальше и таким образом его уравновешиваете, то используете принцип рычага (см. рис. 5)

Этот же принцип используется в ножницах, дверной ручке и лопате. А пандус – это пример наклонной плоскости (см. рис. 3)

Но для того, чтобы создавать эффективные простые механизмы, нужно научиться точно рассчитывать выигрыш, который они дают.

Условно можно выделить три основных вида простых механизмов: наклонная плоскость, рычаг и блок (см. рис. 6)

О них и пойдёт речь в уроке, но сначала давайте поймем, как вообще можно уменьшить необходимую для поднятия тела силу.

Почему механизмы «простые»?

Механизмы, о которых пойдет речь в уроке, называют «простыми». Их изобрели еще в глубокой древности и продолжают пользоваться до сих пор (см. рис. 1)

Действия этих механизмов основаны на простых механических принципах.

Соединив вместе несколько простых механизмов, можно получить сложный механизм (см. рис. 2)

По сравнению с простыми, сложные механизмы работают более эффективно и позволяют решать более сложные инженерные задачи.

Может ли человек поднять дом? Дом слишком тяжелый, не получится (см. рис. 7)

Но что, если мы разберем его на кирпичи? Конечно, можно сказать, что это будет не совсем дом, но нам важно то, что теперь эта задача человеку под силу. Правда, это займёт больше времени (см. рис. 8)

При этом работа будет та же, что и в случае, если бы человек поднимал дом целиком: массу поднимают на высоту :

Получается, возможности человека безграничны, ведь по одному кирпичу можно перенести любой дом, каким бы огромным он ни был? На самом деле, нет – чем больше масса дома (больше кирпичей надо перенести), тем больше времени это займёт.

Можно уменьшить силу, которую мы прикладываем за один подход, но при этом увеличится путь и время подъема. Совершенная работа, или затраченная энергия, при этом останется такой же:

Это общий принцип действия большинства простых механизмов: выигрывая с их помощью в прикладываемой силе, мы будем проигрывать в расстоянии, которое нужно будет преодолеть (можно взбираться на гору по прямой – получится быстро, но тяжело, а можно – по серпантину – легче, но дольше – (см. рис. 9))

Наклонная плоскость

Если друг попросит затащить его вместе с санками на горку, вы, вероятно, сможете это сделать. А смогли бы вы просто поднять друга вместе санками на высоту горки (см. рис. 10)

Вряд ли.

В первом случае вы поднимаете санки по склону, во втором – вертикально вверх. В данной ситуации склон является примером простейшего механизма – наклонной плоскости.

Ею часто пользуются грузчики, когда нужно поднять груз на некоторую высоту. Наклонная плоскость позволяет поднять груз, прикладывая меньшую силу. И чем меньше наклон, тем меньше потребуется сила (см. рис. 11)

Любой, кто катался на санках, это знает: по крутому склону поднимать их наверх намного тяжелее, чем по пологому. Но, используя наклонную плоскость, нужно преодолеть большее расстояние. Длина склона всегда больше высоты горки (см. рис. 12)

На математическом языке это звучит так: в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Итак, можно сказать, что наклонная плоскость даёт выигрыш в силе, но проигрыш в расстоянии. Чем меньше угол наклона, тем больше выигрыш в силе.

Выигрыш-проигрыш

Наклонная плоскость чаще всего используется для подъёма грузов. Конечно, это можно сделать и без неё – поднять груз равномерно, прикладывая силу (см. рис. 1)

Но наклонная плоскость позволяет поднять тот же груз, но приложить при этом меньшую силу (см. рис. 2)

Поскольку нам это выгодно, так и скажем: «мы выиграли в силе». Можно даже указать, во сколько раз меньше получилась сила. Например, «выигрыш в силе в 3 раза» значит, что вместо силы , нам достаточно приложить силу в 3 раза меньше: . При этом мы поднимем тот же груз массой .

Итак, если нам выгодно изменение физической величины, мы говорим о «выигрыше». Ну, а если невыгодно – то о «проигрыше».

Винт

Если свернуть наклонную плоскость (см. рис. 13), то получится ее частный случай – винт!

Принцип действия винта рассмотрим на примере шурупа. Вкрутить его легче, чем вбить гвоздь такой же длины.

Если перейти в систему отсчёта, связанную с гвоздём, то стенка относительно гвоздя поднимается вертикально вверх (см. рис. 14)

А в системе отсчёта, связанной с шурупом, стенка поднимается по шурупу как по спирали (по свёрнутой наклонной плоскости).

