06. Лабораторная работа «Исследование колебаний математического маятника» (Ерюткин Е. С.)

Цель работы. Оборудование

Цель: выяснить, как зависит период и частота свободных колебаний математического маятника от его длины.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, шарик с нитью, секундомер (рис. 1).

Для выполнения работы нам потребуется таблица. Таблица будет состоять из следующих частей:

Во-первых, нужно определить количество экспериментов. В данном случае их 5. По вертикали записаны те самые величины, которые мы будем измерять. В первую очередь, длина самого маятника в сантиметрах. Следующая величина – количество колебаний. Далее – полное время колебаний. Следующие две графы – это период колебаний, который измеряется в секундах, и частота в Гц. Обратите внимание, что мы заранее записали те величины, которые будем использовать. В первую очередь, это длина нитяного маятника. Начальная длина: 5 см – это очень короткий маятник. Дальше 20, 45, 80 и 125. Число колебаний мы будем использовать постоянное. Это 30 колебаний. В каждом эксперименте мы будем использовать по 30 колебаний.

Проведение серии экспериментов

Соберем экспериментальную установку. Установка состоит из шарика на нити. Нить продернута через ластик. Это сделано для того, чтобы можно было регулировать его длину. Обратите внимание, что сам ластик укреплен в лапке штатива.

Для измерения длины будем использовать линейку и секундомер. Итак, мы отсчитали 30 колебаний, и время, которое мы зарегистрировали, оказалось равным 13,2 с (рис. 3).

Заносим эти данные в таблицу и можем приступать к расчетам периода и частоты колебаний. Следующий шаг: увеличиваем длину маятника до 20 см. И весь эксперимент повторяем сначала. Вновь результаты заносим в таблицу. Итак, проведя наши эксперименты, мы получили конечные результаты и занесли их в таблицу.

Период колебаний: . Частота колебаний: , где  – это время, а  – количество колебаний, совершенных за время .

Обратите внимание: когда длина маятника составляла 5 см, 30 колебаний прошли за время 13,2 с. Период колебаний составил , а частота .

Следующий результат: те же 30 колебаний, но длина маятника была уже 20 см. В этом случае увеличилось время колебаний – 26,59 с, а период колебаний составил . Частота уменьшилась почти в 2 раза, обратите внимание: .

Если мы посмотрим на третий результат, то увидим, что длина маятника еще больше, период стал больше, а частота уменьшилась еще на некоторое значение. Следующий, четвертый и пятый, постарайтесь посчитать сами. Обратите внимание на то, как при этом будет меняться период и частота колебаний нашего нитяного маятника.

Для 4 и 5 экспериментов посчитайте частоту и период самостоятельно.

Табл. 1. Значения частоты и периода для первых трех экспериментов

Выводы

Можно сделать вывод: с увеличением длины маятника увеличивается период колебаний и уменьшается частота (рис. 4). Хотелось бы, чтобы четвертый и пятый опыты вы проделали сами и убедились, что все действительно так, как мы получили в наших опытах.

Формула для вычисления периода колебания математического маятника: , где  – длина маятника, а – ускорение свободного падения.

Формула для вычисления частоты колебаний: .

На этом лабораторная работа заканчивается, но есть дополнительная часть к лабораторной работе – дальнейшее исследование колебаний.

Математическая зависимость между длиной маятника и периодом колебаний

Дополнительная часть лабораторной работы заключается в том, чтобы лучше определить взаимосвязь периода колебаний и длины нитяного маятника. Эта зависимость должна определяться математически. Цель дополнительного задания в том, чтобы выявить математическую зависимость между периодом и длиной маятника. Как это можно сделать? Нужно рассмотреть отношение периодов колебаний маятника и отношение длин маятника. Посмотрим на таблицу, которую используем, и обсудим те величины, которые будем туда заносить.

В первой части мы рассмотрим отношение периода из второго опыта, когда длина маятника составляла 20 см. Отношение мы будем искать к периоду, который получили, когда длина маятника составляла 5 см. Отношение самих длин мы рассмотрим в нижней строке. Итак, в верхней строке отношение периодов , в нижней строке отношение длин маятника . Все необходимые данные мы возьмем из предыдущей таблицы. Обратим внимание, что эти вычисления в некоторых случаях получатся приближенными, но это зависит уже от чистоты эксперимента. Если мы обратимся к первой строке, то увидим, что во всех экспериментах отношение периодов будет составлять:

; ;

Далее рассмотрим отношение длин маятников. Обратите внимание: в первом случае это отношение равно 4, т. е. . Во втором случае – 9. В третьем случае – 16. Видно сразу, как будут связаны эти величины. Посмотрите: в первом случае у нас 2 и 4. В другом случае – 3 и 9 и т. д.

Делаем вывод о том, что период будет пропорционален корню квадратному из длины маятника. Эту зависимость мы можем использовать в дальнейшем для анализа подобных колебаний: 

Из этого следует, что период мы можем записать как  .

Другими словами, если мы увеличиваем длину маятника в 4 раза, то период увеличится в 2 раза. Если увеличим длину маятника в 3 раза, то увеличится период в  раз. И т. д. В этом и заключается результат лабораторной работы. 

Список литературы

1. Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования/Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино. Под ред. К. С. Фарино. – Минск.: Адукацыя i выхаванне, 2004.

2. Физика: механика. 10 кл.: учеб. для углубленного изучения физики/М. М. Балашов, А. И. Гомонова, А. Б. Долицкий и др. Под ред. Г. Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – 496 с.

3. Элементарный учебник физики. Под ред. Г. С. Ландсберга. Т. 3. – М., 1974.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)

2. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)

Домашнее задание

1. Что такое математический маятник? Запишите формулу для периода такого маятника.

2. Один математический маятник имеет период 10 с, а другой – период 6 с. Определите период колебаний третьего математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников.

3. Длина математического маятника 25 см. Определите период и частоту его колебаний на Земле.