19. Решение задач по теме «Механические колебания и волны. Звук» (Ерюткин Е. С.)

Задача 1

Условие: по представленному графику определите амплитуду и период колебания нитяного маятника.

Отметим точку равновесия — это точка 0. Когда тело находилось в данной точке, оно было в положении равновесия. Дальше начинается движение маятника. С течением времени смещение произошло сначала в одну сторону, затем в другую. Таким образом, мы представляем себе движение маятника в сочетании с осью времени.

Амплитуда — это максимальное смещение от положения равновесия. В данном случае смещение произошло на единицу в одну сторону относительно положения равновесия.

Смещение, обозначенное буквой , измеряется в сантиметрах. По всему представленному графику максимальное смещение равно единице, т. е. 1 см.

Это амплитуда колебаний. Запишем, что , или в системе интернациональной .

Чтобы определить период колебаний, необходимо рассмотреть все колебания на этом графике. Что такое одно полное колебание? Это перемещение тела в противоположную точку и его возвращение обратно. Этот промежуток времени будет соответствовать периоду колебаний маятника.

Таких движений за время взаимодействия маятник совершил 2; таким образом, число колебаний равно 2, а время этих колебаний составляет 2 с. Воспользуемся уравнением для определения периода колебаний:

Ответ: , .

Задача 2

Условие: пружинный маятник совершил за ,   полных колебаний. Необходимо определить период и частоту колебаний этого маятника.

Решение этой задачи тоже достаточно простое. Воспользуемся уравнением, которое даёт возможность определить период:

Для определения частоты колебаний можно воспользоваться двумя формулами. Можно воспользоваться уравнением, которое связывает частоту и период:

А можно определить частоту, используя те данные, которые уже есть, т. е. используя формулу для определения частоты:

Ответ: , .

Обратите внимание на одну характерную особенность механических колебаний. Если в данном случае умножить частоту колебания на период, то получится 1.

Задача 3

Условие: длина океанической волны составляет 270 м, период составляет 13,5 с. Определите скорость распространения волн .

Перейдём к решению задачи. Скорости распространения волн соответствует следующее уравнение:

Рассматривая уравнение:

Мы можем записать, что скорость распространения волн определяется как:

Ответ: .

Задача 4

Условие: определите, во сколько раз будет отличаться длина звуковой волны при переходе из воздуха в воду. Считать, что скорость распространения звука в воздухе , в воде .

Нам надо определить, во сколько раз изменилась длина волны при переходе . Т. е. необходимо разделить длину волны в воде на длину волны в воздухе.

Мы говорили, что волна переходит из одной среды в другую, но при этом сохраняется частота колебаний. Меняется скорость, меняется длина волны, а частота колебания частиц остается прежней. Значит, мы можем записать следующее важное выражение:

В данном случае мы записываем, что частота колебаний частиц в воздухе  равна частоте колебаний частиц, которые составляют волну в воде, .

Если частоты равны, то будут равны и периоды колебаний этих частиц:

Далее используем уравнение, которое нам встречалось в предыдущей задаче:

Записываем длину волны для воздуха  и для воды :

Почему в данном случае мы обозначили периоды без индексов? Периоды у нас одинаковые, поэтому мы их обозначили одной величиной, одной буквой. Теперь разделим :

Т. к. периоды у нас одинаковы:

Мы обозначили это отношение буквой .

Ответ: раза.

Задача 5

Условие: после произведённого выстрела было услышано эхо через . Определите расстояние до преграды, если скорость звука составляла .

В данной задаче мы должны учесть, что эхо — это отражённая волна, значит, звук дошёл до преграды и вернулся обратно к наблюдателю, т. е. в то место, где был произведён выстрел. Рассмотрим решение задачи.

За 20 с волна прошла определённое расстояние. Это расстояние мы определим простым способом: как расстояние, пройденное телом за определённое время с постоянной скоростью:

Это полное расстояние, которое прошла волна.