За счёт этого получается выигрыш в силе. Но при этом увеличивается пройденный путь. В примере с санками и горкой мы проходили больший путь вдоль плоскости, а здесь мы делаем несколько оборотов отверткой. Точки шурупа проделывают больший путь, чем точки гвоздя.

Клин

Рассмотрим еще один инструмент: топор. Во время первого удара по бревну, топор прорезает его. Тут действует принцип ножа: небольшая площадь, большое давление (см. рис. 15)

Но дальше мы бьём уже по-другому (см. рис. 16)

Что происходит? Древесина движется вдоль лезвия топора (наклонной плоскости). На нее действует сила реакции опоры перпендикулярно поверхности лезвия (см. рис. 17), и под ее действием древесина раскалывается

Топор является примером ещё одного частного случая наклонной плоскости, который называют клином. И снова получаем выигрыш в силе и проигрыш в перемещении – топор вгоняется в бревно на несколько сантиметров, чтобы разъединить его на несколько миллиметров.

Про все виды наклонной плоскости мы можем сказать, что они дают выигрыш в силе. И чем меньше угол у основания плоскости, тем больше этот выигрыш (см. рис. 13) Известных нам математических инструментов пока не хватает, чтобы точно рассчитать этот выигрыш, но чуть позже мы научимся это делать.

Рычаг

Рассмотрим второй из выделенных нами типов простых механизмов.

Представьте: папа сел на качели (см. рис. 18)

Чтобы его уравновесить, вы сядете на качели подальше от центра (см. рис. 19)

Так вы, давя на качели меньшим весом, уравновесите более тяжелого папу.

Подсознательно вы использовали принцип действия простого механизма – рычага. Рычаг – это твердое тело, которое имеет точку опору и может вращаться вокруг неё. Свойствами рычага мы пользуемся, когда толкаем дверь дальше от петель, чтобы её открыть; когда берём лопату поближе к концу черенка и т.д (см. рис. 20)

Чтобы строго сформулировать используемые нами свойства рычага, введём несколько понятий.

У качелей есть точка, которая остается неподвижной и вокруг которой они вращаются (см. рис. 21)

Эта точка называется точкой опоры (в ней качели крепятся к опоре). Для лопаты точкой опоры будет точка (см. рис. 22), для ножниц – винтик  и т.д.

Итак, у любого рычага есть одна неподвижная точка, которая называется точкой опоры.

Какие силы действуют на качели (см. рис. 23)?

1. В точке опоры действует сила реакции опоры. Из-за этого данная точка остаётся неподвижной (см. рис. 24)

1. Папа действует на качели своим весом. Эта сила стремится вращать качели против часовой стрелки (см. рис. 25)

1. Вы тоже действуете на качели своим весом. Эта сила вращает качели по часовой стрелке (см. рис. 26)

Если использовать для рычага модель материальной точки, то получится, что все силы, которые мы описали, действуют вдоль вертикали (вверх или вниз) (см. рис. 27)

Тогда движение рычага было бы возможно только вверх или вниз. Но рычаг вращается, значит, модель материальной точки для его описания неприменима.

Поэтому рассмотрим не только силы, действующие на рычаг, но и точки их приложения. Все знают, насколько труднее удерживать груз на вытянутой руке, чем на согнутой (см. рис. 28)

Можно сделать предположение, что чем ближе точка приложения силы к точке опоры, тем меньше её «вклад» в поворот рычага.

Чтобы определять точку приложения силы, введем понятие плеча силы (по аналогии с плечом руки, которая удерживает груз).

Плечо силы – это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила (см. рис. 29)

В геометрии мы определили такое расстояние, как перпендикуляр, опущенный из точки опоры на прямую, вдоль которой действует сила.

Чаще всего мы будем рассматривать силы, действующие перпендикулярно рычагу, и плечо силы будет равно расстоянию от точки опоры до точки приложения силы (см. рис. 30)

Вращение рычага зависит и от значения силы, и от ее плеча – чем больше сила и длиннее её плечо, тем сильнее будет вращающее действие этой силы (см. рис. 31)

Назовем произведение силы на ее плечо моментом силы.

