18. Решение задач по теме «Механические колебания и волны» (Колебошин С. В.)

Введение

Решаемые ниже задачи являются типовыми, то есть аналогичные им встречались во время ЕГЭ. Для начала вспомним основные теоретические характеристики, которые нам сегодня понадобятся.

1) Период колебаний – промежуток времени, по прошествии которого значение координаты, скорости, ускорения и возвращающей силы повторяются. За 1 период система совершает одно полное колебание: .

2) Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

, где – количество полных колебаний; или . Частота и период связаны обратной пропорциональностью: .

3) Угловая частота – скалярная физическая величина, мера частоты вращательного или колебательного движения (см. рис. 1).

4) Амплитуда колебаний – максимальное отклонение (по модулю) координаты тела от положения его равновесия: .

5) Амплитуда скорости – максимально значение скорости колеблющегося тела: .

Переходим к решению задач.

Задача № 1

Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдет груз за время, равное , , , ?

Решение

Воспользуемся рисунком и отметим на нем те точки, которых достигнет груз через указанный в условии промежуток времени. Отметим, что за период тело вернулось в свое начальное положение, пускай на рисунке это будет точка (см. рис. 1).

Отметим, где было тело через полпериода . Ясно, что если мы рассматриваем гармонические незатухающие колебания, то это будет точка, максимально удаленная от начальной, пускай это будет точка (см. рис. 2).

Соответственно, через четверть периода груз будет в точке , но эта точка является также точкой, где тело было через  (см. рис. 3).

Итак, точки отмечены, теперь вспомним определение амплитуды – максимальное отклонение от положения равновесия. Отметим это отклонение (см. рис. 4), где расстояние .

Теперь несложно найти путь – длина траектории, который тело совершит за указанное время. Из рисунка видно, что через четверть периода путь будет равен длине отрезка , то есть амплитуде:

.

Аналогично мы видим, что через полпериода длина отрезка станет в 2 раза больше, поэтому .

Когда груз возвращается в исходную точку , модуль перемещения становится меньше, но путь нарастает, этим он и отличается от перемещения. Итак, от точки до тело прошло уже 6 см, и от до прошло еще 3 см. В итоге имеем, что путь через  равен трем значениям амплитуды:

.

Тогда, возвращаясь в исходную точку, перемещение равно 0, а вот путь будет равен четырем отрезкам амплитуды: .

Задача решена.

Ответ: , , , .

Задача № 2

Точка струны, которая колеблется с частотой , за прошла путь . Определите амплитуду колебаний .

Решение

Для решения данной задачи нам понадобятся данные из прошлой задачи. Вспомните главный вывод из предыдущей задачи: путь, который точка проходит за одно полное колебание, равен четырем амплитудам. Запишем, что  – путь за одно колебание: . Это значит, что для того чтоб найти амплитуду, нужно знать  – путь, который проходит струна за одно полное колебание. Обратим внимание на то, что мы знаем полный путь, пройденный струной, – это 64 м.

Чтобы понять, как решать задачу, немного отвлечемся и решим простенькую задачку. Сколько килограмм яблок в ящике, если в 10 ящиках 150 кг? Ответ: 15 кг в ящике. Мы полную массу яблок поделили на количество ящиков. В нашей задаче точно так же. Путь за одно колебание равен полному пути, деленному на количество колебаний: .

Таким образом, задача сводится к следующей: найти число колебаний точки струны, ведь полный путь мы уже знаем. Для нахождения числа колебаний у нас есть все: частота и время движения. Можно записать, что число колебаний равно полному времени поделить на время одного колебания : или . Тогда конечная формула для амплитуды будет иметь вид: .

Ответ: 1 мм.

А теперь разберем задачи на тему «Механические волны», но для начала вспомним основные теоретические сведения.

1) Волны бывают продольными и поперечными (см. рис. 5).

Отличаются они тем, что в случае продольных волн частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны; в случае поперечных частицы среды совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны.

2) Характеристика волны: длина волны () – кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися одинаково (в одной фазе) (см. рис. 6). Длина волны связана с её скоростью и частотой формулой .

3) Звуковые волны являются продольными упругими колебаниями среды.

Вспомнив все это, переходим к разбору задач.

Задача № 3

Есть мгновенная фотография волны в резиновом шнуре (см. рис. 7).

Определите: 1) длину волны; 2) амплитуду колебаний частичек шнура.

Решение

Сначала найдем длину волны: . Длину волны можно также получить, если отметить и другие две точки (см. рис. 8).

Значение амплитуды из рисунка равно . Так что длину волны и амплитуду мы нашли, можно записывать ответ.

Ответ: , .

Задача № 4

Подводная лодка всплыла на расстоянии от берега, вызвала волны на поверхности воды. Волны дошли до берега за , причем за следующие было  всплесков волн о берег. Каково расстояние между гребнями соседних волн ?

Решение

Вспомним формулу, которая связывает длину волны с другими характеристиками этого волнового движения. Длина волны связана со скоростью и частотой, поэтому задача разбивается на два этапа: на нахождение скорости волны и на нахождение её частоты.

Нам известно, что первая волна, как и последующие, прошла расстояние 200 м за 40 с, поэтому . Итак, скорость волны найдена.

Частота, если известно количество колебаний, совершенных за определенное количество времени, имеет вид: .

Мы знаем все для нахождения длины волны: .

Ответ: 2,5 м.

На этом наш урок закончен. Спасибо за внимание!

Список рекомендованной литературы

1. Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

2. Перышкин А. В., Гутник Е. М. Физика:  Учебник 9 класс. - Издательство: М.: 2014. – 320 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «dist-tutor.info» (Источник)

Домашнее задание

1. Что такое длина волны?

2. Какая формула связывает скорость волны и её длину волны?

3. Какие виды волн вы знаете?