Теперь это расстояние мы должны обязательно разделить пополам, так как эхо — это отражённая волна. Значит, волна звуковая дошла до преграды и вернулась обратно:

Ответ: .

Задача 6

Условие: в каких точках кинетическая энергия маятника является минимальной?

1. В точках 1 и 2.

2. В точках 1 и 3.

3. В точках 2 и 3.

4. Во всех точках одинаково.

Во-первых, нам надо рассмотреть рисунок. На представленном рисунке цифрой 2 обозначено положение равновесия нитяного маятника, а 1 и 3 — это две крайние точки. По условию задачи именно между точками 1 и 3 совершаются колебания маятника.

Кинетическая энергия — это энергия движения. Это энергия тела в тот момент, когда тело обладает скоростью. В данном случае тело в первой и третьей точках замирает на некоторую долю секунды и обладает только потенциальной энергией относительно выбранной системы отсчёта. Так что в точке 1 и 3 кинетическая энергия будет минимальна, т. е. она будет равна 0. Мы должны выбрать из указанных ответов тот, в котором именно эти цифры.

В первом ответе (точки 1 и 2) вторая точка не подходит. Второй ответ — в точках 1 и 3 — соответствует правильному ответу. В третьем варианте ответа указаны точки 2 и 3, и в последнем, четвёртом, говорится, что везде энергия одинакова. Эти ответы в данном случае неправильные.

Ответ: ответ 2.

Размерность физических величин

Тремя основными величинами в механике являются: длина , измеряемая в метрах, время , измеряемое в секундах, и масса , измеряемая в килограммах. Все эти величины приведены в системе СИ. Какие же другие величины являются основными для системы СИ? Все семь основных величин приведены в таблице ниже.

Все остальные величины в физике находятся при помощи этих семи основных. Как можно при помощи метода размерностей определять ответ какой-либо физической задачи? Для этого запишем произвольную величину, например работу, с точки зрения размерности:

Теперь распишем полученную величину через основные единицы механики:

Метод размерностей позволяет решать физические задачи, даже если мы забыли какие-то формулы или законы; нужно лишь посмотреть, от каких величин должен зависеть ответ, искомая величина. Затем, составив комбинации этих величин, найти размерность искомой величины и величин, входящих в конечную формулу. После этого ответ будет получен, правда, без численных величин, которые иногда входят в формулы.

Решение задач методом размерности

Задача 1

Условие: определите частоту колебаний математического маятника методом размерностей.

Вспомним, что частота измеряется в герцах или же в , то есть . Проанализируем, от чего могла бы зависеть частота колебаний математического маятника.

Математический маятник — это материальная точка, масса которой m, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити. От чего же могла бы зависеть частота такой системы?

Во-первых, от длины: чем длиннее нить, тем более медленные колебания будет совершать маятник. Во-вторых, частота могла бы зависеть от ускорения свободного падения. И третий параметр — это масса грузика.

Это наши предположения. Вспомним, в чём измеряются данные величины.

Сама частота измеряется в обратных секундах:

Составим систему из трёх уравнений для основных величин:

,

Итак, частота не зависит от массы, она прямо пропорциональна квадратному корню из ускорения свободного падения и обратно пропорциональна корню из длины нити.

Решение задач методом размерности (продолжение)

Задача 2

Груз массой , подвешенный на пружине, совершает свободные колебания. Определите частоту таких колебаний.

Проанализируем, от чего могла бы зависеть частота колебаний пружинного маятника: от массы грузика (чем она больше, тем меньше должна становиться частота), от пружины, которая характеризуется коэффициентом жёсткости (чем он больше, тем больше должна быть и частота) и длиной.

Это наши предположения. Вспомним, в чём измеряются данные величины

Сама частота измеряется в обратных секундах:

Составим систему из трёх уравнений для основных величин:

,

Итак, частота пружинного маятника не зависит от длины пружины, она прямо пропорциональна квадратному корню из коэффициента жёсткости пружины и обратно пропорциональна корню из массы грузика.