Вспомним, что тело сохраняет свою скорость, если действующие на него силы уравновешены. При вращении тела, то же самое можно сказать про момент силы: если моменты сил уравновешены, то тело вращается равномерно или остается в покое (см. рис. 32)

Вернёмся к примеру с качелями (см. рис. 19): чтобы они уравновесились, моменты двух сил – вашего и папиного веса – также должны быть уравновешены. Момент силы реакции опоры не учитываем: он равен нулю, поскольку плечо этой силы равно нулю (см. рис. 33)

Момент веса папы (см. рис. 34):

Момент вашего веса (см. рис. 34):

Тогда . Теперь видно: чем больше будет , тем меньшего достаточно веса . Поэтому, если длина качелей будет достаточной, чтобы взяться подальше от точки опоры, взрослого человека легко уравновесить рукой (см. рис. 35)

Простые механизмы, работающие по тому же принципу, что и качели, называют рычагами. Примерами рычагов, как мы уже сказали, являются лопата, тачка, плоскогубцы (см. рис. 36)

На примере качелей мы увидели, что с помощью рычага можно получить выигрыш в силе, если увеличить плечо. Вокруг себя вы можете увидеть множество аналогичных примеров:

- дверь вы открываете ближе к краю, а не к петлям: плечо больше, значит, можно прикладывать меньшую силу (см. рис. 37)

- у дверной ручки тоже есть своё плечо, чтобы проще было её поворачивать. А вот круглые ручки поворачивать сложнее (см. рис. 38)

Выигрыш в силе для рычага

Давайте вычислим выигрыш в силе для рычага. Чтобы просто поднять тело, нужно приложить силу  (см. рис. 39)

Посчитаем силу необходимую для поднятия тела с помощью рычага, как мы это делали через моменты сил для качелей (см. рис. 40):

Тогда:

Например, если  относится к  как 1 к 3 , то  (см. рис. 41)

Получаем выигрыш в силе в 3 раза.

Увеличивая плечо , мы можем уменьшать силу. Можно ли это делать неограниченно? Кажется, что да – увеличивая плечо. Но чтобы уменьшить силу в миллион раз, нужно добиться того, чтобы соотношение плеч равнялось миллиону. И чтобы короткое плечо рычага сдвинулось на сантиметр, длинное плечо должно сдвинуться на 10 км – мы много теряем в перемещении (см. рис. 42)

«Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю»

Архимед сказал: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». И действительно: если будет точка опоры, можно сделать рычаг (см. рис. 1)

Архимед мог бы выбрать такое плечо прикладываемой силы, что выигрыш в силе был бы огромным. И его сил хватило, чтобы сдвинуть Землю. Правда, перемещение длинного конца рычага было бы огромным. В книге Перельмана «Занимательная физика» приводятся расчеты, какой путь должна была бы преодолеть рука Архимеда, чтобы сдвинуть Землю на 1 см, зная массу Земли и силу, которую мог бы приложить человек. Оказывается, даже двигая рычаг со скоростью 1 м/с, за всю свою долгую жизнь Архимед не сдвинул бы Землю даже на толщину тончайшего волоса. Подробнее с этими расчётами Вы можете ознакомиться по ссылке.

Задача 1

Давайте рассчитаем, какой длины должен быть рычаг, чтобы с его помощью хрупкая девушка массой 50 кг смогла приподнять автомобиль массой 1500 кг, надавив на рычаг всем своим весом (см. рис. 1)

Точку опоры рычага разместим так, чтобы короткое плечо рычага было равно 1 м.

В задаче описан рычаг. Мы знаем, во сколько раз выигрыш в силе дает рычаг:

Силы прикладываются по разные стороны от опоры рычага, поэтому два плеча рычага в сумме составят его длину:

Мы составили математическую модель задачи. В нашем случае сила , действующая на плечо , – это вес автомобиля , а сила , действующая на плечо , – вес девушки .

Теперь осталось только решить уравнения и найти ответ.

Из первого уравнения найдем плечо . Большая сила приложена к меньшему плечу рычага, значит  – это и есть короткое плечо, равное 1 м.

Длина рычага равна:

Блок

Третий тип простых механизмов, который мы рассмотрим, – это блоки. Блок – это колесо с желобом, через которое перекинута веревка (см. рис. 43)

Использовать этот механизм можно двумя способами. Можно закрепить колесо посредине, к одному концу веревки привязать груз, за другой – тянуть. Такой блок называют неподвижным (сам блок не двигается) (см. рис. 44)

Груз действует на веревку с силой . Чтобы удержать веревку нужно также приложить силу . То есть, неподвижный блок не даёт выигрыша в силе (см. рис. 45)

Но с помощью него можно менять направление силы. Без блока силу для подъема нужно прикладывать вверх, а с помощью блока – в любом направлении (см. рис. 46)

Второй способ применения блока – закрепить один конец веревки, за второй – тянуть, а груз привязать к центру блока. Такой блок называется подвижным, т.к. он будет двигаться вместе с грузом (см. рис. 47)

Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза, но проигрыш в перемещении, тоже в 2 раза. Убедиться в этом можно, проведя мысленный эксперимент.

