04. Повторение. Решение задач ЕГЭ предыдущих лет по теме “Магнетизм”

Магнитные поля. Магнитные взаимодействия. (начало)

Мы продолжаем повторять пройденный материал и практиковаться в решении задач. Сегодня мы займёмся повторением раздела «Магнетизм». Среди задач ЕГЭ этому разделу могут соответствовать задания 13–14, с 16 по 18, с 23 по 26 и 31–32.

Напомню основные инструменты для решения задач по теме «Магнетизм». Модуль магнитной индукции магнитного поля проводника с током равен: .

Направление вектора магнитной индукции определяется по правилу буравчика: если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения его ручки совпадает с направлением магнитного поля, которое он создаёт.

Магнитное поле  действует на заряд , движущийся в нем со скоростью  под углом

 к вектору , с силой Лоренца, которая равна:.

Электрический ток – это движение заряженных частиц, и на каждую из них в магнитном поле

 будет действовать сила Лоренца, тогда на проводник длиной  с током  тоже будет действовать сила. Это сила Ампера, которая равна: .

Направление силы Лоренца и силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить ладонь левой руки так, чтобы четыре пальца руки показывали направление движения положительного заряда (помним, что движение отрицательного заряда эквивалентно движению положительного в обратную сторону), линии магнитной индукции входили в ладонь, то большой палец покажет направление силы.

Решим задачу.

Магнитное поле  создано в точке  двумя параллельными длинными проводниками с токами  и , расположенными перпендикулярно плоскости чертежа. Векторы и в точке  направлены в плоскости чертежа следующим образом:

1)       – вверх,  – вверх

2)     – вверх,  – вниз  

3)       – вниз,  – вниз  

4)        – вниз,  – вверх  

Направление магнитного поля, создаваемого прямым проводником с током, находится по правилу буравчика. Если закручивать буравчик в направлении тока – движение рукоятки покажет направление линий магнитной индукции.

В нашем случае оба проводника направлены от нас. В таком случае буравчик нужно вращать по часовой стрелке, если смотреть от нас.

Поле, создаваемое проводником 1 в точке , таким образом, будет направлено вниз. Поле, создаваемое проводником 2 в точке , - вверх.

Правильный вариант ответа – 4.

В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией  находится прямолинейный проводник, расположенный в горизонтальной плоскости перпендикулярно линиям индукции поля. Какой ток следует пропустить по проводнику, чтобы сила Ампера уравновесила силу тяжести. Масса единицы длины проводника ?

Давайте порассуждаем:

- в задаче описан проводник с током в магнитном поле.

- проводник расположен горизонтально, перпендикулярно направлению магнитного поля.

- на проводник будут действовать две силы – сила тяжести и сила Ампера.

- сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

- направление силы Ампера находится по правилу левой руки.

- но, по условию задачи, сила Ампера и силы тяжести должны уравновешивать друг друга.

- значит, сила Ампера должна быть направлена вверх.

- в каком же тогда направлении должен протекать ток в проводнике? Воспользуемся правилом левой руки: поставим ладонь так, чтобы вектор магнитный индукции пронизывал её, а большой палец был направлен вверх. Указательный палец покажет направление силы Ампера – влево.

- модуль силы Ампера зависит от модуля вектора магнитной индукции поля, длины проводника, силы тока в нём и угла между направлением тока в проводнике и направлением вектора магнитной индукции поля:

.

- в нашем случае угол между проводником и направлением поля прямой.

- так как поле однородно, на каждый одинаковый участок длины проводника будет действовать одинаковая сила Ампера. Поэтому будем считать, что она приложена в центральной точке проводника.

- векторная сумма силы тяжести и силы Ампера будет равна нулю, так как, по условию, они уравновешивают друг друга.

Перейдём к решению. Выберем систему координат, так как силы действуют вдоль одной прямой, нам будет достаточно одной оси. Направим ось Ох вертикально вверх.

Запишем векторную сумму сил тяжести и Ампера и приравняем её нулю: .

Перепишем в проекциях на ось :.

Теперь запишем выражение для силы тяжести: .

Выразим из массы единицы длины проводника, которая нам дана в условиях, массу всего проводника:

.

Выражение для силы Ампера будет выглядеть так: .

В нашем случае, так как проводник и поле направлены под прямым углом друг к другу, .

Мы получили систему уравнений, решив которую сможем выразить искомый ток в проводнике.

Решение системы вы можете просмотреть в свёртке.

Полученное значение тока

Математическая часть решения задачи

Подставим массу из третьего уравнения во второе:

.

Подставим полученное выражение для силы тяжести и выражение для силы Ампера из четвёртого уравнения в первое.

Подставим данные из условия и вычислим ответ:

.