Представим двух человек на крыше дома, поднимающих груз на подвижном блоке (см. рис. 48)

Понятно, что поднимать вдвоем в 2 раза легче, т.е. каждый из них прикладывает силу, равную . Изменится ли сила, с которой будет тянуть один человек, если второго заменить жестким креплением? Очевидно, нет (см. рис. 49)

За счет чего же происходит выигрыш в силе в 2 раза? При поднятии груза на высоту  освободится метров веревки с каждой стороны от блока, т.е. один человек вытащит  метров веревки (см. рис. 50)

Таким образом, выигрыш в силе происходит за счет проигрыша в перемещении, как и в большинстве других простых механизмах.

Велосипед

Рассмотрим принцип работы велосипеда. Это сложный механизм, ведь он состоит из множества деталей, которые различным образом взаимодействуют друг с другом. Но мы сейчас сосредоточимся на том, почему крутится колесо, если крутить педали. Детали, которые за это отвечают: педали, шестеренки, цепь и колесо (см. рис. 1)

Передняя шестеренка жестко скреплена с педалями и вращается вместе в ними. Такой тип механизма называется ворот. Типичный пример применения ворота – колодец (см. рис. 2)

Плечо ручки колодца больше, чем плечо веса ведра с водой. Это позволяет уменьшить силу (по аналогии с рычагом). В велосипеде плечо силы у педалей больше, чем у шестеренок. За счёт этого мы получаем выигрыш в силе. При этом будет проигрыш в перемещении: ноги должны преодолеть большее расстояние, чтобы повернуть педали (см. рис. 3)

Далее две шестеренки связаны через цепную передачу. Цепь движется с одной скоростью, но одинаково ли быстро будут вращаться шестеренки? Цепь связана с зубцами обеих шестеренок, значит на обеих шестеренках зубцы движутся с одинаковой скоростью . За время  каждый зубец пройдет путь . Но радиусы у шестеренок разные! Поэтому меньшая шестеренка сделает больше оборотов (см. рис. 4)

И чем меньше будет радиус шестеренки, тем чаще она будет вращаться. Подобным образом работают ременные передачи и сцепленные шестерни (см. рис. 5)

Итак, мы крутим педали, они вращают переднюю шестеренку. Она через цепь вращает заднюю шестеренку. А та, в свою очередь, сцеплена с задним колесом и заставляет его вращаться (см. рис. 6)

Основные виды механизмов

Давайте еще раз посмотрим на основные виды механизмов, которые мы уже знаем (см. рис. 51)

Можно выделить механизмы, с помощью которых можно изменять давление (нож, лыжи); скорость вращения (шестеренки, валы); величину и направление силы (простые механизмы). К простым механизмам относятся наклонная плоскость (её разновидностями являются винт и клин); рычаг и блоки (подвижный и неподвижный) (см. рис. 52)

Во всех простых механизмах (кроме неподвижного блока) мы получали выигрыш в силе за счет проигрыша в перемещении. Почему так происходит?

На самом деле, ничего нового для нас в этом нет, мы сталкиваемся с одной из эквивалентных формулировок уже известного нам закона сохранения энергии. Прикладывая силу к механизму, мы выполняем работу . Выполняя работу, мы передаем соответствующую энергию телу. Если наша задача – поднять тело массой m на высоту – мы должны увеличить его потенциальную энергию на величину , значит – выполнить над ним работу  (см. рис. 53)

Рассмотрим идеальный простой механизм, в котором вся выполненная работа  пойдёт на передачу телу энергии. Тогда:

Значение переданной энергии  фиксировано, поэтому уменьшить силу  можно только в том случае, если увеличится перемещение .

Иногда полезно уменьшить перемещение . Это можно сделать, увеличив прикладываемую силу . По этому принципу работает бицепс: мышца немного сокращается (то есть перемещение незначительное), при этом прикладываемая сила должна быть большой (см. рис. 54)

В этом несложно убедиться: как вам легче держать груз – с согнутой рукой или с прямой?

Рычаги, которые используются «наоборот»

Не всегда рычаги используются для того, чтобы совершать работу, прикладывая меньшую силу. Иногда важно выиграть в перемещении, даже если при этом приходится прикладывать бόльшую силу. Так делает рыбак, которому нужно вытащить рыбу, переместить ее на большое расстояние. При этом он использует удочку как рычаг, прикладывая силу  к ее короткому плечу (см. рис. 1)

Рычагом является и наша рука. Мышцы руки сокращаются, и рука сгибается в локте, совершая работу (поднимая груз) (см. рис. 54) При этом на кости предплечья действуют с некоторыми силами мышцы и груз. Ось вращения предплечья – локтевой сустав. Из таких рычагов состоит весь наш опорно-двигательный аппарат. И сам термин «плечо рычага» назван так из-за аналогии с плечом одного из рычагов в нашем теле – руки.