Ответ:

Магнитные поля. Магнитные взаимодействия. (окончание)

В первой экспериментальной установке отрицательно заряженная частица влетает в однородное магнитное поле так, что вектор скорости

 перпендикулярен индукции магнитного поля (рис. 5). Во второй экспериментальной установке вектор скорости  такой же частицы параллелен напряженности электрического поля (рис. 6).

Установите соответствие между экспериментальными установками и траекториями движения частиц в них.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

    ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ                             ТРАЕКТОРИЯ

А) в первой установке                     1) прямая линия

Б) во второй установке                    2) окружность

                                                          3) спираль

                                                           4) парабола               

Давайте порассуждаем:

- в первой установке заряженная частица влетает в магнитное поле.

- на неё подействует сила Лоренца: .

- по рисунку в условии видно, что скорость частицы направлена перпендикулярно вектору магнитной индукции.

- значит, синус тета будет равен единице: .

- направление силы Лоренца находится по правилу левой руки.  в ладонь, указательный палец по направлению скорости, если частица положительно заряжено, либо в противоположном направлении, если отрицательно. Большой палец укажет направление силы Лоренца.

- в нашем случае в момент, который изображён на рисунке, она будет направлена вниз перпендикулярно скорости.

- сила Лоренца вызовет ускорение, направленное в любой момент времени перпендикулярно скорости.

- ускорение, направленное в любой момент времени перпендикулярно скорости, вызывает движение по окружности и называется центростремительным.

- значит, в таблице под буквой  запишем вариант 2 – движение по окружности.

- во второй установке отрицательно заряженная частица влетает в электрическое поле.

- электрическое поле действует на заряд с силой: .

- за направление электрического поля принято направление силы, которое оно оказывает на положительный пробный заряд.

- в нашем случае заряд отрицательный, значит, направление силы, с которой на него подействует электрическое поле, будет противиположным направлению самого поля.

- это направление совпадает со скоростью частицы в момент попадания в область электрического поля.

- сила, действующая на частицу со стороны поля, вызовет ускорение, сонаправленное со скоростью.

- значит, частица будет ускоряться и продолжать двигаться в том же направлении. Движение будет прямолинейным.

- в таблице под буквой  запишем вариант 1 – прямая линия.

Итак, окончательный ответ для задания – 21.

Две частицы, имеющие отношение зарядов , влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции и движутся по окружностям. Определите отношение масс  этих частиц, если отношение периодов обращения этих частиц: .

Давайте порассуждаем:

- на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца: .

- в данном случае обе частицы влетают в поле пепендиклярно линиям магнитной индукции. Значит, синус тета будет равен единице: .

- мы не знаем знак зарядов, но в любом случае сила Лоренца будет направлена перпендикулярно скорости частиц.

- сила Лоренца вызовет ускорение, направленное в любой момент времени перпендикулярно скорости.

- ускорение, направленное в любой момент времени перпендикулярно скорости, вызывает движение по окружности и называется центростремительным. Оно не меняет значение модуля скорости, а меняет только её направление.

- выражение, связывающее центростремительное ускорение, скорость и радиус, выглядит так: .

- это ускорение и сила Лоренца связаны вторым законом Ньютона.

- период можно выразить через скорость движения частицы и радиус окружности.

Перейдём к решению.

Выберем ось координат, которая в некоторый момент времени направлена от первой частицы к центру окружности. И запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

Запишем выражение для центростремительного ускорения: .

И для силы Лоренца: .

Период – это время, за которое частица один раз пролетит длину окружности. Выражение для него будет выглядеть так: , где .

Для второй частицы все уравнения будут такими же.

Итак, мы получили систему уравнение, из которой сможем найти искомое соотношение.

Решение системы вы можете проследить в свёртке. Полученный результат:

.

Правильный вариант ответа – первый.

Математическая часть решения задачи

Подставим  из пятого уравнения в четвёртое: .

Выразим из полученного равенства : .

Подставим полученное выражение во второе уравнение:.

Теперь подставим выражение для силы Лоренца из третьего уравнения и центростремительного ускорения, который мы только что получили в первое уравнение: .

Сократим скорость: . И выразим массу: .

Уравнения с шестого по десятое абсолютно такие же, только для второй частицы. Следовательно, выражение для массы второй частицы будет выглядеть так же:

Нас просят найти соотношение масс – значит, разделим массу первой частицы, на массу второй

Соотношения  нам даны. Подставим их значения и вычислим ответ:

Электромагнитная индукция. Самоиндукция. (начало)

Если проводник перемещать в магнитном поле, то на каждый свободный носитель заряда, находящийся в нем, будет действовать сила Лоренца. Эта сила будет вызывать движение заряда в проводнике, что приведёт к возникновению ЭДС. Данное явление называется электромагнитной индукцией.

Выражение для ЭДС индукции выглядит так: .