Мышцы так устроены, что они при сокращении не могут укорачиваться на те полметра, на которые нам нужно поднять, например, чашку с чаем. Нужно выиграть в перемещении, поэтому мышцы крепятся ближе к суставу, к меньшему плечу рычага. При этом нужно приложить бόльшую силу, но для наших мышц это не проблема.

КПД

Мы рассмотрели идеальные случаи механизмов, в которых не учитывали потери энергии. А ведь при подъеме груза по наклонной плоскости часть энергии уйдет на преодоление трения. В рычаге не избежать потерь на трение в точке опоры. В подвижном и неподвижном блоках энергия будет расходоваться на трение веревки о сам блок, а в подвижном блоке, кроме груза, мы поднимаем и сам блок.

Неизбежные потери

Выполняя любое действие, нельзя обойтись без потерь. Когда мы чистим картошку, вместе со шкуркой срезаем часть самой картошки.

Закупая продукты на неделю, вы помимо стоимости продуктов можете потратить деньги на проезд к магазину, на пакеты, которые нужны только для переноски этих продуктов и т.д.

Когда вы кипятите воду в чайнике, кроме воды нагревается сам чайник и воздух на кухне – это тоже ненужные потери энергии. И т.д.

Так и с механизмами: не вся выполненная ими работа будет нам нужна, но без этих потерь не обойтись, можно только постараться их минимизировать.

Поэтому, для реальных механизмов, вводят величину КПД – коэффициент полезного действия. Она показывает, насколько полезен данный механизм. КПД определяется как отношение полезной работы к выполненной:

Обычно, для краткости записи, КПД обозначают буквой греческой η («эта»). То есть

Что же это такое – полезная и выполненная работы?

Нужно понимать, что понятия КПД – не существует в природе. Мы вводим его, чтобы оценивать эффективность механизма. Поэтому сами выбираем, что считать полезной и выполненной работой.

Обычно выполненная работа – это работа внешней силы, которая выполняет подъем тела, действуя на механизм.  (см. рис. 55)

При подъеме тела полезная работа – это та, которая пошла непосредственно на изменение высоты тела – ведь это и есть наша цель. Тогда . И в этом случае:

В других случаях для вычисления КПД нужно сначала понять, какой была цель работы механизма. И из этого определить, что считать полезной работой.

Потренируемся рассчитывать КПД на примере решения задачи в ответвлении.

Задача 2

С помощью подвижного блока массой 0,5 кг поднимают груз массой 4,5 кг. Определите КПД подвижного блока в данном случае (см. рис. 1)

В задаче речь идет о КПД – это отношение полезной работы к выполненной.

Нам интересна работа, выполненная силой, с которой рука тянет веревку. Силу эту мы найдем, рассмотрев простой механизм. Запишем силы, действующие на блок: это сила тяжести , вес груза  и дважды сила натяжения нити  – с двух концов нити (см. рис. 2)

По третьему закону Ньютона рука будет тянуть нить с силой, равной по модулю . По второму закону Ньютона (при нулевом ускорении) запишем:

Направим ось координат вверх, в проекции на ось координат запишем:

Полезная работа – это работа по перемещению груза на высоту :

Чтобы груз поднялся на высоту , нужно поднять конец веревки на  (см. рис. 3), поэтому .

Всё, мы записали в виде уравнений условие задачи и закономерности, которым подчиняется процесс, осталось выразить из этих уравнений КПД.

Из записи второго закона Ньютона получим силу :

.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с простыми механизмами и рассмотрели понятие КПД. Спасибо за внимание, до свидания!

Список рекомендованной литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Ф.Я.Божинова, Н.М. Кирюхин, Е.А. Кирюхина Физика 7 кл.: Учебник. – Х.: Издательство «Ранок», 2007, 192 с.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «physbook.ru».     

2. Интернет-портал «dpva».

3. Интернет-портал «class-fizika.narod.ru».

Проверь себя

1. Что такое простые механизмы и для чего они нужны? Назовите несколько примеров, где используется принцип простых механизмов.

2. Что такое рычаг? Как он работает? За счет чего получается выигрыш в силе?

3. Как определяется момент силы?

4. Какой блок не дает выигрыша в силе?