Для удобства описания процесса электромагнитной индукции в замкнутом контуре мы ввели величину магнитного потока через контур: , где  – угол между вектором магнитной индукции,  и нормалью к площади , магнитный поток через которую вычисляется.

Если магнитный поток через площадь, ограниченную проводящей рамкой, изменяется, то в рамке возникает ЭДС индукции: .

Важно отметить, что магнитный поток через контур может меняться вследствие и изменения индукции магнитного поля, и изменения площади контура и изменения угла между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

Направление индукционных токов определяется по правилу Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван.

При изменении тока через катушку он создаёт изменяющееся магнитное поле внутри неё. Это изменяющееся магнитное поле создаёт изменяющийся магнитный поток через катушку – и в ней возникает индукционный ток. Это явление называется самоиндукцией, а свойство катушки создавать магнитное поле – индуктивностью.

Помимо этого, индуктивностью называется отношение создаваемого некоторым током магнитного потока через площадь катушки, к силе этого тока: .

Выражение для ЭДС самоиндукции выглядит так: .

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца. Магнитное поле катушки с током обладает энергией: .

Учитель продемонстрировал опыт по наблюдению напряжения, возникающего в катушке при пролете через нее магнита (рис. 9). Напряжение с катушки поступало в компьютерную измерительную систему и отображалось на мониторе (рис. 10).

Что исследовалось в опыте?

1) зависимость ЭДС самоиндукции поля от изменения направления электрического тока;

2) зависимость силы Ампера от силы тока;

3) возникновение магнитного поля при изменении электрического поля;

4) зависимость направления индукционного тока от изменения магнитного потока.

Давайте порассуждаем:

- перед броском магнита ток в цепи отсутствует – ведь в сехеме нет источника питания, значит, в этот момент измерительный прибор фиксирует нулевое значение напряжения.

- в момент, когда магнит влетает в катушку, в ней изменяется магнитное поле.

- изменения магнитного поля приводит к изменению магнитного потока через каждый виток катушки.

- а значит, к возникновению ЭДС индукции.

- направление индукционного тока, по правилу Ленца, будет таким, чтобы скомпенсировать изменение магнитного потока, которым он вызван. То есть когда магнит влетает в катушку, индукционный ток будет таким, чтоб создавать магнитное поле, препятствующее влёту магнита. Когда магнит вылетает из катушки, индукционный ток поменяет направление, чтобы создать магнитное поле, стремящееся препятствовать вылету магнита из катушки.

- именно такая зависимость и видна на мониторе, изображение на котором приведено в условии.

- следовательно, нам подходит вариант 4 – исследовалось изменение индукционного тока от изменения магнитного потока.

Линии индукции однородного магнитного поля пронизывают рамку площадью  под углом  к ее поверхности, создавая магнитный поток, равный 0,2 Вб. Чему равен модуль вектора индукции магнитного поля?

Давайте порассуждаем:

- в задаче описана рамка расположенная в магнитном поле.

- магнитное поле создает магнитный поток через рамку: .

- нам известно значение потока, площадь рамки и угол между плоскостью рамки и вектором .

- в формуле для магнитного потока  угол между вектором магнитной индукции  и нормалью к плоскости рамки.

-геометрически через угол, известный из условия, мы сможем выразить угол .

Перейдём к решению. Найдём геометрически значение угла . Как видно из рисунка, угол  и известный из условия угол между плоскостью рамки и вектором магнитной индукции в сумме дают прямой угол. Следовательно, .

Выразим из выражения для магнитно потока искомое :

Все величины из правой части нам уже известны. Подставим их и вычислим ответ:

.

Правильный вариант ответа – второй В = .

Электромагнитная индукция. Самоиндукция. (продолжение)

В заштрихованной области на рисунке действует однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости рисунка. Проводящую квадратную рамку, сопротивление которой

 и длина стороны 10 см, перемещают в плоскости рисунка в этом поле поступательно со скоростью . При пересечении рамкой границы магнитного поля в рамке возникает индукционный ток, создающий тормозящую силу Ампера . Чему равен модуль вектора индукции магнитного поля ?

Давайте порассуждаем:

- речь в задаче идёт о рамке, которая движется сначала вне, а потом внутри магнитного поля.

- в момент прохождения рамки через границу области магнитного поля изменяется магнитный поток через её площадь.

- выражение для магнитного потока выглядит так: .

- так как линии индукции поля перпендикулярны плоскости рамки, угол между вектором магнитной индукции и нормалью к поверхности контура будет равен нулю, а его косинус – единице: .

- так как поле внутри области постоянно, магнитный поток будет изменяться только за счёт изменения той части площади рамки, которая находится в магнитном поле: .

- изменение магнитного потока приводит к возникновению ЭДС индукции и индукционного тока:

.

- на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера.

- направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: ток стремится скомпенсировать изменение магнитного потока, которым он вызван.

- поэтому в данном случае ток будет направлен так, чтобы действующая на рамку сила Ампера препятствовала дальнейшему вхождению рамки в область магнитного поля.

- направление силы Ампера связано с направлением тока и вектора магнитной индукции по правилу левой руки.

- так как ток на участках 1–2 и 3–4 будет направлен в разные стороны, силы Ампера, действующие на те участки проводников, которые находятся в магнитном поле будут тоже направлены в противоположные стороны. Их суммарное действие на контур будет нулевым.

- пока участок 4–1 находится вне поля, на него не будет действовать сила Ампера – значит, суммарная сила Ампера, действующая на контур, будет равна силе, действующей на проводник 2–3. Исходя из правила Ленца, можно сказать, что она будет препятствовать вхождению рамки в магнитное поле, а значит, будет направлена влево.

- тогда, по правилу левой руки, найдём направление тока в проводник 2–3, а значит, и на весь контур, направим B в ладонь, большой палец – по направлению силу Ампера (в нашем случае влево). Указательный покажет направление тока – вверх.

- значение ЭДС индукции и индукционного тока в рамке связаны законом Ома для участка цепи: .

- на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера: .

- в данном случае, так как плоскость рамки перпендикулярна направлению магнитного поля, синус угла тета равен единице: .

Перейдём к решению. Запишем выражение для магнитного потока через ту часть площади рамки, которая уже находится в магнитном поле: .

Площадь  в данном  случае – это ширина рамки d, умноженная на ту часть длины рамки, которая уже находится в магннитном поле: .

Скорость равномерного движения рамки можно записать так: .

Выражение для ЭДС индукции выглядит так: .

Знак минус говорит о направлении индукционного тока в рамке. О направлении мы подробно поговорили в рассуждении минутой ранее. Для расчёта значения модуля вектора индукции магнитного поля направление нам не важно, так что можем перейти к модулю: .

Значение ЭДС индукции и индукционного тока в рамке связаны законом Ома для участка цепи: .

А выражение для силы Ампера, действующей на проводник 2–3, выглядит так: .

Таким образом, мы получили систему из 6 уравнений, решив которую мы сможем выразить искомое значение модуля вектора магнитной индукции.

Решение системы вы можете проследить в свёртке. Полученный ответ – . Вариант 3.

Математическая часть решения задачи

Подставим выражение для из второго уравнения в первое: . Выразим из третьего уравнения : .

И подставим в выражение для записанное выше: .

Теперь подставим выражение для  в четвёртое уравнение: .

Сократим  Подставим выражение для модуля ЭДС в пятое уравнение:

.

Ну и, наконец, подставим выражение для индукционного тока в шестое уравнение: Все величины, кроме искомой индукции магнитного поля В, в данном выражении известны. Давайте выразим .

Подставим числа и найдём значение: .

Ответ:

Электромагнитная индукция. Самоиндукция. (окончание)

Замкнутый контур площадью  из тонкой проволоки помещён в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. В контуре возникают колебания тока с амплитудой , если магнитная индукция меняется с течением времени в соответствии с формулой

, где , . Электрическое сопротивление контура . Найдите площадь контура.

Проанализируем условие:

- речь идёт о замкнутом контуре в магнитном поле.

- известно, что магнитная индукция меняется с течением времени и в контуре возникают колебания тока.

- в соответствии с законом Фарадея ЭДС индукции в некоторый момент времени равна: .

- при переходе к бесконечно малому промежутку времени записанное нами не что иное, как производная от потока по времени.

- записав выражение для магнитного потока (), мы сможем взять от него производную и найти зависимость ЭДС от времени.

- площадь контура не меняется со временем, а зависимость индукции поля от времени известна из условия.

- ЭДС индукции в контуре и сила тока в любой момент времени связаны законом Ома: .

Перейдём к решению. Запишем выражения для потока: .

По условию линии магнитной индукции поля перпендикулярны площади контура. А значит, угол φ между нормалью контура и направлением поля равен нулю. А его косинус – единице. .

Подставим в выражение зависимость B(t), известную из условия: a.

Теперь, применив закон Фарадея, найдём зависимость ЭДС индукции от времени:

.

Следовательно, .

Теперь запишем закон Ома для максимальных значений тока и ЭДС: .

Таким образом, мы получили простую систему из двух уравнений, из которой мы сможем легко выразить площадь рамки S.

Выразим ЭДС максимальную из второго уравнения: . И подставим в первое: .

Разделим обе части на ab и получим выражение для площади: .

Остаётся подставить данные из условия и вычислить ответ:

Заключение

На этом уроке мы решали задачи ЕГЭ предыдущих лет по теме «Магнетизм». На следующем уроке мы займёмся решением задач из раздела «Колебания и волны. Оптика».